数列求和的基本方法

任英敏

（沧州市第二中学）

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础，在高考中占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容，除了等差数列和等比数列有求和公式外，有些求和问题由于形式复杂，使学生感到束手无策，因此数列求和方法值得我们探讨，大部分数列的求和都具有一定的规律——求和先看通项.

一、等差等比数列求和——公式法

等差数列求和的公式：

例1.（1）求数列3，6，9，12…的前n项和

（2）求数列1，2，4，8…的前n项和：2n-1

注：①等差数列求和注意三点：首项，公差，项数

②等比数列求和注意三点：首项，公比，项数

③等差等比求和公式中项数易错

二、数列通项an=等差+等比——分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，但这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常数列的和或差，用分组求和.

例2.（1）数列｛an｝的通项公式an=2n+2n-1，求前n项和.

【分析】数列的通项公式为an=2n+2n-1，而数列｛2n｝和｛2n-1｝分别是等比数列、等差数列，用分组结合法：

解：Sn=（21+1）+（22+3）+…+（2n+2n-1）

=（21+22+…+2n）+（1+3+…+2n-1）

=2n+1-2+n2

列项求和的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项.

练习：在数列{an}中，求数列{bn}的前n项的和.

注：裂项后返回去验证配凑k.

四、an=等差-等比——错位相减法

求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法，错位相减是推导等比数列求和的方法。

例4.求Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）

【分析】{（2n-1）xn-1}的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{xn-1}的通项之积，用错位相减法.

解：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）………①

xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn………（设制错位）②

①－②得（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-（2n-1）xn

∵x≠1

∴（1-x）Sn=

注：①要考虑当公比x为值1 时为特殊情况

②错位相减时要注意末项

练习：设a≠0 求数列a，2a2，3a3…nan…的前n项和

五、距首末距离相等的两项和相等——倒序相加

倒序相加是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加.

把①式右边倒转过来得：

需要提醒的是，通过此方法可发散出倒序相乘.

数列求和问题虽然很难，但总可以通过找出共同特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径. 以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上认识数列求和.类型较全，公式简单易懂，对学好数列求和有很大的帮助.