参考答案

解析几何测试卷（A卷）

1. B

2. 因为mn>0，所以m>0，n>0或m<0，n<0，选B.

3. 设双曲线C：-=1的半焦距为c，则2c=10，c=5. 又C的渐近线为y= ±x，点P（2，1）在C 的渐近线上，所以1=·2，即a=2b. 又c2=a2+b2，所以a=2b=，所以C的方程为-=1. 选A.

4. A

5. 由已知，e1==，e2==，选D.

6. 转化为点P到两个圆心的距离之和，再作圆C1关于x轴对称的圆，选A.

7. 抛物线的焦点为（1，0），双曲线的一条渐近线为y=x，则所求距离为=，选B.

8. 因为++=0，所以xA+xB+xC-3=0，故由抛物线的定义知++=xA+xB+xC+3=6. 选B.

9. 由-=1得a=，b=，c=. 所以e===，即m2-4m+4=0，解得m=2.

10. （x-1）2+y2=4

11.

12. 抛物线y2=2x的焦点坐标为，0，准线方程为x=-. 设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1x2==. 设AF=m，BF=n，则x1=m-，x2=n-，所以有m-n-=，m+n=，解得m=或n=，所以AF=.

13. 由题意设动点的坐标为（x，y），则得曲线C：（x+1）（y-1）=k2.

（1）用（-2-x，2-y）代曲线C中的（x，y），方程不变，故曲线C关于点（-1，1）中心对称；

（2）点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则PA≥x+1，PB≥y-1，所以PA+PB≥2=2k.

14. （1）由题意可知，△AF1F2为等边三角形，a=2c，所以e=.

（2）由（1）可知a=2c，b=c，所以直线AB的方程为y=-（x-c），将其代入椭圆方程得Bc，-c，所以AB=·c-0=c=. 由S=·AF1·AB·sin∠F1AB=a2=40，解得a=10，b=5.

15. （1）由y=2x-4，y=x-1得圆心C为（3，2）. 因为圆C的半径为1，所以圆C的方程为：（x-3）2+（y-2）2=1. 显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为y=kx+3，所以=1，所以3k+1=，所以2k（4k+3）=0，所以k=0或k=-. 所以所求圆C的切线方程为：y=3或y=-x+3.

（2）因为圆C的圆心在直线l：y=2x-4上，所以设圆心C为（a，2a-4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1. 又因为MA=2MO，所以设M为（x，y），则=2，整理得：x2+（y+1）2=4，设为圆D. 所以点M应该既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有交点，所以2-1≤≤2+1. 由5a2-8a+8≥0得a∈R；由5a2-12a≤0得0≤a≤. 综上所述，a的取值范围为0，.

16. （1）由对称性可得知：△BFD是等腰直角三角形，所以斜边BD=2p，点A到准线l的距离d=FA=FB=p，S△ABD=4？圳×BD×d=4？圳p=2. 且圆F的方程为x2+（y-1）2=8.

（2）由对称性设Ax0，（x0>0），则F0，，点A，B关于点F对称得：B-x0，p-？圯p-=-？圳x=3p2，所以可得：Ap，，直线m：y=x+？圳x-y+=0；x2=2py？圳y=？圯y′==？圯x=p？圯切点P，，直线n：y-=x-？圳x-y-p=0，坐标原点到m，n距离的比值为：=3.

解析几何测试卷（B卷）

1. C

2. D

3. A

4. 在椭圆C1中，AF1+AF2=2a1=4，AF2+AF2=F1F2=（2c1）2=12，所以在双曲线C2中，AF2-AF1=2，则a2=，c2=c1=，e==，选D.

5. 因为椭圆的离心率为，所以e==，c2=a2，c2=a2=a2-b2，所以b2=a2，即a2=4b2. 双曲线的渐近线为y=±x，代入椭圆得+=1，即+==1，所以x2=b2，x= ±b，y2=b2，y= ±b. 则第一象限的交点坐标为b，b，所以四边形的面积为4×b×b=b2=16，所以b2=5，所以椭圆方程为+=1，选D.

