阅读思考提高——读《中学数学》关联文章后的思考

阅读思考提高
——读《中学数学》关联文章后的思考

☉江苏省南京市第29中学教育集团致远校区朱玉祥

读《中学数学》时，常常读到有关联性的文章，特别容易引起笔者的兴趣.有些关联文章是学习前文后的实践体会，有的关联文章是阅读前文后的进一步思考，也有的关联文章是对前文的争辩或商榷.无论哪一种关联，笔者总喜欢把相关联的两篇或多篇文章放在一起阅读.通过阅读，融进自己的思考，总能从中获得可喜的提高.网上常有老师说，《中学数学》具有可读性.笔者觉得，常态性的关联文章的发表肯定可以算在可读性范围之内.《中学数学》这么做，其实就是在给作者机会的同时也在给读者机会；就是在鼓励读者阅读《中学数学》的同时也能积极地参与《中学数学》的写作；就是在为广大一线教师提供一个平台，让教师能够在《中学数学》上开展刊上教研和交流，担起为一线教学服务的责任.

笔者尝试把阅读《中学数学》部分关联文章的一些思考，以“研讨”的形式和大家交流，以期老师们能更多地关注关联文章，研讨关联文章.当然，笔者这样做更期待能获得同行的指导和帮助.

一、写关联文章要仔细阅读原文

2015年第1期《中学数学》（下）上有一篇文章，题目是《关于试题人文价值的另类思考——从2014年北京中考卷第25题说起》（以下称文1）.在阅读文1时，发现文中引用2014年北京中考卷第25题时有个错误，即题（3）中的二次函数应该是y=x2，文中却写成y=-x2.由于文1与2014年第8期《中学数学》（下）的一篇文章有关联，笔者就又阅读了关联文章《数形互助来破题，探索发现是导向——2014年北京卷压轴题解析与思考》（以下称文2）.笔者看到，文2引用2014年北京中考卷第25题与文1有同样的错误.笔者早先阅读过文2，对此错做过批注.现在把两篇文章放在一起来读，就有了新的想法.文1是文2的关联文章，却继承了文2的错误，显然可以说明，文1的作者其实并没有很好地阅读文2，就从文2中“拿来”了“话题”，也“拿来”了错误.笔者还看到，文2被人大复印报刊资料《初中数学教与学》2014年第10期全文转载，这个错误同样也被“全文转载”了.一错二错连三错，未免有点遗憾.

图1

如果说，文1中出现题目引用错误并不妨碍作者对试题人文价值的另类思考的话（当然，从“人文价值观”考虑，还是不出引用错误为好），文2中有3处出现这个引用错误，就让读者费解了.比如作者分析函数y=-x2的图像特点时说，“它的顶点是最低点”，显然这个说法与函数y= -x2的图像对不上号.笔者最初阅读时，以为作者把图像画错了，就重画了图像研究（见图1），结果看到，若把函数y=-x2（-1≤x≤m，m≥0）的图像向下平移m个单位，那么，所得的结论是：无论m值是多少，其边界值t都无法满足≤t≤1.此时，笔者才考虑到可能是作者把题目“抄”错了.上网查原题，果然是作者把函数y=x2错写成y=-x2了.

写关联文章，笔者认为，作者一定要对原文认真仔细地研读，在尊重原文的基础上，也要注意纠正原文中的一些“小”错，不该把原文中的错误“全盘”搬入到自己的文章中，扩大错误的传播面，影响更多的读者对相关问题的阅读与理解.

