基于导向矢量估计的鲁棒自适应波束形成算法

李洪涛 陈 诚 曾文浩 朱晓华

（南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏南京210094）

基于导向矢量估计的鲁棒自适应波束形成算法

李洪涛 陈 诚 曾文浩 朱晓华

（南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏南京210094）

针对在导向矢量存在误差情况下自适应波束形成算法性能严重下降的问题，提出一种基于导向矢量估计的鲁棒自适应波束形成（Steering Vector Estimation Based Robust Adaptive Beamforming，SVE-RAB）算法.算法用导向矢量不确定范围估计真实导向矢量，利用范数约束通过二阶锥规划技术提高波束形成的鲁棒性.算法可在导向矢量存在误差的情况下，对期望信号保持最大增益并有效抑制干扰，且有效提高了波束形成输出的信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）.仿真结果验证了算法的有效性和优越性.

波束形成；鲁棒性；导向矢量

引 言

自适应波束形成技术作为阵列信号处理的重要分支之一，在雷达、声纳、无线通信、射电天文等诸多领域得到了广泛的应用［1］.但在阵列导向矢量存在误差、接收信号包含期望信号或在快拍数较少的情况下使用信号协方差矩阵代替理想协方差矩阵时，自适应波束形成器会出现鲁棒性明显下降的问题［2］.

并且可以证明［3］，在低快拍数下使用信号协方差矩阵造成的误差，可以等同于信号导向矢量误差.因此，波束形成鲁棒性的研究主要集中在信号导向矢量误差以及接收信号中包含期望信号等方面.

为了提高波束形成对上述各种情况下的适应性，近年来出现了大量针对波束形成鲁棒性的研究［3－16］：特征空间波束形成（Eigenspace Based Beamforming，ESB）算法［3－4］对导向矢量误差具有良好的鲁棒性，但其接收信号中必须包含较强真实信号且需要子空间维数的先验信息或估计；基于对角加载类的鲁棒波束形成算法［5－12］对各种情况下的误差均具有一定的适应性，但在导向矢量存在误差的情况下无法对真实目标信号保持最大增益，波束形成输出的信干噪比（Signal to Interference plus Noise Ratio，SINR）会受到一定程度的损失；基于幅度约束的鲁棒波束形成算法［13－14］通过在波束主瓣内形成平顶响应，对导向矢量误差具有良好的鲁棒性，但其需要主瓣宽度的先验信息且在其主瓣范围内会引入额外的干扰及噪声.

针对上述问题，首先根据导向矢量不确定范围估计真实导向矢量，利用范数约束通过二阶锥规划技术提高波束形成的鲁棒性，提出基于导向矢量估计的鲁棒自适应波束形成（Steering Vector Estimation Based Robust Adaptive Beamforming，SVERAB）算法.算法通过估计真实导向矢量，令波束形成主瓣对准真实信号，可在接收信号中包含或者不包含真实信号的情况下保持对真实信号的最大增益，并利用范数约束提高算法的鲁棒性.

1 ESB鲁棒波束形成算法

考虑M个远场窄带非相干信号入射到阵元个数为N的等距线阵（Uniform Linear Array，ULA）上，则阵列接收数据x（t）可表示为

式中：A＝［a（θ1），a（θ2），…，a（θM）］为阵列流型矩阵；s（t）＝［s1（t），s2（t），…，sM（t）］T为t时刻信号的复包络；n（t）为高斯白噪声矢量.

阵列输出总功率为

式中：ω为阵列加权矢量；Rx＝E｛x（t）xH（t）｝是接收数据协方差矩阵，E｛·｝表示数学期望.

与常规自适应波束形成算法不同的是，ESB算法在当阵列接收回波数据中包含较强真实信号时，通过将理想导向矢量向对Rx进行特征分解得到的信号子空间Us投影，可得真实导向矢量的估计值［4］

但在阵列接收回波数据中不包含真实信号或在真实信号的信噪比（Signal to Noise Ratio，SNR）较低的情况下，信号子空间不包含真实信号分量，此时估计得到的真实导向矢量将向干扰导向矢量空间收敛，导致波束形成指向错误［4］.

