水下爆炸气泡载荷作用下船体梁的动态水弹性响应

张弩，宗智

（1.中国舰船研究设计中心，武汉430064；2.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室船舶工程学院，辽宁大连116024）

水下爆炸气泡载荷作用下船体梁的动态水弹性响应

张弩1，2，宗智2

（1.中国舰船研究设计中心，武汉430064；2.大连理工大学工业装备结构分析国家重点实验室船舶工程学院，辽宁大连116024）

文章基于势流理论，针对水下爆炸气泡脉动载荷作用下船体梁的动态水弹性鞭状响应及其共振效应进行了研究。阐述了水下爆炸气泡与船体梁之间的流固耦合理论分析，并分别建立了一个考虑气泡迁移，自由面效应和气泡阻力的气泡模型和一个船体梁的弹性响应的计算模型。文中以两条实船作为算例，研究了刚体运动对船体梁弹性振动响应的影响，分析了船体梁在气泡脉动载荷作用下产生的共振破坏的机理。

水下爆炸；气泡；船体梁；弹性响应；刚体运动；共振

0 引言

中远场水下爆炸中对舰船主要产生两种载荷：第一种是瞬态的冲击波，其压力峰值很高，但持续时间很短，只有几毫秒；第二种是气泡脉动载荷，这一阶段的明显特征是达到的压力峰值较冲击波的压力峰值低，持续时间长，约为几百毫秒[1]。气泡脉动是爆炸产物的内部压力和外部水压不平衡造成的。在研究水下爆炸过程中，必须要考虑这两种载荷。由于两者持续时间不同，故在分析过程中常将两者分开考虑[2-3]。

尽管冲击波的压力峰值很高，但由于持续时间非常短，通常造成舰船结构的局部破坏。而气泡脉动引起的压力峰值虽然较小，但持续时间远大于前者，而且气泡脉动频率常常和舰船的低阶固有频率相近（约为几赫兹到几十赫兹），容易激起船体结构的低频振荡，造成舰船的整体破坏。本文主要研究气泡作用下船体的总体响应，故在文中忽略冲击波的效应。

对于气泡的动力学，众多学者已经进行了大量的研究工作[4-10]。对于气泡载荷作用下的船体梁的弹性响应，Hicks[11]和Smiljanic等[12]基于固定的气泡模型，利用水弹性方法进行了细致的理论研究。姚熊亮[13]将船体梁视为两端自由的Timoshenko梁，基于二维切片法和水弹性方法，计算了船体梁在气泡作用下的响应特性。李玉节等[14]研究了气泡脉动激起细长船模做鞭状响应运动的现象，并将计算结果与弹性船模试验结果进行对比，发现两者吻合较好。当气泡脉动的频率和船体梁的低阶固有频率非常接近时，会产生强烈的共振现象，对船体的造成严重的总体损伤。而气泡作用下，漂浮在水面上的船体梁的响应通常由两部分组成：刚体运动和弹性变形。然而，目前的文献中均只考虑弹性变形而忽略刚体运动。对于细长船型的舰船这一假定是正确的，因为在气泡载荷作用下，细长型船的弹性振动响应占主导，刚体位移相对很小，因此可以忽略。但随着舰船长宽比的减小，这种假设越来越不正确，因为此时刚体运动越来越显著，可能会对总纵强度造成影响，引起较大的误差。

本文致力于建立一个水下爆炸气泡作用下船体梁的弹性响应的模型。首先建立一个考虑迁移效应，自由面效应和气泡阻力的气泡模型和一个船体梁的弹性响应的计算模型，并进行详细的流固耦合与结构响应的理论分析；然后通过两条实船作为算例，研究了在气泡作用下，刚体运动对船体梁水弹性响应的影响；最后分析了船体梁在气泡脉动载荷作用下产生的共振现象。

1 气泡动力学

冲击波之后，大约40%的爆炸能量仍然存留在气泡中。假设流体为无旋，不可压缩的，气泡中心在自由水面下深度d处。由于本文考虑的是中远场爆炸，假设船体对气泡没有影响，并且气泡在运动过程中保持球形。为考虑气泡的迁移效应、自由面效应和气泡阻力的影响，采用Vernon[15]的无量纲方程组：

式中：x是无量纲气泡半径，ζ0为无量纲初始压头。ζ为无量纲压头，τ为无量纲时间；δ为无量纲深度，k是无量纲能量参数（对于TNT炸药，k≈0.074 3（z0）1/4，z0为初始压头），γ为绝热气体参数，取为1.25[1]，Cd为阻尼系数，取为2.5。α为气泡迁移控制系数（α只取值0或1；α=0表示不考虑气泡的迁移效应）。在本文中取α=1。β为自由面效应控制系数，同样只取值为0或1；β=0表示不考虑自由面效应。在本文中取β=1（即考虑自由面效应）。

