基于多目标粒子群算法的螺旋桨多参数优化设计＊

叶礼裕 王 超 黄 胜 常 欣

（哈尔滨工程大学船舶工程学院 哈尔滨 150001）

0 引 言

螺旋桨几何造型复杂，包含螺距、纵倾、侧斜、拱度、弦长、桨叶剖面等几何参数，这些几何参数相互联系和制约，影响着整个螺旋桨的水动力、噪声、空泡、振动等性能.在螺旋桨的理论设计中，螺旋桨的几何参数往往是给定的，但是给定的螺旋桨几何参数得到的螺旋桨性能并不能满足实际要求，需要进行参数的优化设计得到性能更佳的桨.由于螺旋桨的各个性能的相互冲突，要想得到螺旋桨参数使得各方面性能达到最优是很难的，改善螺旋桨的一些性能就有可能使其他性能的恶化.因此，如何权衡螺旋桨几何参数得到接近理想的桨一直是研究人员们所关注的.

粒子群优化（particle swarm optimization，PSO）是 Kennedy和 Eberhart［1］于1995年提出的一种优化算法.PSO具有较强的全局收敛能力和鲁棒性，非常适合于在复杂环境中对优化问题的求解.在解决多目标优化问题时，维持着一个较大数量的种群，高效获得多个Pareto解集，成为当前研究的热点问题［2］.采用多目标优化可以得到一些目标得到优化同时其他目标不恶化的情况，也就是Pareto解集或非支配解集［3］.当得到Pareto解集或非支配解集之后，决策者们可以根据实际情况来选择合理解.在船舶设计领域，商船主要关心的是经济性与节能，希望得到的是效率最优且振动、噪声等性能不恶化的螺旋桨；军舰主要关心的是快速性与隐身性，希望得到的是推力与噪声最优且效率减小的螺旋桨.

本文以节能为目的，选取了DTRC4382型桨为母型，基于螺旋桨水动力性能的面元理论预报程序，采用粒子群算法，螺旋桨的各个几何参数用B样条曲线来拟合，以提高螺旋桨的推力系数和敞水效率为目标进行螺旋桨优化设计，选取Pareto前沿上3个点为方案桨，分析了原桨和方案桨的水动力性能的不同特点.

1 螺旋桨的面元法理论

与螺旋桨的升力线理论和升力面理论不同，螺旋桨的面元法不对物体形状做任何假设，并在真实物面上满足边界条件，能比较精确预报螺旋桨水动力性能，使其在近几年来得到了广泛的应用［4］.

假定螺旋桨在速度V0的来流，以角速度ω转动.利用格林公式将描述不可压、无粘、无旋的势流问题的拉普拉斯方程转化为物体边界上的积分方程，从而将物体绕流问题的求解转化为任意物面上未知节点强度的求解［5］.

式中：Δφ为通过尾涡面的速度势跳跃，可表示为

在螺旋桨定常问题中，尾涡面的速度势跳跃Δφ在同一半径处是常量，由法向偶极子分布与涡环分布的等价关系可知，Δφ即为尾涡强度.可在升力体的尾缘处满足库塔条件以确定该尾涡强度.库塔条件有多种形式，这里采用压力库塔条件，要求在升力体的尾缘处上下表面的压力差为零，即

2 多目标粒子群算法

2.1 算法的数学模型

多目标优化往往是在一组可行解中选择Pareto解集的过程，通常多目标优化问题包括：n个决策变量，m个目标函数，k个约束条件，可将其数学模型表示为

式中：x＝ （x1，x2，…，xn）∈X 代表决策向量.

2.2 算法关键问题的处理

尽管基于PSO算法在处理单目标问题时取得了较大的成功，但是并不能直接用于处理多目标问题［6］.目前，MOPSO算法主要采用 NSGA－II非支配排序策略，采用变异操作来保持种群的多样性，选择最优粒子可采用随机选择、轮盘赌或非支配解的疏密等方法［7－9］.

在处理 MOPSO关键问题上，本文采用了NSGA－II非支配排序策略来构成Pareto最优解集，采用动态加权法来选择最优粒子来提高Pareto解的多样性，采用惯性权重来提高全局寻优能力.针对种群飞行速度减弱时，采用变异操作来引导粒子跳出局部最优解.

NSGA－II中非支配排序思想是目前MOPSO形成Pareto最优解的主流方法，操作方法如下，首先将当前支配解集Pt和当前的子代Qt合并成种群Rt，对Rt进行非劣排序和拥挤距离排序得到新的种群Pt＋1.对已形成的Pareto解集，采用动态加权法来选择最优粒子，按下式动态计算Pareto解集中各粒子适应度并将当前动态适应度最大的粒子作为全局最优粒子［10］.

