初中生符号意识形成策略探微

初中生符号意识形成策略探微

☉江苏省江阴市第一初级中学钟珍玖 方漪

怀特海在《数学原理》一书中曾经说过：由于大量的数学符号，往往数学被认为是一门难懂而又神秘的科学.不能认为这些术语和符号的引入，增加了这些理论的难度.相反地，这些术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表达和解决问题.特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的.由此可见数学符号语言是学生学习数学必须经历的一门语言，随着2011版数学新课程标准的实施，很多老师对符号意识形成的教学也非常重视，考查符号意识的试题在中考中也经常出现，本文对初中生符号意识的形成作一粗浅的探究，以期引起同行的重视.

一、研究符号意识形成的心理机制，促进符号意识形成

从人的认知过程来看，遵循从具体到抽象、从简单到复杂的过程.小学数学由实物到数的抽象是一个飞跃，同样从具体的数抽象到用字母来表示数，用抽象的符号来表达复杂的数量关系，以及运用符号逻辑推理又是一个质的飞跃.所以从“数”的角度出发组织教学，以数为基础渗透符号意识，是符号意识形成的基本途径，特别是初中低年级的符号意识教学更应如此.

案例1：苏科版七年级数学上册“§3.3代数式的值”，教材安排如下.

用火柴棒按如图1所示方式搭“小鱼”.

问题：搭20条“小鱼”需用多少根火柴棒？搭100条“小鱼”呢？

教学中，笔者没有限制学生的思维方式，让学生自行解决这两个问题.

图1

生1：搭1条“小鱼”用了8根火柴棒；搭2条“小鱼”，增加了6根火柴棒，即8+6=14；搭3条“小鱼”，又增加了6根火柴棒，即8+2×6=20.那么搭20条“小鱼”，增加了6×19根火柴棒，即8+6×19=122；搭100条“小鱼”，需要火柴棒的根数为8+6×99=602.

生1虽然找到了图形的变化规律，但并没有把问题一般化，没能用含字母的代数式表示搭“小鱼”时所需火柴棒的根数.教师继续追问：有没有办法把这个问题“一网打尽”，搭任意条“小鱼”都可以求出所需火柴棒的根数呢？

生2：用x表示所搭“小鱼”的条数，根据前述规律，所需火柴棒的根数为8+6（x-1），再把x=20、100代入上面的式子就可以解决问题了.

生3：从图形构成来看，去掉组成鱼的尾巴的2根火柴棒，第一个图形中有6根火柴棒，第二个图形中有6×2根火柴棒，第三个图形中有6×3根火柴棒，…，那么第x个图形中就有6x根火柴棒.

师（总结）：我们从特殊情形（搭1条、2条、3条“小鱼”）出发，发现搭“小鱼”的条数和所需火柴棒根数的规律，用具有一般意义的字母x表示“小鱼”的条数，用含x的代数式就可以一般性地表示所需火柴棒的根数.

教师的追问和总结都是在引导学生观察数的变化，由搭1条小鱼的8根火柴棒，到搭2条小鱼的8+6根火柴棒，搭3条小鱼的8+2×6根火柴棒，…，启发学生把变化的“数”换成字母，为用抽象字母表示数埋下伏笔，学生具有认知上的附着点，让学生充分经历由具体到抽象的过程.

数不仅是用字母表示数的心理基础，也能帮助学生理解抽象字母的意义，教学中让学生体会用字母表示数的必然性、必要性和简洁性，让学生在特殊（数）和一般（字母）的关系中体会用字母表示数的自然性，反复体验从特殊（数）到一般（字母）的变化，为形成符号意识打下坚实的心理基础和知识迁移基础.

二、运用多种语言表征相互转化，促进符号意识形成

图2

符号意识的形成载体就是符号语言，符号语言较文字语言具有精确、简洁、通用等优点，但是同时也带来另外一个问题，就是符号语言的抽象性.从教学实践来看，很多学生就是因为带着抽象符号进行思考的障碍，而被拒之在数学门外.让学生学会在抽象层面上进行思考，是初中生必须要经历的难关.教学中应该充分利用文字语言的易理解性和图形语言的直观性来帮助学生加深对符号语言的理解，促进符号意识的形成.

案例2：一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的函数图像如图2所示.（1）根据图像，直接写出y1、y2关于x的函数关系式；（2）若两车之间的距离为S千米，请求出S关于x的函数关系式.

分析和解：（1）y1=60x（0≤x≤10）；y2=600-100x（0≤x≤6）.

对于（2），有两种方法解决.

方法1：由于图像表示的行程问题学生较难理解，实践中，学生在完成此类问题时还是习惯使用文字语言，结合行程的线段图，用实际意义法来解决，原因是自然语言更贴合学生实际，利于学生理解.

由图像可知出租车的速度为100千米/小时，客车的速度为60千米/小时.

当0≤x≤3.75时（如图3），S=600-出租车的路程-客车的路程，则S=600-100x-60x=600-160x；

图3

当3.75＜x≤6时（如图4），S=出租车的路程+客车的路程-600，则S=100x+60x-600=160x-600；

图4

当6＜x≤10时（如图5），S=客车的路程，则S=60x.