接着定义L为长度尺度因子，T为时间尺度因子。

式中：E0为爆炸的总能量，ρ为流体的密度，g为重力加速度，W为炸药量。这样可以得到以下无量纲参数：

其中：z为压力水头。

只要给定初始条件，（1a）-（1d）式可以由四阶龙格库塔法进行求解。选定初始条件为x=x0，ζ=ζ0，σ=0，λ=0。而其中x0可以由下面能量守恒方程[15]得到：

方程（1a）-（1d）的解即为x（t）和ζ（t）。速度势函数可以表示为：

式中：r为所取源点到气泡中心的径向距离，r1为该源点对应的偶极到气泡中心的径向距离。θ为r方向与垂直方向的夹角，θ1为r1方向与垂直方向的夹角。e1为源强系数，e2为偶极强度系数，定义如下：

对于势流，速度为速度势的负梯度，即为：

式中：X和Y分别为以气泡中心作为原点的直角坐标系的横坐标和纵坐标。

流体加速度可以表示为：

其中：ν为气泡的垂向平均速度。

（11）式中的两项可以分别表达为下面两式：

2 结构响应

对于舰船受到气泡载荷引起的鞭状振动，其低频振动模态和梁的弯曲运动相似，可以将船体简化为一个浮在水面的变截面梁。船体的升沉造成浮力的变化，相当于将船体梁放在弹性基础上。根据Bernoulli-Euler梁理论，船体梁瞬态响应的平衡方程为：

式中：EI为船体梁的截面刚度，W（x，t）为船体梁在该截面的挠度，Mh为船体梁的截面质量，ρ为水的密度，S为水线面的偏移量，Fb（x，t）为气泡载荷且可以表达为[23]：

将（15）式代入（14）式中，得到：

引入无量纲量：

式中：L为半船长，Δ为排水体积，这样得到：

这首诗歌在整体内容与结构上表现出了对和谐整体的追求，这与推崇文本有机整体论的新批评派相一致，新批评理论家布鲁克斯认为“衡量文学作品是否优秀的标准在于它是否是一个和谐的整体。”舒婷诗歌《致橡树》无疑做到了这点。作为新时期的女性作家，诗人站在女性角度，打破了男性话语结构，改变了女性被书写的处境。在诗中，她否定了过去不平等的两性关系，将新时期两性之爱的内核与外延统一在这首朦胧诗中，重构了新时期新女性独立而完整的两性观。

由此，（17）式可以写成：

船体梁的变形可以表达为一系列坐标函数的线性组合。应用雷利—利兹方法，选取均匀自由梁的振型函数作为坐标函数，它满足自由梁的边界条件（即弯矩和剪力为零）。同样定义一系列船体梁的模态坐标ζj-1（t），这样可以得到：

式中：ψj-1（ξ）为均匀梁的第j-1阶振型，N为选取的最大振型的阶数。

这里，ψ0（ξ），ψ1（ξ）为刚体运动的振型函数，他们分别代表了刚体的平动和转动。对于船体梁来说，他们则分别表示船体的升沉和纵摇。

在（20）式两端分别乘以ψi-1（ξ），然后在空间域进行积分

（27）式右端项的第一项可以进行分步积分得到：

同样（28）式右端项的第二项可以继续进行分步积分

（29）式中右端项的第一和第二项均等于0，因为它们分别为边界处的剪力和弯矩。这样，（27）式可以写成：

根据（24），（25），（26）式和（30）式，（23）式可以表达为矩阵形式：

当给的初始条件，（31）式就可以利用四阶龙格库塔方法进行数值求解。它的解即为ζj-1（t），j=1～n。由（21）式就可以得到船体梁在气泡作用下的响应。

3 算例分析

3.1 气泡载荷

对于中远场水下爆炸，炸药爆炸在足够深度，通常可以观察到气泡的一次至两次全振。取200 kgTNT炸药在自由表面下30 m处爆炸。为忽略冲击波效应的影响，取爆炸后0.05 s作为初始时间。气泡半径，最大流体加速度和气泡中心深度的时间历程曲线如图1所示。从图中可以看到，气泡半径先增大到最大值，然后在t=0.51 s时减小到最小半径。在这个过程中，随着气泡半径的减小，气泡内部的压力迅速增加。因此流体加速度随着气泡半径的减小而增加。当大约t=0.51 s气泡半径减小到最小值之后，气泡开始回弹，因为此时气泡内部压力已经变得非常大。随后气泡半径随着时间而增大。气泡半径随时间不断增大，在回弹过程中，流体加速度迅速衰减到零以下。当气泡半径在最大值附近时，气泡中心位置上升得很缓慢，而当气泡半径要达到最小值时，气泡开始快速地向上迁移。