6. 联立y2=4x，y=2x-4 消去y得x2-5x+4=0，解得x=1，x=4，不妨设A点在x轴的上方，于是A，B两点的坐标分别为（4，4），（1，-2）. 又F（1，0），易得cos∠AFB= -. 选D.

7. A

8. C 令PF1=r1，PF2=r2，F1F2=2c，于是由中线长公式可得OP2====2a2-5-c2=a2+b2-5，所以PM·PN=（OM-OP）·（ON+OP）=OM2-OP2=（a2+b2）-（a2+b2-5）=5.

9. 当直线x=m过右焦点时△FAB的周长最大，最大周长为4a=12，所以a=3，所以c2=a2-b2=4，即c=2，所以e=.

10. 4或-

11. 44

12. 设直线为y=k（x+1），联立y2=4x得k2x2+（2k2-4）x+k2=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1+x2=-，y1+y2=k（x1+x2）+2k=. 又点Q为线段AB的中点，所以Q，，所以FQ==2，解得k=±1. 此时k2x2+（2k2-4）x+k2=0的？驻=0，不满足题意. 所以直线l不存在.

13. 易知（PQ-PR）max=PQmax-PRmin，首先将P看做定点，则当Q，R运动时，PQmax=PC2+1，PRmin=PC3-1，故此时（PQ-PR）max=PC2-PC3+2. 然后将P还原为动点，观察发现C3，C2恰为双曲线C1的左、右焦点，即当P点在双曲线C1左支上运动时，PC2-PC3恒为双曲线实轴长2a=8，所以（PQ-PR）max=10.endprint

14. （1）由题意得e==，=，所以c=1，a=2，所求椭圆的方程为+=1.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），把直线l2：y=kx+m代入椭圆方程+=1得到（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0，所以x1+x2=，x1x2=，则AB中点M，. 又M在直线l1上，得3×+4×=0，m≠0，所以k=1，故x1+x2=，x1x2=，所以AB=x-x=，原点O到AB的距离为d=，得到S=≤×=，当且仅当m2=取到等号，检验Δ>0成立.

15. （1）设直线的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0. 因为直线被圆C2截得的弦长为，而圆C2的半径为1，所以圆心C2（3，4）到kx-y+k=0的距离为=. 化简，得12k2-25k+12=0，解得k=或k=. 所以直线的方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.

（2）①设圆心C（x，y），由题意，得CC1=CC2，即可得=. 化简得x+y-3=0，即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.

②圆C过定点. 设C（m，3-m），则由此可得动圆C的半径为=. 于是动圆C的方程为（x-m）2+（y-3+m）2=1+（m+1）2+（3-m）2. 整理，得x2+y2-6y-2-2m（x-y+1）=0. 由x-y+1=0，x2+y2-6y-2=0，可解得x=1+，y=2+，或x=1-，y=2-.所以定点的坐标为1-，2-，1+，2+.

16. （1）由已知有a2+b2=7，由S=2S得2a·2b=2·2c·2b，所以a=2c，解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的方程为+=1.

（2）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由=1得=1，即m2=k2+1. 将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，所以y1y2=（kx1+m）·（kx2+m）=. 若·=0，则可得x1x2+y1y2=+==0. 将m2=k2+1代入上式得-5（k2+1）=0，矛盾. 故此时直线l不存在. 当l垂直于x轴时，显然满足条件的直线l不存在. 综上可知，使·=0成立的直线l不存在.

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月考试卷调研

1. C 2. B 3. A 4. A

5. C 6. C 7. A 8. B

9. D 10. （理科）C（文科）C

11. 12. 13. 2

14. 15. 2

16. 0，

17. （理科），3

（文）[-2，-1）

18. （1）f（x）=m2+m·n=2sin2x+1+2sinxcosx-3=sin2x-cos2x-1=sin2x--1. 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得f（x）的单调递增区间为-+kπ，+kπ（k∈Z）.