图5

方法2：运用（1）中求出的函数解析式，结合y1、y2、S的实际意义，运用解析法，在符号的层面上进行运算，显得简洁明快.

当0≤x≤3.75时（如图6），S=y2-y1=600-100x-60x= 600-160x；

当3.75＜x≤6时（如图7），S=y1-y2=60x-（600-100x）= 160x-600；

当6＜x≤10时（如图8），S=60x.

图8

从以上两种解法来看，用图像和符号（变量）呈现的一次函数应用问题，结合文字语言和线段图，学生就容易理解，而方法2显然运用了函数的思想，结合抽象变量的实际意义，运用符号解决问题，体现了简洁和思维含量高的特点.在实际的教学中，笔者发现要掌握方法2不是一件容易的事情.运用了两种方法对比，用学生熟悉的文字语言和图形语言帮助学生理解符号语言，让学生从数学本质上理解两种解法的内在一致性，经过几次训练，学生还是能够掌握的.

三、把实际问题和数学问题符号化，促进符号意识形成

图9

符号意识形成的标志就是：对于实际问题，能正确引入符号表示，并且运用符号运算或者推理解决问题；或者对于给定符号表示的关系和运算能够深刻理解，带着数学符号进行思考，运用符号所包含的数学知识解决问题.

案例3：九年级数学复习教学片段.

如图9，二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图像过坐标原点O，与x轴的负半轴交于点A.过A点的直线与y轴交于B，与二次函数的图像交于另一点C，且C点的横坐标为-1，AC∶BC=3∶1.

（1）求点A的坐标.

（2）设二次函数的图像的顶点为F，其对称轴与直线AB及x轴分别交于点D和点E.若△FCD与△AED相似，求此二次函数的关系式.

教学过程：由于问题本身有一定的难度，在学生事先已经练习的情形下，教师让学生说出自己的解答方法.

生1：（1）过点C作CG⊥x轴于点G.

由CG⊥x轴，OB⊥OA，得CG∥OB，则△ACG∽△ABO.则，则AG=3，则点A（-4，0）.

（2）过点C作CH⊥EF于点H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c= 0，16a-4b=0，所以抛物线的解析式为y＝ax2+4ax，可知C（-1，-3a），F（-2，-4a）.

由CG⊥x轴，DE⊥x轴，得CG∥DE，则△ADE∽△ACG.

又CH⊥EF，则CF=CD.

由△FCD与△AED相似，得∠AED=∠FCD=90°，则∠HDC=∠CFH=45°.则∠ADE=∠DAE=45°，则DE=AE.

则-2a=-2，则a=-1，则y＝-x2-4x.

师：这是一道中考中得分率较低的试题，问题的难点在于试题含有丰富的数学思想，首先要具有消元的思想，把点A的坐标代入函数解析式，用含a的代数式来表示b，只需要求待定系数a即可；其次是数形结合的思想，猜想或直观感受到△ADE和△FCD是等腰直角三角形，用数来定形；再次是强烈的符号意识，在求线段的长度时，都是带有符号的运算，整个运算过程都要带着符号来思考；最后是函数思想.解题的关键是求出点D的坐标，发现并求出CD=CF.

生2：受生1解法的启发，第二问还有其他的解法.过点C作CH⊥EF于点H.

把A（-4，0）、O（0，0）代入y＝ax2＋bx＋c中，得：c=0，16a-4b=0，所以抛物线的解析式为y＝ax2+4ax，可知C（-1， -3a），F（-2，-4a）.

设直线AB：y=mx+n，把A（-4，0）代入，得-4m+n=0，即n=4m，则y=mx+4m.把x=-1代入，得y=3m，则3m=-3a，则m=-a，则y=-ax-4a.当x=-2时，y=-2a，则DE=-2a，以下解法同生1一致.

师：生2的解法具有一定的创新性，问题中有待定字母，再引入直线的解析式，通过函数思想，在点C处分别利用直线和二次函数的解析式，求出点C的纵坐标，从而把直线中的两个字母都用a来表示，这样点D的坐标就很容易表达，这样解决深刻理解了函数的思想，运用代数方法解决几何问题，创新性强，值得借鉴.

这是一道对符号意识要求较高的中考试题，本题的得分率不高，经过调查发现难点在于：做（2）时没有想到把b用含a的代数式来表示，问题中的线段的长度都用含a的代数式表示，整个解题过程中缺乏符号意识.纵观本题的两种解法，包括消元思想、函数思想都是带着符号进行思考，尤其是生2的解法，引入直线的解析式，又要引入两个参数m、n，其解法对符号参与运算要求之高令人望而生畏，所以说提高学生的符号意识任重道远.

符号意识的形成，是一个循序渐进的过程，要求教师在平时的教学中有强烈的意识，在代数式的运算、方程、函数、不等式、几何推理的教学中不断渗透，让符号真正成为数学交流的工具，使学生在理解符号语言的基础上，熟练使用数学符号解决问题.

1.高峰官.浅论符号化策略在数学学习中的运用［J］.中学数学（下），2014（12）.

2.孙俊武.建立和发展学生的符号感［J］.中国数学教育（初中版），2008（6）.Z