2 本文算法

由上面的分析可知，ESB算法对导向矢量误差具有良好适应性的前提是在其接收回波数据中包含较强的真实信号，否则其信号子空间将不包含真实信号分量，导致波束指向错误.针对这个问题，提出根据导向矢量不确定范围确定合适的信号子空间，估计阵列真实导向矢量.

设真实导向矢量与理想导向矢量之间存在有限的误差［6］，即

式中ε0为导向矢量不确定约束因子，由系统设计阵元间距误差、通道间幅相不平衡、互耦等因素决定，可由实际系统设计估计得到.

则由式（3）确定的真实导向矢量必须满足式（4）的约束，将式（3）代入式（4），得到

整理可得

或

式中Un为对Rx进行特征分解得到的噪声子空间.

式（7）表明：阵列理想导向矢量向接收信号噪声子空间投影的2范数不能大于约束因子ε0，即理想导向矢量的分量主要集中在信号子空间.

若式（7）不成立，则表明理想导向矢量在噪声子空间的分量过大，噪声子空间含有过多的理想导向矢量分量，估计的真实导向矢量不满足式（4）的约束，此时需要重新搜索子空间，因此，定义子空间维度函数为

式中＾Us（k）∈CN×k为维数是N×k的信号子空间.

将Rx的特征矢量按特征值大小依次排列，则信号子空间维数k∈［1，N］，令k在其取值范围内由小到大依次搜索，直到子空间维度函数满足

此时搜索得到的信号子空间包含理想导向矢量绝大部分的分量，利用理想导向矢量向搜索到的信号子空间投影估计的真实导向矢量与理想导向矢量的误差满足式（4）的约束.

利用经过上述搜索估计得到的导向矢量进行Capon波束形成，得到式（10）的波束形成器可估计真实导向矢量，避免导向矢量指向误差造成的波束形成器性能的下降，同时为了增加其鲁棒性，对式（10）添加提高波束鲁棒性的范数约束，提出SVE-RAB算法：

式中ζ0为范数约束因子，Li等学者［8］已给出其具体求解方法.

对Rx进行Cholesky分解可得

将式（12）带入式（11），并整理得到

式（13）可以转化为二阶锥规划问题，采用内点算法求解.刘聪锋等学者［17］也提出了不同的求解方法.

综上所述，SVE-RAB算法求解步骤如下：

1）将对Rx进行特征分解得到的特征向量按特征值大小依次排列；

2）根据式（9）搜索信号子空间，求解满足子空间维度函数最小k值对应的信号子空间；

3）利用得到的信号子空间估计真实导向矢量；

4）根据式（13），求解SVE-RAB算法加权矢量.

SVE-RAB算法中对Rx进行特征分解的运算量为O（N3），求解式（13）的SOCP内点方法的运算量为O（ρN3），其中ρ为迭代次数，一般取ρ＝10.SVE-RAB算法运算量约为O（11×N3）.对角加载类鲁棒波束形成算法［5－12］的运算量为O（N3），基于幅度约束的鲁棒波束形成算法［13－14］的运算量为O（8 ×N3）.SVE-RAB算法的运算量略高于上述鲁棒波束形成算法的运算量.

SVE-RAB算法可在阵列接收回波信号中不包含真实信号或真实信号SNR较低的情况下估计真实导向矢量，并利用范数约束提高波束形成的鲁棒性，是一种鲁棒自适应波束形成算法.

3 计算机仿真

本节通过在不同误差情况下比较SVE-RAB算法与ESB算法、范数约束Capon波束形成（Norm Constained Capon Beamformer，NCCB）算法、采用采样协方差矩阵求逆（Sample Matrix Inversion，SMI）算法以及采用对角加载SMI（Loading SMI，LSMI）算法的性能.仿真中，采用阵元间距d＝λ／2，阵元个数N＝10的ULA阵.LSMI算法的加载噪声级（Load to White Noise Ratio，LNR）为10dB.噪声为高斯白噪声.所有实验均为500次蒙特卡罗实验仿真的结果.

仿真实验1 设空间存在2个互不相干的干扰信号，入射角分别为－20°和10°，干扰的干噪比（Interference to Noise Ratio，INR）均为40dB，期望信号方向为0°，快拍数为10×N＝100.

