一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动研究

张正林（宿州学院　数学与统计学院，安徽　宿州　234000）

一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动研究

张正林
（宿州学院数学与统计学院，安徽宿州234000）

摘要：在实际求解偏微分方程的定解问题时，除了在一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，实际的需要促使我们去寻求偏微分方程定解问题的近似解，特别是数值近似解.本文将对一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动进行研究，希望能够为抛物型偏微分方程的求解问题提供一定参考借鉴.

关键词：抛物型；偏微分方程；初边值；奇摄动

基于偏微分方程的图像处理可以追溯到J.J. Koenderink和A.P.witkin的各自独立的研究.他们严格地介绍了尺度空间理论，并指出：图像与具有递增方差的高斯函数做卷积实现低通滤波，等价于求解以原图像为初值的热传导方程.对图像来说，在切向扩散就是沿边缘进行平滑，而在法向扩散使得边缘模糊[1].各向同性扩散在法向与切向的扩散系数是相同的，因此具有各向同性的图像平滑在抑制噪声的同时把图像的边缘模糊化，使图像中重要的边缘信息减少.最具有代表性的各向同性扩散的例子就是用高斯核做图像光滑[2].

1　偏微分方程的求解问题

求一类时滞抛物型偏微分方程数值解的方法是多种多样的，如拟小波精细积分法[3]，它本身已形成了一个独立的研究方向，其要点是对偏微分方程定解问题进行离散化.对于偏微分方程的求解问题，不论它是何种类型的偏微分方程，也不分自变量的个数与方程的阶数，Maple均使用同一个函数pdsolve（)对其进行求解.并且函数pdsolve（)能够识别出用通用方法可以解决的标准形式的偏微分方程，如果方程是非标准形式，它会试图用分离变量等方法将它转化为标准形式再进行求解.如果求解成功，pdsolve（)将得到几种可能的结果：（1）方程的通解；（2）拟通解（包含有任意函数，但不足以构造出通解）；（3）一些常微分方程的集合[4].

方程的解是以显式给出的，但表达式比较复杂，如果要检验方程的结果，可以用函数pdetest（)进行，在结果正确时，返回值为0，如果结果可能有误，将返回一个代数表达式，也就是说是将求出的结果代入方程中化简而得到的代数式.如果Maple不能找到最一般形式的通解，还是有结果的，它会用函数PDESolStruc（)的结果给出，显示成带有“星＞-where”的形式.该函数的第一个参数是待求的未知函数的表达式，其中包括一些单变量的函数，第二个参数是这些函数所满足的常微分方程，这样的形式[5].

2　一类时滞抛物型偏微分方程的初边值问题

求解一维抛物型方程的初边值问题[6]:

给定初始条件为

边界条件为

其中f（x，t)是非齐次项，a＞0为扩散系数，g0（t)，g1（t)，d（x)均是已知函数.

空间步长用h表示，时间步长则用τ表示；函数u（x，t)在（xj，tn)点处的值用ujn近似，xj=jh，t0=nτ，j=0，1，…，m，h=1/m，n≥0[7].

根据空间的四阶紧致差分逼近公式

将上式展开，则可得

（2.10）式是一个两层隐式格式，计算量较大，不方便求解.所以我们将它改写成如下形式的半显式格式[9]：

3一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动分析

线性偏微分方程反映了实际问题的理想情况，现实中的许多物理现象都是非线性地依赖于一些物理参量变化，从而描述这些现象的数学物理方程就是非线性偏微分方程.非线性偏微分方程有许多不同于线性偏微分方程的特征，如线性偏微分方程的叠加原理对非线性偏微分方程就不再成立，从而基于叠加原理的求解方法对非线性偏微分方程就不再适用.另外，解的性质也有许多本质的变化[11].

自20世纪60年代以来，非线性方程在物理、化学、生物等各个学科领域中不断出现，其研究内容日趋丰富.与线性方程的定解问题相比，非线性方程定解问题的解法要复杂得多，至今能求解的方程类型寥寥无几.在本章中.我们主要介绍物理现象中典型的非线性方程及其求解方法，它们在非线性光学、量子场论和现代通信技术等领域具有广泛的应用前景.

假设所要求解的偏微分方程初值问题的解u（x，t)是光滑的，根据Taylor级数展开，有

其中[•]jn表示括号内的函数在节点（xj，tn)处的取值.利用表达式（1.5）中的第一式和第三式有[12]：

如果u（x，t)是满足对流方程（1.1）的光滑解，则

则，偏微分方程（1.1）在（xj，tn)处可以用下面的方程来近似地代替

其中ujn为u（xj，tn)的近似值.（1.7）式称作逼近偏微分方程（1.1）的有限差分方程（或简称差分方程）.图1.4表示所用到的节点.为了方便计算，可以把（1.7）式改写成如下形式[13]：

根据差分方程（1.7）和初始条件（1.2）的离散形式

uj0=φj，j=0，±1，…

4　结论

本文通过对一类时滞抛物型偏微分方程初边值问题的奇摄动进行研究，能够为抛物型偏微分方程的求解问题提供一定参考借鉴.在非线性方程中，最高阶数的项称为自由项.显然，可以写出无数个偏微分方程，并不是每个方程都有它的实际意义和应用.一个特定形式的偏微分方程可描述许多物理理的共性与规律，它可以有很多不同形式的特解.——————————

参考文献：

〔1〕张媛媛，王宏伟.具扰动阻尼项波动方程的整体吸引子[J].重庆师范大学学报(自然科学版)，2015（02）：68-71.

〔2〕范乐乐，钟华.一类非线性延迟抛物偏微分方程的紧致差分格式[J].数学的实践与认识，2015（03）：206-213.

〔3〕刘明鼎.时滞抛物型方程的拟小波精细积分法[J].长春大学学报，2013（4）：440-443.

〔4〕张媛媛，王宏伟.具耗散项波动方程整体吸引子的有限分形维数[J].西北师范大学学报(自然科学版)，2014（06）：11-15.

〔5〕裴金仙.一类弹性杆的振动问题解的整体存在性[J].中北大学学报(自然科学版)，2013（05）：567-569.

〔6〕张媛媛，王宏伟.具耗散项波动方程整体吸引子的有限分形维数[J].扬州大学学报(自然科学版)，2013（04）：9-12+59.

〔7〕Wang Mingliang，Zhou Yubin，Li Zhibin.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics. Physics Letters A.1996.

〔8〕Ma W X，Fuchssteiner E.Explicit and exact solutions to a Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov equation. International Journal of Non Linear Mechanics. 2012.07：231-232.

〔9〕Whitham G B. Variational methods and applications to water waves. Proceedings of the Royal Society of London.2011.02：424-425.

〔10〕Matveev VB，Salle MA.Darboux transformations and solitons.2010.11：850-852.

〔11〕He Ji-huan.A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for nonlinear problems. International Journal of Non Linear Mechanics.2000.

〔12〕Davey A，Stewartson K.On three -dimensional packets of surface waves. Proceedings of the Royal Society of London，Series A (Mathematical and Physical Sciences). 2012.09：204-205.

〔13〕Kaup D J.A higher-order water-wave equation and the method for solving it. Progress of Theoretical Physics.2013.

〔14〕Fan Engui.Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations. Physics Letters. 2012.

中图分类号：O175.8

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2015）09-0001-02