粒子群算法模型可被抽象成每个个体由当前位置和速度组成.在每次迭代过程中，为了克服早熟收敛，提高PSO算法开拓能力和保持收敛速度，桨自适应惯性权重和变异操作引入粒子群算法中，当前粒子的速度和速度可按下式更新.

式中：xi为粒子位置；vi为粒子飞行速度；w为惯性权重；r1，r2为［0，1］范围变化的随机数；pi为个体最优粒子的位置；pg为全局最优粒子位置.k为压缩因子，表示为对粒子的飞行速度进行约束.

加速因子随迭代次数增加而增加，在后期有利于提高全局搜索能力，特别对多峰问题有利.α为加速因子，按下式更新

惯性权重w是衡量上一代的进化速度对现有速度的影响程度，对粒子群算法的收敛性能影响很大.大的惯性权重得到的粒子速度大，有利于扩大搜索空间.小的惯性权重得到的粒子速度小，有利于局部搜索.可按下式调整.

式中：w0∈ （0，1），w1＞ w0均 为 常 数；r为 在（0，1）间的随机数.

本文选择了4种具有代表性的多目标优化测试函数ZDT1～ZDT4.算法参数选取：种群规模N＝100，迭代次数Nt＝250，算法运行100次，w0＝0.3，w1＝0.8.图1给出了该算法在测试函数上所得到的Pareto解.由图1可知，该算法能较好地保持所得最优解在Pareto前端上的收敛性和分布均匀性.

图1 测试函数所得Pareto前沿

图2 推力系数与敞水效率的散点图

3 多目标螺旋桨参数优化

本文优化设计是以提高推进效率为目标进行的优化设计.在明确设计任务的情况下，结合传统设计确定各参数的取值范围，评估各参数范围的可行性，提前减少不合理的参数情况，提高效率.由于设计参数及其取值范围的多样性，设计空间理论上是无穷大的.实际操作中，设计空间的规模，即方案个数要适当；方案较少不具有代表性，优化效率将会很低，而方案过多则会造成计算成本的大大增加，将造成资源的浪费，也不利于设计效率和设计质量的提高.

3.1 优化模型和优化目标函数

在设计进速J＝0.899下，以DTR4382桨为母型，目标函数取螺旋桨推力系数和敞水效率，但未对其他性能加以限制，目的是为了获得更多数据信息.在实际设计需求中，对螺旋桨其他性能的限定是必不可少的.螺旋桨的螺距分布、侧斜分布、纵倾分布、拱度分布和弦长分布可采用B样条曲线的参数化表达方式，并根据这些几何参数数值大小对控制点的变化范围加限制，以提高搜索效率.对目标桨进行搜索时，将种群数目设为20，迭代次数15次，Pareto解的个数设为20个，对权重的分配与上文的测试函数选取的相同.

优化前的推力系数和敞水效率的坐标点记为original，而优化后的坐标点组成了Pareto前沿，将Pareto前沿解记为Pareto.图2给出了推力系数与敞水效率的散点图.由图可知，Pareto解的个数较多且分布较均匀，能够构成Pareto前端线.original点离Pareto前沿有一定距离.可见，推力系数或者敞水效率都得到了较大程度的优化.该图也反应了推力系数和敞水效率是相互矛盾的，推力系数最优必须以降低敞水效率为代价，而敞水效率最优就必须以降低推力系数为代价.

表1 原桨和方案桨的推进系数和敞水效率

Pareto前沿的每个坐标点代表一个设计方案，船舶设计人员可以根据不同的船舶需求选择合适的方案.商船主要关心的是节能与经济性，可从效率较高的那端选择.军舰主要关心的是快速性，可从推力系数较高的那端选择.对设计方案进行选择时，也应对方案进行可行性评估，包括螺旋桨几何外形光顺程度、空泡性能及强度等.为了分析的方便，本文从Pareto前沿上只选择了3个方案进行分析.3个方案所对应的推进系数和敞水效率见表1，以下简称方案桨.其中，与原桨相比，方案1的敞水效率较高且推进效率不减小；方案2较为折中，推力系数与敞水效率都得到相同程度的优化；方案3的推进系数较高且敞水效率不减小.三个方案桨选择于Pareto前沿的两端与中部，能够反映其他方案的特点.

表2给出了原桨和3个方案桨在不同进速下的推力系数kt和敞水效率ηo的对比.由表可知，方案桨的推力系数kt和敞水效率ηo都比原桨提高了.在不同进速，方案1能保证敞水效率比其他桨高；方案2比较折中，能保证推力系数优于方案1且敞水效率优于方案3；方案3也能保证推进效率比其他桨高.另外，当进速系数较低时，方案桨的推力系数明显比原桨大，而敞水效率相差不大.随着进速系数的增大，方案桨的敞水效率较原桨大得多，而推力系数与原桨越接近.