二、指正关联文章的不足时要有严谨的态度

图2

早些时候就读过2014年第8期《中学数学》（下）刊登的王四宝老师的文章，《一道联考试题的分析过程与讲评设计》（以下称文3），当时很是佩服王老师把一道压轴填空难题剖析得头头是道.文3中提到的压轴填空题（见2013年浙江绍兴卷第16题或原文，这里不再转述）笔者也尝试做过.首先觉得图难画（见图2）.其一是点P和点Q的位置有多种情况；其二是草草画出来的以点E、F、G、H为顶点的四边形并不能保证过原矩形ABCD的顶点；三是很难控制点P、Q之间的距离来确保由点E、F、G、H构成的四边形是菱形.图画不好，解题就容易受阻.但笔者转至几何画板上画图的时候，奇迹就出现了：笔者看到，在几何画板上，无论怎么移动点P和点Q的位置，由点E、F、G、H构成的四边形总是经过原矩形ABCD的四个顶点，并且，让四边形EFGH成为菱形也非常容易，甚至很快就发现解题线索，完全和王老师在文3中所描述的经历一样.想必该题的命题人，也一定是在几何画板下完成命题的.几何画板真是命题人的利器，是老师做题的救星，但肯定是考生的“敌人”.因为几何画板让命题人拥有了命制难题的“智慧”，让做题老师能迅速地产生解题的“顿悟”，却叫考生在题目面前无尽地领教什么叫“困难重重”.2014年第12期的《中学数学》上，陈化成老师就指出，须警惕试题命制中的“超人”现象.［4］笔者设想，如果哪次命题，规定一律不准用几何画板，不准用计算器，看一看命题老师能命出什么样的题来.当然，笔者的设想不可能实现.

最近在翻看2015年第1期的《中学数学》，读了张宁老师的文章《轴对称搭台，相似三角形唱戏——浅谈一道联考试题的分析过程及对讲评设计的两点思考》（以下称文5），顿觉欣喜，不禁为张老师的解题视角叫好.由于文5与文3关联，笔者立马把文3翻出来与文5对照着读.一“繁”一“简”便跃然眼前.“繁”者如张老师在文5中所说，“添加辅助线和所运用的知识之多，着实令人望而生畏”；“简”者也如张老师在文5中所说，“不用添加辅助线，不用证明三点共线，只需利用轴对称性质、相似三角形、勾股定理即可破解此题”.文5在“结束语”中还语重心长地提醒大家思考“不论是命题者还是解题者，为什么想不到相似三角形”的解题视角？“这是教学的缺失，还是思维定势”的影响？

为什么呢？笔者一边认真仔细地研读文5，一边反思“缺失”.笔者看到，张老师的“精彩”是基于填空题不需要严谨证明过程的前提下获得的“简单”，而且，其“简单”的思路也一定是在几何画板下“产生”的.理由有二：一是张老师的解法没有点P和点Q如何定位的困惑，一下子就能把两点神奇而准确地定位在题目所需要的位置上了（没有几何画板，要做到这点是有难度的）；二是张老师默认了“由点E、F、G、H构成的四边形”一定经过矩形ABCD的4个顶点，也默认了“点E、D、H共线，点F、B、G共线，点E、A、F共线，点G、C、H共线”（不在几何画板上画图，是难有“默认”的底气的；此题若不是填空题，“默认”也一定不被允许）.笔者认为，作为教学讲评，该题不能只当填空题来讲评，所以就没有“默认”一说.其实，轴对称性质恰是用来证明张老师的两点“默认”的，在这一点上，笔者认同王四宝老师在文3中的做法，从严谨考虑，需要证明的不能随便省略.当然，在严谨证明之后，张老师利用“相似三角形”来求解PQ的长度，值得老师们学习.这也许就是包括笔者在内需要反思的解题视角上的“缺失”吧.

看到别人文章的不足，提笔写关联文章，是营造刊上教研气氛、开展刊上交流的好的做法，是对原作者和广大读者负责的一种态度.但在创作关联文章之前，笔者认为，写作者需要认真揣摩别人的“不足”有没有合理之处，要多问一句，别人为什么要在文章中展示“不足”？自己对“不足”的理解有没有偏差？同时，作者更要以严谨的态度对待自己的“精彩”，要让自己的“精彩”不留遗憾.

三、商榷性关联文章能给读者留下思辨的空间

钱德春老师是位名师，他在不同数学杂志上发表的文章都非常耐读.笔者闻其大名，也是从读他的文章开始.2014年第3期《中学数学》上发表的钱老师的教学点评文章，《基于认知与生成的数学思维教学——以“三角形内角和定理”一节课为例》（下称文6），笔者读后就能感受到钱老师对数学教学理解的深度.文6的核心观点是：以学生的认知基础为教学的出发点；以学生的思维障碍为教学的突破点；以学生的“死结”与“意外”为教学的生长点，用以指导教学，其意义重大；行文一气呵成，让读者开眼.

