基于培养应用型人才的《线性代数》课程教学研究

赵秀兰，运高谦

（1.黄河科技学院信息工程学院数理部，郑州 450063；2.郑州轻工业学院，郑州 450002）

线性代数是普通高等院校理工类、经管类专业重要的一门基础理论课，线性代数的理论是计算技术的基础，同系统工程，优化理论及稳定性理论等有着密切联系，也是很多后续课程如电路分析、化学、力学、信号与系统、运筹学、经济学等课程的重要工具。它对于培养学生严谨的逻辑推理和抽象思维能力起着不可或缺的作用。随着信息技术的不断发展和计算机的普及，线性代数的应用不断扩展到越来越多的新领域，用代数方法解决实际问题已渗透到各个领域，显示出其重要性和实用性。目前，人们所遇到的问题牵涉到的变量愈来愈多，处理这种涉及到成百上千变量的复杂问题，当前解决这类问题的有效方案是把变量之间的关系线性化，所以线性代数已成为众多领域解决涉及较多变量问题的热门数学工具。线性代数这门课程的特点是概念比较抽象，概念之间联系很密切。如何讲好这门课，培养学生利用线性代数的内容、方法去解决问题，成为数学工作者需要思考的问题。

一、线性代数教学现状

线性代数在大学数学中占有重要地位，在硕士研究生的入学考试中也占有很大的比例。在教学安排上，线性代数课程一般在大二的上学期开设，课时为32或48学时。内容上，主要有行列式、矩阵、线性方程组、向量空间、矩阵的特征值与特征向量、二次型。行列式部分以计算为主线，由二元、三元线性方程组引入二阶、三阶行列式，主要介绍行列式的概念、性质，重点讲解行列式的各种计算方法及技巧，最后给出行列式在解线性方程组中的应用——克莱姆法则。矩阵是线性代数中的重要内容，贯穿始终，是研究向量组的线性相关性及线性方程组的解法的有力工具。矩阵部分首先介绍矩阵的概念及一些特殊矩阵，之后给出矩阵的运算，重点讲解矩阵的乘法运算，探讨矩阵的初等变换及其在矩阵运算中的应用，进一步研究矩阵的内在特性，包括可逆矩阵及矩阵的秩，最后给出分块矩阵及其运算。线性方程组以矩阵变换法为主，由中学的二元、三元线性方程组引入解n元线性方程组的消元法，介绍如何利用矩阵的初等变换求解方程组，重点讨论线性方程组解的存在性，齐次和非齐次线性方程组解的结构。n维向量以讨论线性关系为主，介绍n维向量的概念及向量的线性运算，主要讲解向量组及其线性组合，结合线性方程组和矩阵知识重点讨论向量组的线性相关性及向量组的秩。矩阵的特征值与特征向量以方阵对角化为主，首先介绍矩阵的特征值与特征向量的概念及求解方法，之后引入相似矩阵，重点研究矩阵的对角化问题，特别是实对称矩阵的对角化。二次型以化标准形为主，介绍二次型及其矩阵表示，重点讲解化二次型为标准形的三种方法——配方法、初等变换法和正交线性替换法，最后给出正定二次型的概念及判定方法。目前，线性代数教学内容偏重自身理论体系，重点突出数学的严谨性和系统性，教学方法大多以“教师为中心”。另外，线性代数具有自身的特殊性，它既不像微积分可以联系学生中学已接触到的函数知识，能做到知识的以旧更新，降低学习的难度，又不像概率论与数理统计有很多实际生活的事例可以选取，以调动学生的积极性。线性代数这门课程，学生在形式上处理的是表格数据这一特殊的数据形式。实质上，线性代数教学内容具有严密的逻辑性，很强的抽象性，概念多，定理多且证明方法构造性强，不易理解，计算方法多、计算量大，技巧性又强。基于线性代数概念抽象，知识点环环相扣的特征，这样，教学内容的要求与教学课时量构成了一对矛盾。在具体教学中，上述问题的存在给任课老师带来一定的难度，同时使得学生在学习过程中产生畏难情绪。为了进一步提高教育教学质量，就线性代数教学改革进行探索。

