一类具有HollingIII型捕食功能反映的捕食系统的稳定性研究

【摘 要】本文研究了一类具有Logistic型增长率和Hollingш型功能反应函数的捕食系统，得到了系统在正平衡点处的局部稳定性和全局稳定性的条件，并通过极限环研究了全平面上解的结构。

【关键词】Logistic型增长率；Hollingш；捕食系统；稳定性

简介：在生物学中很多研究了很多单种群模型。然而，在自然界中种群并不是独立存在的，而是与其他种群共存的。它们与其他的种群相互竞争、相互合作，形成了复杂的生态系统。在这篇论文中，我们讨论了一个包含有两个种群的生态系统模型。

在对生态学的研究中，捕食系统的研究已经有了很多的成果。本文研究了如下捕食模型：

，

其中x，y分别表示食饵系统和捕食系统种群的种群密度，k，A，B，Ci，Di（i=1，2）都是正常数：

（1）简化系统参数：

令x1=ax，y1=by，t1=lt

令

∴

再令

则有

（2）求奇点：

经过求解，系统有3个奇点。

它们分别是E0（0，0），E1，E*其中第三个奇点需满足：a3>1且。

（3）奇点的稳定性：

Px

Px

系统在奇点处的一次线性近似方程的系数矩阵为

（i） E0=（0 0）

其特征根为：λ1=a1>0，λ2=-1>0， 则E0为鞍点；

（ii）

λ1=-a1<0

讨论正负：若为正，则为鞍点；若为负，则为稳定点。

①当时，即时，E1为稳定点，即E1渐进稳定；

②当时，E1不稳定。

（iii）对E*

可得其特征方程为：

，

且要满足Tr（E*）<0。

即将（x*，y*）代入，整理得到有

若，则有

① ，则E*不稳定；

②，则E*稳定。

（4）为了研究极限环的存在性，我们要构造外境界线。

当y>0时，由于，所以当轨线与相遇时，均从直线的右方穿入左方；

考察直线l：y+x-k=0，

当k足够大时。

故轨线与直线l=0相遇时均从其右上方穿入左下方。

直线x=0，y=0均是轨线。这样直线，y+x-k=0，x轴和y轴围成了区域G的境界线，G内除E*点外无其他奇点。?G上的奇点O（0，0）与E1（x1，0）都是鞍点，G内的轨线正向不能进入。系统在G内至少存在一个包含E*点的稳定极限环。

参考文献：

[1]Bao Shi and Chao-yan Huang. The differential equation of the foundation and its application. Beijing： Science Press，2007

[2]W F Lucas. Differential Equation Models. New York：Springer-Verlaag，1983

[3]En-zhi Ma. Mathematical modeling and Study on the population ecology. Hefei： Anhui Education Publishing House，1996

作者简介：

刘松亭（1991.09～），女，安徽省阜南县人，现供职单位：南京财经大学应用数学学院，本科学位，研究方向：应用数学。