笔者读文6的时候正教初三，由于没有“迫切”需要，就没有过多关注细节.现在接手初一，很快就面临文6提到的“三角形内角和定理”的教学.恰好近期又读到刘老师发表在2015年第1期《中学数学》上的《认知在何方？生成在何方？——与钱德春老师商榷》的文章（下称文7），就又重读文6.笔者感到，两篇文章都十分精彩，读之受益匪浅.这样好的关联文章多多益善.

其实，就“三角形内角和定理”的教学，笔者三年一轮回，应该教了不下十余次.回想自己的教学，即使从拼图开始，似乎也从没有出现过文6中提到的5种方法.现在反思，那是因为笔者根本没有放开来让学生在课堂上“任意”去拼，也没有“耐心”在课堂上去观察学生的各种拼图.笔者自问，“三角形内角和定理”的教学需要这样做吗？义务教育数学课程标准实验版教材刚开始使用的时候，很多老师的公开课都有一个显著的特点，就是活动.有生活体验活动，有动手操作活动，有分组讨论活动，有各种游戏活动，课堂热闹度颇高.记得在讲“一百万有多大”的时候，有老师从学校食堂硬是扛了一袋大米到课堂让学生数；在讲概率的时候，又是摸球，又是转盘，还有掷骰子，全都搬进了课堂，组织学生轮流去玩；在讲轴对称的时候，数学课俨然成了剪纸手工课……后来意识到，这种数学化不足的活动根本就不是数学活动.［8］数学活动的第一要素必须是数学的，必须有明确的数学目标.那么，在“三角形内角和定理”的教学中的撕纸拼角活动，拼图作品交流，是数学活动吗？拼图的目标是什么？如果有明确的数学目标，会出现文6中给出的5种“拼图”吗？

从这个角度想开去，笔者比较赞成刘老师在文7中的观点：第一，拼图不是该课的重点，它只不过是添加平行线的一个“诱导器”，但并非唯一，也并非直接.因此没有必要“给足时间”让学生充分展示各种拼图，也没有必要对所有拼图都给出解释.第二，学生认知的基础实际上已经从拼图升级到更数学化地对平行线及平角的认识，升级到对演绎推理的认识.教师的教学设计应当考虑到这样的提高.第三，引导学生对“三角形内角和定理”的证明可以抛开撕纸拼图的活动.

当然，笔者的思考是从阅读文6和文7而来，不一定正确.能产生想法，说明商榷性关联文章具有争辩性和参与性，容易吸引读者.笔者认为，参与关联文章的思考，其实就是一种学习，也能促进自身提高.

对于课的点评，笔者还有其他想法.笔者觉得，点评是一种“静态”的考虑，而上课却是“动态”的行为；点评会无意识地越过教学时间的限制而谈，而上课却要有意识地控制在45分钟时间内进行；点评容易把学生理想化，而上课却要面对差别万千的学生，所以，点评容易滴水不漏，而上课不可能面面俱到；点评可以给足学生时间，而上课却得掌控教学时间；点评能把自己所想当做学生所能，上课却会看到学生所能完全不是自己所想.如果某个老师拿着某个完美的点评去上课，很大可能都会失望而归，因为“课”是很难达到“评”的高度，也难达到“评”的效果.即使是点评者本人去上课，相信多数时候，他也难按自己的点评完成所有任务.那么，老师究竟该如何对待“课例点评”呢？笔者觉得，不妨取其一两点尝试去做就足够了.点评千条好，适用只几条.

1.周艳娟.关于试题人文价值的另类思考——从2014年北京中考卷第25题说起［J］.中学数学（下），2015（1）.

2.耿华东.数形互助来破题，探索发现是导向——2014年北京卷压轴题解析与思考［J］.中学数学（下），2014（8）.

3.王四宝.一道联考试题的分析过程与讲评设计［J］.中学数学（下），2014（8）.

4.陈化成.警惕中考试题命制的一个“超人”现象［J］.中学数学（下），2014（12）.

5.张宁.轴对称搭台，相似三角形唱戏——浅谈一道联考试题的分析过程与讲评设计的两点思考［J］.中学数学（下），2015（1）.

6.钱德春.基于认知与生成的数学思维教学——以“三角形内角和定理”一节课为例［J］.中学数学（下），2014（3）.

7.刘华为.认知在何方？生成在何方？——与钱德春老师商榷［J］.中学数学（下），2015（1）.

8.屠桂芳，孙四周.什么样的活动是“数学活动”［J］.数学教育学报，2012（10）.H