3.2 实船算例

对于船体梁受到水下爆炸载荷作用，最危险的工况是炸药位于船中部正下方发生爆炸的情况，此时船体梁受到的总纵弯矩最大。因此下面的算例中炸药均布置在在船体梁的正中下方。

表1 A船和B船的主尺度Tab.1 Principal dimensions of Hull A and Hull B

图1 200kg TNT炸药在水下30 m处爆炸（a）气泡半径；（b）最大流体加速度；（c）气泡中心位置的时间历程曲线Fig.1 Time histories of(a)bubble radius;(b)maximum fluid acceleration and(c)depth for a charge of 200 kg of TNT at a depth of 20 m

分别取一艘204 m的实船（后文记做“A船”）和一艘44.5 m的实船（后文记做“B船”）作为算例来研究船体梁的弹性振动响应。两实船的主尺度如表1所示。从表1可以看出，A船为细长型船，有较大的长宽比，而B船为短粗船型，长宽比较小。

下面取200 kg TNT炸药在水面下30 m处爆炸，这样计算得到的A船和B船的弯曲变形图，如图2和图3所示。位移和船长均用无量纲量表示，即均除以半船长L。从图2中可以看到，A船发生了很大的弹性变形，但刚体位移相对较小。此时A船的变形以一阶弹性模态响应为主。这是因为本算例中气泡的脉动频率和船体梁的一阶固有频率接近。而图3中，B船则表现为显著的刚体运动，其弹性变形相比于刚体位移要小得多。

A船的船中处的位移随时间变化的曲线如图4所示，可以看到随着气泡的收缩，周围流体向气泡流动，促使船体梁同样向气泡移动。与此同时，气泡内部的压力逐渐变大，大约在0.5 s时，气泡内部的压力达到最大值并传递给周围流体。此时流体对船体梁产生了很大的压力，并使船体梁突然改变了运动方向，开始向远离气泡的方向移动。这一过程清楚地表明了气泡坍塌时的压力会使船体梁造成非常严重的损伤。随后气泡又开始膨胀，气泡内压力不断减小，对船体梁又重新产生了向下吸引的力。B船的船中处的位移随时间变化的曲线如图5所示，其运动变化规律和船A相似，但最主要的差异是B船在初期有一个明显的刚体位移，从图中可以看出刚体位移比起弹性变形大很多。

图2 A船在不同时刻的位移曲线Fig.2 Typical centerline displacement curve at different times for Hull A

图3 B船在不同时刻的位移曲线Fig.3 Typical centerline displacement curve at different times for Hull B

图5 B船的船中处位移的时程曲线Fig.5 Time histories of displacement for Hull B

图6 A船的船中处弯矩的比较Fig.6 Comparison of displacements of Hull A at the midship

接下来讨论刚体运动对船体梁在水下爆炸气泡作用下的鞭状响应中的影响。图6给出的是A船在考虑刚体运动和不考虑刚体运动时船中处弯矩的比较。从图中可以看到两种情况下弯矩的峰值很接近。考虑刚体运动时，弯矩的峰值和弯矩振动的周期均略小于不计刚体运动的工况。可以得出结论，比起弹性变形，此时的刚体运动对船体梁的总纵弯矩影响很小。因此对于A船这类细长船型的舰船，刚体运动的影响可以忽略。事实上，在目前的文献中也均不计及刚体运动的影响。

图7给出的是B船在考虑刚体运动和不考虑刚体运动时船中处弯矩的比较。从图中可以看到，计及刚体运动时B船的最大弯矩为2.4×107Nm，而忽略刚体运动时最大弯矩为3.7×107Nm。两者相差了约35%。所以在这一算例中，刚体运动不能被忽略。大幅的刚体运动吸收了爆炸的能量并减小了弯矩的峰值。如果忽略刚体运动，计算的弯矩会比实际结果偏大。同样从图中可以观察到两种情况下弯矩振动的周期有较大差异。考虑刚体运动时弯矩振动的周期要比忽略刚体运动时小一些。综合前面分析的图7中A船的算例，可以得出结论：刚体运动会减小船体梁弯矩的峰值和振动周期。随着船体梁长宽比的减小，这种效应越来越明显。