（2）由已知f（A）=0，得sin2A-=. 又A为锐角，故A=. 因为△ABC为锐角三角形，所以

19. （1）由a2=，a1=1，a2=3得b1=. 因为anbn=an+1bn+1，所以数列{anbn}是常数数列，anbn=a1b1=. 故bn=. 于是，an+1=+=+=3an. 因此，{an}是以a1=1为首项，以3为公比的等比数列. 所以an=3n-1，bn=.

（2）由（1）得cn==-. Sn=-+-+…+-=-. 因此，对于任意的n∈N，都有Sn<. 要使. 即3n>81，解得n>4. 综上，最小的正整数n=5.

20. （理科）（1）因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC. 又AC=AB，E为BC的中点，所以BC⊥AE. 又AE∩SA=A，所以BC⊥平面SAE. 而AF？奂平面SAE，故BC⊥AF. 下证：AF⊥FB. 假设AF与FB不垂直，过A作AF′⊥FB于F′，因为平面AFB⊥平面SBC，所以AF′⊥平面SBC. 于是，BC⊥平面AFB. 因此BC⊥BF，这是不可能的. 因此AF⊥FB. 从而，AF⊥平面SBC. 所以AF⊥SE. 于是==2. 即SF=2FE.

（2）解法1：假设满足条件的点G存在，并设DG=x. 过G作GM⊥AE于M，又由SA⊥GM，AE∩SA=A，得GM⊥平面SAE. 作MN⊥AF于N，连结NG，则AF⊥NG. 于是∠GNM为二面角G-AF-E的平面角，所以∠GNM=30°. 可得，MG=（1-x）. 由MN∥EF，得=，于是有=，MN=（1+x）. 在Rt△GMN中，MG=tan30°·MN. 因此，（1-x）=·（1+x），解得x=. 所以，满足条件的点G存在，且DG=.

解法2：假设满足条件的点G存在，并设DG=x. 以AC，AB，AS方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系. 则A（0，0，0），S（0，0，2），E（1，1，0），可得G（1，x，0）. 由SF=2FE，得F，，. 经计算，平面AFG的一个法向量n1=（-x，1，x-1），平面SAE的一个法向量n2=（1，-1，0）. 由二面角G-AF-E的大小为30°，得cos30°=，化简得2x2-5x+2=0. 又0≤x≤1，所以x=. 所以满足条件的点G存在，且DG=.

（文科）（1）由AC=AB=2，AC⊥AB，E是BC的中点，得AE=. 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥AE. 在Rt△SAE中，SE=. 于是EF=SE=. 因此AE2=EF·SE. 又因为∠AEF=∠AES，所以△EFA∽△EAS. 所以∠AFE=∠SAE=90°. 即AF⊥SE. 因为SA⊥底面ABC，所以SA⊥BC. 又BC⊥AE，所以BC⊥底面SAE. 所以BC⊥AF. 又SE∩BC=E，所以AF⊥平面SBC.

（2）假设满足条件的点G存在. 连结CF，过G作GH∥AF交CF于H. 因为AF⊥平面SBC，所以GH⊥平面SBC. 因此∠GSH是SG与平面SBC所成角. 所以∠GSH=30°. 于是GH=SG. 设AG=x，则SG=. 由GH∥AF得=. 又AF=，故=，GH=（2-x）. 于是（2-x）=. 解得x=8-2. 因此满足条件的点G存在，且AG=8-2.

21. （理科）（1）因为F（-，0）为椭圆C的一个焦点，所以c=. 设P（x0，y0），由P在椭圆C上，得+=1，即x-a2=-y.于是，kPA·kPA=·===-=-. 因此，a=2b. 故c=b=. 得b=1，a=2. 从而，椭圆C的方程为+y2=1.

（2）由已知，0

而x-4=-4y，y-1=-，故-4yk2-2x0y0k-=0. 得k=-，因此，直线l的方程为y-y0=-（x-x0），即x0x+4y0y-4=0.

