关于二维线性自治系统的相图的教学

樊自安

(湖北工程学院 数学与统计学院，湖北 孝感 432000 )

解的稳定性理论是“常微分方程”课程中的一个重要知识点，如何正确作出二维线性自治系统的相图是一个教学重点。在几本经典的教材中[1-5]，仅给出了相图的大致思路，但要作出二维线性自治系统的相图，特别是奇点是两向结点的二维线性自治系统的相图，学生一般感觉较困难。文献[6]以极坐标为基础，借助仿射变换，研究了二维线性自治系统的相图；文献[7]对平面齐次多项式系统的平衡点的稳定性进行了分析，并给出对应系统的全局相图及具体系统，关于微分系统的稳定性，参考文献[8-10]。

对于二维线性自治系统：

(1)

系数矩阵A的特征方程为：

(2)

特征根为：

(3)

显然，λ1≥λ2。

考虑二维线性自治系统(1)，对于初等奇点(0，0)，当λ1和λ2为相等实数时，奇点为单向结点或星形结点；当λ1和λ2为复数时，轨线为向内或向外盘旋的螺线；当λ1和λ2为异号实数时，轨线以y=k1x和y=k2x为渐进线。这些都比较容易作出相图；但当奇点是两向结点时，画相图是教学中的一个难点，本文仅讨论λ1和λ2为同号不等实数即奇点是两向结点的相图。

1 主要结果及证明

当λ1和λ2为同号不等实数时， (a-d1)2+4bc>0，λ1≠λ2，由式(3)λ1>λ2，这时奇点是两向结点。分三种情见讨论。

1)b(λ-a)≠0，设矩阵A的特征值λ1和λ2对应的特征向量分别设为ξ1，ξ2，取

(4)

方程组(1)的通解为：

即当t→+∞，轨线X(t)的切线趋于平行于向量ξ1，当t→-∞，轨线X(t)的切线趋于平行于向量ξ2。

下面我们将证明向量ξ1、ξ2的斜率为k1，k2，其中k1，k2这样解出：

即：

bk2+(a-d1)k-c=0

(5)

(6)

由式(3)和式(4)得向量ξ1的斜率：

=k1，

向量ξ2的斜率：

=k2，

轨线X(t)逐渐趋向于(0，0)或远离(0，0)，直线y=k1x，y=k2x都经过原点(0，0)，因此t→+∞，轨线X(t)的切线趋于y=k1x，当t→-∞，轨线X(t)的切线趋于y=k2x。

2)b=0，由式(3)知λ1=a，λ2=d1，不妨设a>d1，λ1>λ2。

设矩阵A的特征值λ1和λ2对应的特征向量分别设为ξ1，ξ2，则由(A-λE)x=0，可取

(7)

由于λ1>λ2，由第一种情况的讨论可知，当t→+∞，轨线X(t)的切线趋于平行于向量ξ1，

3)λ=a，由式(2)知bc=0，这时b≠0，c=0；若b=0第二种情况已讨论。由式(3)知λ1=a，λ2=d1，不妨设a>d1，λ1>λ2。

设矩阵A的特征值λ1和λ2对应的特征向量分别设为ξ1，ξ2，则由(A-λE)x=0，可取

(8)

由于λ1>λ2，由第一种情况的讨论知当t→+∞，轨线X(t)的切线趋于平行于向量ξ1，

当t→-∞时，轨线X(t)的切线趋于平行于向量ξ2，由式(8)得ξ1的斜率k11=0，向量ξ2的斜率：k12=(d1-a)/b，而由式(6)解出k1=0，k2=(d1-a)/b，则k11=k1，k12=k2仍然成立，因此式(6)仍成立。

因此我们得到下面的定理：

定理1 当二维线性自治系统(1)的系数矩阵A的特征根λ1，λ2为同号不等实数时，系统(1)的轨线与直线y=k1x，y=k2x的其中一条切于原点(0，0)，其中k1，k2由式(6)给出(当只解出一条直线斜率k1时，另一条直线为x=0)。

轨线究竟与哪一条直线相切呢？

由式(6)知，k1>k2，t→+∞，轨线X(t)的切线趋于y=k1x，这说明，当t→+∞，轨线X(t)的切线的斜率在逐渐增大，在y=k1x与y=k2x之间，轨线上的点的二阶导数大于0，这说明在y=k1x与y=k2x之间，轨线是向下凹的。根据这个性质，我们画出第一或第二象限内系统的相图(这里没有画箭头的方向，箭头的方向不影响相图的上述性质)，如图1和图2所示。

从图1和图2可以看出，在y=k1x与y=k2x之间，在第一象限内， 轨线X(t)与y=k2x相切或在第二象限内，轨线X(t)与y=k1x相切。因此我们得到下面的定理：

图1 k1>k2>0

图2 k2

图3 k1=3，k2=1

定理2 当二维线性自治系统(1)的系数矩阵A的特征根λ1，λ2为同号不等实数时，在y=k1x与y=k2x之间，在第一象限内，系统(1)的轨线与y=k2x相切或在第二象限内，系统的轨线与y=k1x相切。其中k1>k2，k1，k2由式(6)给出(当只解出一条直线斜率k1时，另一条直线为x=0)。

2 例子说明

例确定系统

的奇点类型，并作出相图。

解(0，0)是唯一奇点，特征方程λ2+4λ+3=0，特征根λ1=-1，λ2=-3是同号相异实根，奇点(0，0)是稳定结点。由

解出k1=3，k2=1，k1>k2，两条渐进线方程y=3x，y=x，由定理2，在第一象限内，系统的轨线与y=x相切，如图3所示。