图7 B船的船中处弯矩的比较Fig.7 Comparison of displacements of Hull B at the midship

图8 A船船中处位移随时间的变化曲线（200kg TNT/30m）Fig.8 Time histories of displacement for Hull A (200kg TNT/30m)

图9 A船船中处位移随时间的变化曲线（200kg TNT/40m）Fig.9 Time histories of displacement for Hull A (200kg TNT/40m)

最后来讨论共振现象对船体梁的鞭状响应的影响。仍然以上述的A船作为算例，分别取200kg TNT炸药在水下30 m和40 m两种工况。取两次气泡脉动，两种工况下的A船的船中位移的时间历程曲线分别如图8和图9所示。图8中可以看到，随着两次气泡脉动载荷的减弱，船中位移的振动的幅值也在减小，位移的第二次峰值比第一次有所削减。而图9中，虽然气泡载荷减弱，但位移的第二次峰值却比第一次更大，船中的弹性鞭状振动越来越剧烈，出现了明显的共振效应。

为进一步讨论这种共振现象对船体梁总纵强度的影响，仍然取A船作为算例，计算了不同深度和不同药量的多种工况。每种工况下的船中处的最大弯矩如图10所示。可以看到船中最大弯矩值的基本趋势是随着药量的增加而增加，随着爆炸深度的增加而减小。但两条曲线最突出的特点是曲线上均有一个凸起。这表示在一些工况下，小的爆炸药量却能产生较大的弯矩。产生这种现象的原因是爆炸气泡的脉动频率和船体梁的固有频率接近而产生了共振。图7中用字母a-j标出的点即为发生共振的工况。这些工况下气泡脉动的周期和频率如表2所示。从表中可以看到，这些工况下气泡的脉动频率非常接近，都在约2.0 Hz左右。因此可以得出结论，在这一频率附近船体梁会发生严重的共振现象而遭受非常大的载荷。

图10 不同药量不同深度下船体梁最大弯矩的比较Fig.10 Comparison of the maximum bending moment of different charge weights and different depths

表2 不同药量和深度下气泡脉动频率的比较Tab.2 Comparison of the bubble frequencies of different charge weights and different depths

4 结论

本文研究了水下爆炸气泡作用下的船体梁的水弹性振动响应，通过以上对计算结果的分析研究，得到的主要结论为：

（1）水下爆炸气泡脉动作用下，船体梁会发生显著的弹性振动响应，且主要表现为低阶模态响应，即刚体运动和一阶弹性振型。

（2）刚体运动削减了总纵弯矩的峰值和振动周期。细长船型的舰船受到刚体运动的影响很小，刚体运动对其总纵强度的影响可以忽略。而短粗型舰船在气泡载荷作用下的刚体运动非常显著，此时刚体运动不能被忽略，否则船体总纵强度计算的结果将不准确。

（3）当水下爆炸气泡的脉动频率和船体梁的低阶固有频率接近时，会发生强烈的共振现象，此时较小的炸药量也会对舰船产生非常大的总纵弯矩，对舰船的总纵强度有较大威胁。

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Dynamic hydro-elastic response of a ship hull girder subjected to underwater explosion bubbles

ZHANG Nu1,2,ZONG Zhi2
(1.China Ship Development and Design Center,Wuhan 430064,China;2.School of Naval Architecture Engineering,State Key Laboratory of Structural Analysis for Industrial Equipment,Dalian University of Technology,Dalian 116024,China)

This paper based on the potential flow theory,studied the dynamic hydro-elastic whipping response and the resonance effect of a ship hull girder subjected to underwater explosion bubbles.A theory of interaction between gas bubbles and a hull girder is presented.A bubble model with the bubble migration,free surface effect and drag force taken into consideration and an elastic hull girder model are established.Two different examples of real ships are given to demonstrate the effect of rigid-body motion on hull girder’s hydro-elastic responses.Resonance mechanism in the hull girder’s elastic response to underwater bubbles is discussed.

underwater explosion;bubble;hull girder;elastic response;rigid-body motion;resonance

TV131.2U661.41

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2015.05.013

1007-7294（2015）05-0582-10

2014-07-22

创新研究群体科学基金资助项目（50921001）；国家重点基础研究发展计划（973计划）资助项目（2010CB832704）

张弩（1984-），男，博士，工程师，E-mail：zhangnu@yahoo.com；

宗智（1964-），男，教授，博士生导师。