因为点O到直线l的距离为d==，0

（文科）（1）因为R在C1上，所以4+m2=5，又m>0，故m=1. 因为R在C2上，所以4=2p，故p=2. 从而，抛物线C2的方程为x2=4y.

（2）设Px0，x（0

因为直线l与抛物线C2只有一个公共点，所以Δ=k2-kx0-x=0. 得k=x0. 因此，直线l的方程为y-x=x0（x-x0），即2x0x-4y-x=0.

由已知，点O到直线l的距离为d===·，因为f（x）=在0

22. （理科）（1）由x2+a≤a+1x，a∈R，得a+1≥0，x2-（a+1）x+a≤0，或a+1<0，x2+（a+1）x+a≤0. 因此，当a>1时，A={x1≤x≤a}；当-1≤a≤1时，A={xa≤x≤1}；当a<-1时，A={x-1≤x≤-a}.

（2）当a≥1时， A={x1≤x≤a}，而S2=a+a2>a，故S2？埸A，不符合条件.

当0

当a<-1时，A={x-1≤x≤-a}. 而S1=a？埸A，不符合条件.

当a=-1时，A={x-1≤x≤1}. S2n-1= -1（n∈N），S2n=1（n∈N），适合条件.

当-1

S2n+1=S2n-1+a2n+a2n+1=S2n-1+a2n（1+a）>S2n-1（n∈N）.

S2n+2=S2n+a2n+1+a2n+2=S2n+a2n+1（1+a）

且S2n-1=-<（n∈N），同理有S2n>（n∈N）. 故S1

只需-1

综上所述，a的取值范围是0

（文科）（1）当a=0时， f（x）=x2+x， f（x）为偶函数；当a≠0时， f（a）=a2， f（-a）=a2+2a，因为f（-a）+f（a）=2a2+2a>0，所以f（x）不是奇函数. 因为f（-a）-f（a）=2a>0，所以f（x）不是偶函数. 综合得f（x）既不是奇函数也不是偶函数.

（2）设h（x）=f（x）+m+（0

一方面，g（x）在x∈（0，2）上有意义，得-4m+2+1≥0，于是m≤-2.

一方面，g（x）

由题设条件，得log2（-4m+1）≤m+2. 化为-4m+1≤2m+2.

设2m=t，则t2+4t-1≥0，解得t≥-2（t≤--2舍去）. 所以2m≥-2，m≥log2（-2）. 综上得log2（-2）≤m≤-2.

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1. 1 2. 3. 3

4. 700 5. 6. -

7. 8. 9. [1，2）

10.

12. 令f（x）=x2-（a2+b2-6b）x+a2+b2+2a-4b+1，则由题意有f（0）=a2+b2+2a-4b+1≤0且f（1）=2a+2b+2≥0，即（a+1）2+（b-2）2≤4且a+b+1≥0. 在直角坐标平面aOb上作出其可行域，而a2+b2+4a=（a+2）2+b2-4的几何意义为PA2-4（其中P（a，b）为可行域内任意的一点，A（-2，0））. 当P点在直线l：a+b+1=0上且AP⊥l时取得最小值；当P点为AC（C为圆（a+1）2+（b-2）2≤4的圆心）的延长线与圆C的交点时达到最大值. 又A点的直线l的距离为，AC=，所以a2+b2+4a的最大值和最小值分别为5+4和-.

13. 方法一：m=+=6++. 当且仅当=，即x=2时m取得最小，此时点P的坐标为（2，3）.

方法二：m=+=6++. 当且仅当=时m取得最小值. 下略.