表2 不同进速下敞水效率与推力系数对比

3.2 优化前后螺旋桨几何参数和外形

图3～5分别给出了原桨和3个方案桨的弦长、螺距及拱度分布，与原桨相比，方案桨的这3个几何参数的分布曲线均有改变且能保证光顺.3个方案桨的弦长分布变化趋势相同，不同半径处的弦长均减小，将导致整个桨叶的盘面比减小，使得螺旋桨剖面上的载荷越大，其吸力面的压力值越小，压力面的压力值越大，该变化将会对螺旋桨的空泡性能产生不利的影响，但是对螺旋桨敞水效率的提高是有利.对于螺距，方案桨的螺距分布比较光顺，桨叶叶根附近的螺距减小，而靠近叶梢附近的螺距增加，由螺旋桨环流理论可以知道，这种变化趋势将使得螺旋桨负荷径向分布的最大值位置偏向叶梢，桨叶的效率越高，但叶梢处的空泡性能会变得很差.螺旋桨叶梢附近螺距的增加将增大其叶剖面攻角，进而增大螺旋桨的推力系数和扭矩系数，螺旋桨的敞水效率也会明显增加.对于拱度，方案桨的拱度分布变化较大，3个方案桨在不同半径处的拱度都增加，而方案3增加最多，对应推力系数最大，由此推断拱度与推力系数有较大的关系；另外，拱度决定叶剖面的负荷沿弦向的分布，拱度增大能避免导边附近出现负压峰，推迟空泡的发生，但对整个桨叶的强度不利.

图3 弦长分布

图6 ～7分别给出了原桨和3个方案桨的侧斜和纵倾分布.与原桨相比，3个方案桨的侧斜分布变化趋势相同，叶根附近的侧斜减小而叶梢附近的侧斜增大，桨叶叶梢附近的侧斜增加，螺旋桨的水动力性能会提高，但方案桨的侧斜分布变化并不明显，主要是因为侧斜对螺旋桨水动力性能的影响不大.对于纵倾，方案桨的桨叶叶根处纵倾减小而叶梢附近的纵倾增加.随着纵倾的增加，螺旋桨的推力系数及扭矩系数会提高，但变动幅度很小，相比其他参数的影响，纵倾对螺旋桨水动力性能的影响相对较小，而叶梢处的纵倾增大将改善桨叶梢部的三维绕流，进而影响桨叶表面的压力分布，改变梢涡空泡的初生特性.

图4 螺距分布

图5 厚度分布

在进行螺旋桨单参数的优化设计过程中，其他参数不变，仅改变单个参数，会造成螺旋桨变化不够协调造成螺旋桨外形的畸变.在螺旋桨多参数优化中，各个参数之间不能很好的耦合，也会造成螺旋桨外形不光顺.螺旋桨的几何参数采用怎样的参数化表达方式和怎样进行变形控制，都将影响优化后的螺旋桨各几何参数的耦合程度.人们希望看到的是各组参数的变化能耦合在一起，以达到协同影响螺旋桨性能的目的.图8给出了原桨和方案桨的模型.由图8可知，在几何参数变化后，3个方案桨都能保持较光顺的几何形状.可见，本文采用B样条曲线拟合方式对进行螺旋桨的多参数优化设计，能使得优化桨各个参数之间能够很好地耦合.与原桨相比，3个方案桨比较直观的变化是桨叶面积变小，叶梢处的侧斜增加.

图6 侧斜分布

图7 纵倾分布

图8 原桨与方案桨的模型

4 结 论

1）在设计进速下，优化后得到的Pareto解的个数较多且分布均匀，能够形成Pareto前沿线，每个Pareto解都可作为方案桨，优化后螺旋桨的推力系数和扭矩系数都能得到不同程度的提高.

2）在不同进速下，所选的3个方案桨的推力系数和敞水效率都能比原桨高.方案1能保证敞水效率比其他桨高，方案2能保证推力系数和敞水效率得到相同程度提高，方案3也能保证推进效率比其他桨高.

3）所选的3个方案桨的各个几何参数都出现了变化，从而引起了螺旋桨几何外形的改变.但是，螺旋桨的几何参数采用B样条曲线表达以及对控制点的变化范围加以限制，各个参数之间能够很好地耦合，能够形成较光顺的螺旋桨几何外形.

为了获得更多数据信息，未对螺旋桨其他性能加以限制，只对推力系数和敞水效率的进行寻优，优化能达到节能的目的，可能带来其他性能的恶化.本文为后续对螺旋桨各方面性能的统筹优化设计，以实现螺旋桨的全面优化打下基础.

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