压轴题解答：行进在求“简”的道路上

压轴题解答：行进在求“简”的道路上

☉浙江省杭州市明珠实验学校宋芳

在中考试卷中，压轴题是“拦路虎”，影响着学生答卷的心情和答卷的速度.此类考题一般涉及的考点较多，具有较强的综合性，是中考中区分度最大的试题，是学生的应试难点.在试题类型上，填空题、选择题和解答题均有压轴问题.解答题的压轴题，一般为全卷最后一题，由一个题干和多个问题组成，问题之间难度不断增加.中考时，解答这道压轴题一般在规定时段的最后阶段，解答的时间并不充裕.所以，很多学生没能给出解题过程或者给出“带病”的解题过程.为了改变这一现状，笔者对近期几次模拟考试中学生给出的压轴题解答状况进行了分析，找到了一些应对的策略，现将其呈现出来，希望能给您的教学带来一些启示.

一、解题方法要凸显“简捷”

自从学生开始数学认知活动，追求“简捷”解法，一直贯穿于学生的数学学习活动之中.小学中的简便计算和初中解法优选，都在培养着学生的“求简”意识.在很多数学问题的解答中，学生的“求简”意识会自然生成，成为解题的“惯性”行为.对压轴题的解答而言，“求简”意识的激活显得十分重要.究其原因有二：一是考试时间有限，简捷的解题路径会节约大量的考试时间；二是有限的答题空间，需要学生尽可能写出在得分点上的解题步骤.所以，我们应鼓励学生尽可能给出化解压轴题的简捷方法，用最少的时间和最简捷的解题方法给出最规范的解题过程.

案例1：二次函数解析式的求法“优选”.

题目如图1，二次函数y=-x2＋bx＋c的图像与x轴交于点A（-1，0） B（2，0），与y轴相交于点C.

（1）求二次函数的解析式；

（2），（3）略.

考情简析：二次函数的解析式一共有三种形式，分别是“一般式”y＝ax2+bx+c（a≠0）、“顶点式”y＝a（x-h）2+k（a≠0）和“交点式”y＝a（x-x1）（x-x2）（a≠0）.在模拟考试中，三种表达式的优选也就成为了一个“考点”，几乎每一次考试中都会出现.这次模拟考试中，有学生根据“二次函数y=-x2+bx+c的图像与x轴相交于点A（-1，0）、B（2，0）”，列出了方程组解得最终得出二次函数的解析式为y=-x2+x+2；还有学生根据“二次函数y=-x2+bx+c”这一条件，得到了交点式y＝a（x-x）1（x-x）2中的a＝-1，然后直接写出了解析式为y＝-（x＋1）（x-2）；还有学生根据“A（-1，0），B（2，0）”先求出了该抛物线的对称轴为x＝，然后设其为顶点式y＝，再从点A、B中选择一点代入求出k，即得到解析式.

图1

案例分析：“根据题目给出的点优选表达式求二次函数的解析式”，是学生解答“以二次函数为背景的压轴问题”的必备技能.在本题的求解中，学生分别用三种表达式给出了不同的解题方法.从案例中给出的三种解法不难发现，用“交点式”求解是最为简捷的.用这种方法求解的同学，从一般式入手，比对y＝ax2+bx+c（a≠0）和y=-x2+bx+c发现其中的a为-1，然后直接将a的值和两个交点的横坐标代入y＝a（x-x1）（x-x2）就得出了所要求的二次函数的解析式，这样的解题过程几乎没有运算的参与，只需学生仔细分析题意，将三种表达式与所给的解析式比对即可发现最终的解析式.而其他的解法要么是列方程组、解方程组，要么是对条件进行转化先得出对称轴，解题方法变得复杂了不少，当然耗时也就不会太少了.

教学启示：从上面的分析不难看出，二次函数解析式的选择与题目所给出的条件有着很大的关系，“析点优选”应该成为学生化解“求二次函数解析式”问题的惯性行为.为此，复习课上，我们可以通过适量的题组训练，在三种解析式之间进行比对，让学生发现不同表达式求解的优势，从而养成“析点优选”的习惯，逐步内化为解题经验，并在解题中“外显”为解题行为.

二、情境重建应追求“简约”

压轴题的问题情境一般都十分丰富，既有文字信息，又有符号信息，还有图形信息.在复杂的问题情境之下，一般会设置不少于两个问题.问题之间有些是递进关系的，前面问题的结论成为后面问题化解的条件，还有些是并列关系的，前面问题的化解为后面问题的化解提供方法和技巧上的引领.但无论是怎样的问题设置方式，我们都应该指导学生适时地对问题情境进行“重建”，以求用“简约”的情境为后续问题的化解做铺垫.

案例2：一道压轴题的“情境重建”.

题目如图2，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.直线y=kx+b与抛物线同时经过点A（0，3）、B（4，0）.

图2

（1）求m，n的值；

（2）点M是二次函数图像上的一点（点M在AB下方），过点M作MN⊥x轴，与AB交于点N，与x轴交于点Q.

①求MN的最大值；

②是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

考情简析：第（1）题的解答较为简单，绝大多数学生都能给出正确的解题过程和“m=1，n=3”的结论；第（2）题的第①小题并不难，在求出直线AB的解析式最终得出“当x=2时，MN取得最大值为4”的大约有一半学生；第（2）题的第②小题，有了前面的结论按理应该能够顺利得解，但由于很多同学没能将前面的结论转化为解题的条件，问题的情境没能有效地重建，复杂的文本和图形信息导致很多同学不能顺利找到化解问题的思路，从而导致出错较多.

