改进的蒲丰投针问题探究

代永嘉（吉林师范大学　数学学院，吉林　四平　136000）

改进的蒲丰投针问题探究

代永嘉
（吉林师范大学数学学院，吉林四平136000）

摘要：在蒲丰投针问题的基础上，将针投入平行线内改进到投入到正方形或正三角组成的平面内，从而得到几种新的概率结果和相关规律，同样估计出了π的值.并对求出的π值进行了方差分析，从而得到更有效的求π值的方法.

关键词：蒲丰投针；相交概率；正多边形；方差分析

1　引言

2　经典蒲丰投针所得的概率

设将长度为l的针投向一组距离为d的平行线中，求针与平面内的直线相交的概率.

图1

如图1所示，用x表示针的中点到一条最近的直线的距离其夹角为α，则有

则

所以估计值π

3　正三角形组成的平面内投针所得的概率

设平面是由边长为d的正三角形组成的平面，向平面内投长度为l的针，求针与平面内的直线相交的概率.

Nh：针与水平的平行线相交；

Nk1：针与向右倾斜的平行线相交；

Nk2：针与向左倾斜的平行线相交.

假设在n次投针实验中，三次发生的事件分别是nh、nk1、nk2并带入经典蒲丰投针实验的估计值中

4　正四边形组成的平面内投针所得的概率

设平面是由边长为d的正方形组成的平面，向平面内投长度为l的针，求针与平面内的直线相交的概率.

解由四边形组成的平面，我们可以看成由两组距离为d的平行线组成的平面考虑针与平面内的直线相交的情况：

Nr：针与水平线相交；

Nc：针与垂直线相交.

假设上述事件发生分别是nr和nc

5　三种π值估计的方差比较

其最小方差无偏估计（UMVUR）中方差为

当l/d=1时有最小值，此时π的渐进方差为

其方差为

当l/d=1时有最小值，渐进方差为

方差为

可以看出我们通过新的方法求出的π2值比经典蒲丰投针实验更加精确并且在运算的过程中效率更高.由于在平面内只有正四边形，正三角形，才能构成一个没有缝隙的平面，其他正多边行想要铺满整个平面的话只有与其它的图形相组合，构成内角和为360度才可以，所以正多边行组成的平面向内投针研究起来比较复杂，但通过上述运算我们发现同样由其它图形所构成的平面我们仍然可以构造出多条平行线，并且通过计算发现当平行线越多时我们的计算结果越精确，相对来说效率更高.还要指出的是在研究中我们仅考虑了针的长度比平行线之间距离小的情况，没有考虑其针的长度比平行线的距离大的情况，相对来说存在着一些误差需要进一步研究.

参考文献：

〔1〕杨自强.你也需要蒙特卡罗方法.2007，26（1）：110－120.

〔2〕马丽，杨小雪.蒲丰(Buffon)投针问题的一些推广.2013，26 （2）.

〔3〕宋立新，王洪仁.蒲丰弯针问题求解.2012，15（4）.

〔4〕茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2004.24－25．

中图分类号：O211.5

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2015）09-0003-02