14. 方法一：因为a1>a2>a3，a1+a2+a3=0， 所以a1>0，a3<0，消去a2得-2<<-，且a1a-（a1+a3）a4+a1+a3=0，两边同除以a1得a-1+a4+1+=0，解得=-1，所以-2<-1<-，解得

方法二：因为a1>a2>a3，a1+a2+a3=0，所以可得1>>，1++=0，令x=，y=，则y

15. （1）f（x）=a·b=2cos2+sinωx=sinωx+cosωx+1=2sinωx++1，所以f（x）的最小正周期是T==π（ω>0），故ω=2.

（2）由（1）知， f（x）=2sin2x++1. 因为x∈0，，所以2x+∈，，于是f（x）=2sin2x++1∈[2，3]. 故当x=时， f（x）max=3；当x=0时， f（x）min=2.

16. （1）因为BC∥平面PAD，而BC？奂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD=AD，所以BC∥AD. 因为AD？埭平面PBC，BC？奂平面PBC，所以AD∥平面PBC.

（2）自P作PH⊥AB于H，因为平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD=AB，所以PH⊥平面ABCD. 因为BC？奂平面ABCD，所以BC⊥PH. 因为∠PBC=90°，所以BC⊥PB，而∠PBA≠90°，于是点H与B不重合，即PB∩PH=H. 因为PB，PH？奂平面PAB，所以BC⊥平面PAB. 因为BC？奂平面PBC，故平面PBC⊥平面PAB.

17. （1）因为关于x的不等式f（x）≤0的解集中有且只有一个元素，所以二次函数f（x）=x2-ax+2（x∈R）的图象与x轴相切，于是（-a）2-4×2=0，考虑到a<0，所以a=-2. 从而f（x）=（x+）2，故数列{an}的前n项和Sn=（n+）2（n∈N）.于是a1=S1=（1+）2=3+2；当n>1，n∈N时，an=Sn-Sn-1=（n+）2-[（n-1）+]2=2n+2-1. 故数列{an}的通项公式为an=3+2，n=1，2n+2-1，n>1，n∈N.

（2）bn==n+2. 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（正整数p，q，r互不相等）成等比数列，则b=bpbr，即（q+2）2=（p+2）（r+2），整理得（pr-q2）+2（p+r-2q）=0. 因为p，q，r都是正整数，所以pr-q2=0，p+r-2q=0，于是pr-2=0，即（p-r）2=0，从而p=r与p≠r矛盾. 故数列{bn}中不存在不同三项能组成等比数列.

18. （1）当点F与点C重合时，由题设知，S△BEC=S？荀ABCD，于是EB·h=AB·h，其中h为平行四边形AB边上的高，得EB=AB，即点E是AB的中点.

（2）因为点E在线段AB上，所以0≤x≤20. 当10≤x≤20时，由（1）知，点F在线段BC上，因为AB=20m，BC=10m，∠ABC=120°，所以S？荀ABCD=AB·BC·sin∠ABC=20×10×=100. 由S△EBF=x·BF·sin120°=25得BF=，所以由余弦定理得y==. 当0≤x<10时，点F在线段CD上，由S四边形EBCF=（x+CF）×10×sin60°=25得CF=10-x，当BE≥CF时，EF=，当BE

，化简均为y=2.

综上，

y=2，0≤x<10，，10≤x≤20.

（3）当0≤x<10时，y=2=2，于是当x=时，y=5，此时CF=；当10≤x≤20时，y=≥=10>5，故当E距B点2.5m，F距C点7.5m时，EF最短，其长度为5m.

19. （1）由题设知，A（-1，0），B（1，0）. 设P（x0，y0）（y0≠0），则kPQ=，kPA=，kPB=. 因为kPA，kPQ，kPB成等差数列，所以2kPQ=kPA+kPB，即=+，亦即=，由于y0≠0，所以x0=-. 故动点P的横坐标为定值-.

（2）由（1）知，P-，y，kPA==2y，kPB==-. 直线PA的方程为y=kPA（x+1），代入x2+y2=1得（x+1）[（1+k）x-（1-k）]=0，于是点S的横坐标xS=，从而yS=. 同理可得xT=，yT=. 因为==，=== =，所以直线QS和直线QT的斜率相等，故点S，T，Q共线.