图1（a）为当阵列接收回波信号中存在真实信号，且真实信号方向为0°，导向矢量不确定因子ε0＝0.1时，子空间维度函数f（k）随子空间维数k的变化曲线.从图1（a）可看出：当真实信号的输入SNR大于0dB以上时，k＝3对应f（k）的值小于ε0＝0.1，子空间维数为10×3，子空间的选择与ESB算法相同，估计的真实导向矢量＾a（θ0）＝UsUHsa（θ0）；当真实信号的输入SNR小于0dB时，子空间维度函数满足式（9）约束的维数k＝10，即子空间维数为10×10，估计的真实导向矢量＾a（θ0）＝a（θ0）.即理想导向矢量.SVE-RAB算法通过式（4）的约束解决了ESB算法指向错误的问题.在输入SNR较高的情况下，SVE-RAB算法与ESB算法相同，可以正确估计真实导向矢量；在输入SNR较低的情况下，SVERAB算法通过式（4）的约束，使估计的真实导向矢量收敛于理想导向矢量.从上面的分析可以得出：SVE-RAB算法可在输入信号的SNR较高的情况下，正确估计真实导向矢量；在输入信号的SNR较低的情况下，避免估计的导向矢量向干扰导向矢量空间收敛的问题.同时，在阵列接收回波信号SNR较低的情况下，由于信号子空间已经无法正确选择，在未知期望信号真实导向矢量的情况下，理想导向矢量是最好的选择，这正是SVE-RAB算法的物理意义.

图1（b）为真实信号方向为2°，导向矢量不确定因子ε0＝0.3时，子空间维度函数f（k）随k的变化曲线.从图1（b）可看出，当阵列接收回波信号的SNR大于0dB以上时，k＝3对应的子空间维度函数满足式（9），子空间维数为10×3，子空间选择与ESB算法的相同；当阵列接收回波信号的SNR小于0dB时，子空间维度函数满足式（9）的维数k＝10，子空间维数为10×10，此时子空间选择与ESB算法不同，真实导向矢量的估计为＾a（θ0）＝a（θ0）.

仿真实验2 设空间存在两个互不相干的干扰，其入射角分别为20°和－40°，干扰的INR均为50dB，期望信号方向为0°.真实输入信号方向为2°，输入信号的SNR为10dB.图2（a）为快拍数为20× N＝200时，几种算法输出方向图对比.从图2（a）中可以看出：SVE-RAB算法的波束指向为2°，并可在干扰处形成较深的零陷；ESB算法在高输入SNR下的性能与SVE-RAB算法接近；NCCB算法波束指向为0°，因此无法对真实信号保持最大增益.LSMI算法由于期望信号与真实信号角度存在误差，波束性能严重下降.图2（b）为快拍数为2×N＝20时，几种算法输出方向图对比.从图2（b）中可以看出：在低快拍下SVE-RAB算法的波束指向为2°，并可有效抑制干扰；其他算法的性能均有一定程度的下降.

仿真实验3 设空间存在两个互不相干的干扰，其入射角分别为20°和－40°，两个干扰的INR均为50dB，期望信号方向为0°.真实信号方向为2°，输入SNR为－20dB.图3（a）为快拍数为20×N＝200时，几种算法输出方向图对比.从图3（a）中可以看出：SVE-RAB算法波束指向的估计值为0°；ESB算法在低SNR下无法形成有效波束指向；NCCB及LSMI算法在低SNR均可形成有效波束.图3（b）为快拍数为2×N＝20时，几种算法输出方向图对比.从图3（b）可看出：在低快拍下SVE-RAB算法的波束指向为0°，并可有效抑制干扰.NCCB算法在这种情况下具有与SVE-RAB算法相同的性能.

从仿真2、3中可以看出：SVE-RAB算法在低信噪比下解决了ESB算法失效的问题，且与NCCB算法性能基本相同；在高信噪比条件下，SVE-RAB算法与ESB算法性能基本相同，但比NCCB算法具有更为优越的性能.因此，SVE-RAB算法可以应用于任意信噪比下，比ESB、NCCB算法具有更为广泛的应用前景.