教学启示：通过适量的训练，让学生感知“情境重建”在解题时的巨大作用，并培养学生自主简化解题情境的能力.就以上面的这道题目为例，第（2）题的第②小题的求解情境可以进行如下重建.

图3

如图3，点A（0，3），B（4，0），点N为线段AB上的一个3后，求得动点，NQ⊥x轴，点Q为垂足.是否存在点N，使△AOB和△NOQ相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

对比原来的问题情境和重建后的问题情境，我们不难发现，只要抓住问题的本质，从解题需要入手，原来的结论将会被直接转化为求解的条件，思路分析自然会清晰不少，给出正确的解题过程也就在情理之中了.

三、过程书写要力求“简洁”

解题就如写文章一样，要重点突出，主次分明.细细分析同学们给出的压轴题的求解过程，笔者很有感触.一些同学写了很多的解题步骤，数量上给人以充实的感觉，然而判分时却一分不得；一些同学只给出了很少的解题步骤，却在质量上取胜，获得了高分.这就告诉我们，压轴题的解答过程的呈现要力求“简洁”，过程直指问题化解的核心步骤，不啰嗦，不拖泥带水，可有可无的内容尽可能不出现在答题区域，避免步骤数量遮盖了内在的质量.

案例3：一道压轴题的过程点评.

（一名同学解答案例2中的压轴题的过程）

教师：请同学们认真观察，并说说这样的解题过程有哪些优点？还有什么不足的地方？

学生1：他能将答题区域进行“规划”，按照“从左往右，自上而下”书写解题过程，这是很值得我们学习的.

学生2：列方程组求直线AB的解析式时，解方程组的过程被省略了，直接写出了k和b的值，缩写的是“待定系数法”的关键步骤.

学生3：我感觉第（2）题的第①小题中求MN的长时，列出式子后，他还将配方的完整过程写下来了，这好像有点多了！

教师：你们同意吗？

学生4：同意！这一小题的解题目标是“求MN的最大值”，根据代数式配方是求解的一个环节并非解题目标，在书写解题过程时，配方过程完全可以写在草稿纸上，只需直接给出“-（x-2）2＋4”的结果就行了，他写得真的有点多了.

学生5：第（2）题的最后一问，他做得还是很不错的.抓住两个三角形中的直角，以直角边的对应关系为依据进行分类讨论，这是我没有想到的.

学生6：是的.他抓住“∽”的对应关系，分别给出两个比例式，接下来的列方程就十分便利了.

教师：真不错！大家结合这个解题过程发表了自己的见解，我们要将这一过程中体现出的良好习惯继续发扬下去，对大家指出的不足“有则改之，无则加勉”.写简洁的过程，是我们解答压轴题的追求，在这条道路上，我们要加倍努力，找到简捷的解题方法，写出省时、省地但又不失分的过程将成为我们中考复习的重要任务.

案例分析：压轴题的解答不仅受时间限制，在空间上也有很高的要求.一般地，在网上阅卷后，命题者会圈出一个矩形区域用于学生呈现解题过程.所以，解答压轴题，不仅要追求简捷的方法，还要力求呈现出最有效的解题步骤.案例3中，教者让学生从已有的解题过程入手，将交流建立在“鲜活”的案例之上，先期自主解答过程的经历，确保了学生能“自我比对”，畅谈投影“优劣”，让解题交流“言之有物，言而有效”.从交流的成效看，分析解题优点，强化了学生对良好习惯的解题价值的体验；理清存在的问题，突出了共性“不足”的交流，从而引起全体学生的关注，养成主动规避问题的自觉意识.

教学启示：压轴题教学是数学教学的难点，在中考前的复习课上，我们应设计指向中考的教学.解题过程的书写，自然也应成为复习教学的重要内容.为此，我们可以从学生的解题过程入手，让学生自己用发现的眼光分析已有的解题过程，剖析优劣，在渐进训练中养成良好的解题过程书写习惯，为谋求中考有效得分夯实基础.

在中考中，压轴题的高难度让很多同学失去了求解的信心.为了帮助学生打破为难情绪，顺利找到化解问题的方法，并给出在“得分点”上的有效步骤，我们应立足复习课堂，以讲评引领提升.在追求“简捷”的解题方法中，让学生养成“走近路”的自觉意识；在追求“简约”的情境重建中，让学生形成“避干扰”的解题策略；在追求“简洁”的解题过程中，让学生形成“述关键”的解题行为.中考压轴题求解是一个反复探究的过程，需要思维的不断矫正与思路的反复调整，既关乎学生的知识与技能，也与学生的基本活动经验有关，此外，个体的情绪、素养在此过程中也起着重要的作用.因此，压轴题教学要关注的方面除了本文中的这些，还有很多方面，期待着您能一并参与到研究中来，也恳请您能够对本文中的不足提出宝贵的意见和建议.

1.吴光华.情境“提纯”——函数压轴题求解的有效策略［J］.中学数学（下），2014（4）.

2.刘绪田，刘现民.探索性中考题的解答策略［J］.中学数学杂志（初中版），2007（2）.H