20. （1）因f（x）在（1，+∞）上为减函数，故f′（x）=-a≤0在（1，+∞）上恒成立. 所以当x∈（1，+∞）时， f′（x）≤0. 又f′（x）=-a=-2+-a=--2+-a，故当=，即x=e2时， f ′（x）max=-a. 所以-a≤0，于是a≥，故a的最小值为.

（2）命题“若？埚x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f ′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f ′（x）max+a”. 由（1），当x∈[e，e2]时， f ′（x）max=-a，所以f ′（x）max+a=. 问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”. 1°当a≥时，由（1）， f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=-ae2≤，故a≥-. 2°当a<时，由于f ′（x）= --2+-a在[e，e2]上为增函数，故f ′（x）的值域为[f ′（e）， f ′（e2）]，即-a，-a.

（i）若-a≥0，即a≤0， f′（x）≥0在[e，e2]上恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，于是， f（x）min=f（e）=e-ae≥e>，不合题意.

（ii）若-a<0，即00，f（x）为增函数；所以， f（x）min=f（x0）=-ax0≤，x0∈（e，e2）. 所以，a≥->->-=，与0

综上，得a≥-.

21. （A）因AE=AC，AB为直径，故∠OAC=∠OAE. 所以∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC. 又∠EAC=∠PDE，所以∠PDE=∠POC.

（B）矩阵M的特征多项式为f（λ）=λ-1 -2-2 λ-1=λ2-2λ-3. 令f（λ）=0，解得λ1=3，λ2=-1，从而求得对应的一个特征向量分别为a1=11，a2=1-1. 令β=ma1+na2，所以求得m=4，n=-3. M5β=M5（4a1-3a2）=4（M5a1）-3（M5a2）=4（λ51a1）-3（λ52a2）=4·3511-3（-1）51-1=975969.

（C）C1：（x-2）2+（y-2）2=8，所以圆心C1（2，2），半径r1=2；C2：（x+1）2+（y+1）2=a2，所以圆心C2（-1，-1），半径r2=a. 圆心距C1C2=3. 两圆外切时，C1C2=r1+r2=2+a=3，a= ±；两圆内切时，C1C2=r1-r2=2-a=3，a=±5. 综上，a=±，或a=±5.

（D）证明：因为x，y，z都是正数，所以+=+≥.

同理，可得+≥，+≥.将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得++≥++.

22. （1）设事件A：“恰用完3次投篮机会”，则其对立事件：“前两次投篮均不中”，依题意，P（A）=1-P（）=1-（1-p）2=，解得p=.

（2）依题意可得，ξ的所有可能值为0，1，2，3，且P（ξ=0）=（1-p）2=，P（ξ=1）=p（1-p）2+（1-p）p（1-p）=，P（ξ=3）=p3=，故P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）=，ξ的概率分布表为：

所以E（ξ）=+2×+3×=（次）.

23. （a+b）n=Can+Can-1b+Can-2b2+

…+Can-rbr+…+Cbn，n∈N.

证明：法1：①当n=1时，左边=a+b，右边=Cab0+Ca0b=a+b，所以结论成立.

②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，则当n=k+1时，（a+b）k+1=（a+b）k·（a+b）=（Cak+Cak-1b+Cak-2b2+…+Cak-rbr+

…+Cbk）·（a+b）=（Cak+1+Cakb+Cak-1b2+

…+Cak+1-rbr+…+Cabk）+（Cakb+Cak-1b2+Cak-2b3+…+Cak-rbr+1+…+Cbk+1）=Cak+1+（C+C）akb+（C+C）ak-1b2+…+（C+C）·ak+1-rbr+…+（C+C）abk+Cbk+1=Cak+1+Cakb+…+Cak+1-rbr+…+Cabk+C·bk+1=（a+b）k+1. 所以，结论对n=k+1时也成立. 由①②，原命题得证.

法2：（参见教材证明）