仿真实验4 设空间存在两个互不相干的干扰，其入射角分别为10°和－60°，两个干扰的INR均为50dB，真实信号方向为1°，仿真快拍数为20× N＝200.图4为几种算法输出SINR随输入SNR的变化曲线.从图4可看出：SVE-RAB算法输出SINR随输入SNR增加而增加，且输出SINR高于另外几种算法；由于可以保持对真实信号的最大增益，因此ESB算法输出SINR高于其他几种算法；SMI算法由于期望信号相消现象，输出SINR随输入SNR的增加先增加后减小；LSMI算法输出SINR优于SMI算法，但其对角加载值是固定值，因此随着输入SNR的增加，仍然出现信号相消现象.

仿真实验5 设空间存在两个互不相干的干扰，其入射角分别为30°和40°，两个干扰的INR均为50dB，期望信号方向为0°，输入信号与期望信号角度误差由0°到5°变化，且输入信号的SNR为25 dB，快拍数为20×N＝200.图5为几种算法输出SINR随输入信号角度变化曲线.从图5可看出：SVE-RAB算法输出SINR随输入信号角度与期望信号角度误差的增大而略有下降；ESB算法性能比SVE-RAB算法稍差；因无法保持对输入信号的高增益，NCCB算法输出SINR呈现出较为明显的下降趋势；SMI以及LSMI算法在输入信号与期望信号方向偏离一定角度后产生信号相消现象，因此输出SINR随角度误差增大急剧下降.

4 结 论

针对在导向矢量存在误差情况下波束形成鲁棒性下降的问题，提出SVE-RAB算法.算法首先利用导向矢量不确定范围估计真实导向矢量，然后利用范数约束增强波束形成的鲁棒性.SVE-RAB算法可在低快拍及导向矢量存在误差的情况下保持对期望信号的最大增益，有效提高波束形成的输出SINR，并解决ESB算法在接收数据中不包含期望信号或期望信号的SNR较低的情况下失效的问题，是一种鲁棒的波束形成算法.

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Steering vector estimation based robust adaptive beamforming algorithm

LI Hongtao CHEN Cheng ZENG Wenhao ZHU Xiaohua
（School of Electronic Optical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing Jiangsu 210094，China）

To solve the degradation of robustness against array steering vector error in the adaptive beamformer，a novel steering vector estimation based robust adaptive beamforming（SVE-RAB）is proposed.The presented algorithm estimates the real steering vector according to the uncertainty of the array steering vector.Then，the robustness of the new beamforming is enhanced by using norm constraint on the array weight vector.The algorithm can keep the desired signal with the maximum gain with the interference being well suppressed in case of array steering vector error，thus considerable improving the output signal to interference plus noise ratio（SINR）.Simulation results confirm the validity and superiority of the proposed algorithm.

beamforming；robust；steeringvector estimation

TN958.93

A

1005-0388（2015）01-0188-07

李洪涛 （1979－），男，江苏人，南京理工大学电子工程与光电技术学院讲师，博士，研究方向为阵列信号处理、自适应信号处理及压缩感知等.

陈 诚 （1987－），男，江苏人，博士研究生，研究方向为雷达信号处理、噪声雷达体制、稀疏阵列信号处理.

曾文浩 （1990－），男，河南人，博士研究生，研究方向为阵列信号处理、雷达成像.

朱晓华 （1966－），男，江苏人，南京理工大学电子工程与光电技术学院教授，博士，博士生导师，研究方向为雷达系统理论与技术、雷达信号理论与应用及高速实时数字信号处理等.

李洪涛，陈 诚，曾文浩，等.基于导向矢量估计的鲁棒自适应波束形成算法［J］.电波科学学报，2015，30（1）：188-193＋200.

10.13443／j.cjors.2014021301

LI Hongtao，CHEN Cheng，ZENG Wenhao，et al.Steering vector estimation based robust adaptive beamforming algorithm［J］.Chinese Journal of Radio Science，2015，30（1）：188-193＋200.（in Chinese）.doi：10.13443／j.cjors.2014021301

2014-02-13

国家自然科学基金（61301022）联系人：李洪涛E-mail：floodlee＠126.com