二、将线性代数的概念与其几何背景相融合，精选教学内容

学生学习线性代数过程中通常感觉抽象，主要是因为概念的抽象化。如线性代数教学中遇到的第一个概念行列式，很多学生不明白行列式为什么那样定义，其实质又是什么；线性相关、线性无关为什么那样定义，体现的是向量之间的什么关系。如此以来，学生失去了对线性代数学习的兴趣，也不利于该课程与学生专业课程的衔接。其实，线性代数中的许多问题都有形象的几何解释。如二阶行列式计算的是平行四边形的面积，三阶行列式计算的是平行六面体的体积。两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线，三个向量线性相关的体现的几何意义是它们共面。三维欧氏空间中任意四个或四个以上向量是线性相关的。这样，在学生熟悉的内容上引出新知识，借助解析几何为线性代数中的抽象问题提供几何直观。不仅帮助学生理解行列式的由来，还激发了学生的学习兴趣。对于非数学专业的学生而言，坚持“以应用为目的，以够用为度”的原则，在教学中结合概念的几何背景阐述概念，重点介绍行列式的性质和展开定理以及向量组线性相关性的判断方法，弱化概念本身。

对于工科及经管类的非数学专业的学生学习线性代数，坚持应用为目的。对定理及推论的证明不做要求，只需记住结论，会用即可。对于行列式的计算，不必追求计算技巧去处理复杂抽象的行列式计算。抓住矩阵这一核心概念，将矩阵的初等变换引入到向量的线性相关性、向量组的秩、线性方程组的解、特征值与特征向量、矩阵的相似对角化中。在求逆矩阵方法的掌握上，要求学生掌握利用初等行变换求逆矩阵的方法，利用伴随矩阵求逆矩阵不做要求。对于“向量空间”这部分抽象性较强的内容，以学生熟知的二维、三维空间的坐标系、坐标之间的转化出发，将概念推广到N维空间上，引入维数、基底、基变换等抽象的概念。

三、将线性代数教学内容与实际问题相互渗透，引入应用题型

线性代数是一门抽象性较强的理论课，学生理解起来有一定的难度，因此教师在教学内容的安排上尽量做到由浅入深、由具体到抽象，结合实际应用背景引出相关内容。如在矩阵部分，教材上一般在给出矩阵定义后再定义矩阵的乘法运算，这样增加了学生的困惑，学生不明白矩阵的乘法运算为什么那样给出定义，若从实际问题作为切入点引出矩阵的乘法运算，效果会不一样。例如：

假设某家电超市2014年销售甲、乙、丙三种家电产品，甲、乙、丙三种产品在每一季度的销售数量（见表1）。

表1 甲、乙、丙三种产品在四个季度的销售数量

甲、乙、丙三种商品的销售价格和利润（见表2）。

表2 甲、乙、丙三种商品的销售价格和利润

该超市2014年的总价格和总利润（见表3）。

表3 总价格和总利润

已知，该超市第一季度销售商品的总价格为：c11=a11b11+a12b21+a13b31，

该超市第一季度销售这些商品所获得的总利润为：c12=a11b12+a12b22+a13b32，

于是，对任意的 i=1，2，3；j=1，2，有：cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j

设矩阵：

这是上述实例所体现的总价格和总利润的计算过程，可以抽象为矩阵的乘法 C=AB，其中 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j，i=1，2，3，4；j=1，2。由此学生对矩阵这一表格数据的乘法运算有一直观印象。过对实际问题的讨论，帮助学生理解抽象的代数概念，从而培养学生应用代数知识解决实际问题的能力。例如，在介绍逆矩阵时，结合逆矩阵在保密通信上的应用，举例：某男生向自己心仪的女生发来一封密信，密信是一线性代数的教学内容中特征值和特征向量是一对很重要的概念。特征值和特征向量往往用来解决实际问题，它们在纯粹数学和应用数学的很多领域发挥着重大作用，例如：代数学、函数论、泛函分析等，同时在一些非线性情况下也有着显著的重要性。所以，对于学习线性代数的学生来说，这两个概念的掌握很有必要。在介绍特征值、特征向量时，根据特征值和特征向量应用于设计决策分析中的采用AHP（层次分析法）决策，也可以建立研究一个种群的基因变异，基因遗传等医学问题的模型，也可结合其在“人口迁移的动态分析模型”中的应用引出；在介绍线性方程组求解时，可以插入“投入产出分析模型”实例，投入产出分析模型就是利用数学的形式反映经济上投入、产出等问题。这样，以实例带出概念，减少数学的抽象性，突出数学的实用性，调动了学生的学习积极性，培养学生对知识的分析能力和应用能力，使学生感受到数学和现实生活密切关联。

四、将线性代数中的运算与教学软件相结合，提高学生实践能力

在线性代数教学中，繁杂的高阶行列式、高阶矩阵的结算、涉及变量个数比较多的线性方程组的求解以及矩阵的特征值和特征向量的求解是最耗时间和精力的。数学工作者应及时将数学仿真软件（Mathematica、Matlab软件）应用于数学课堂，改善传统教学模式，让学生体会到数学与计算机的结合，加强学生的数学实践意识。借助现代计算机技术将教学软件Matlab引入教学中，通过编写简单易掌握的应用程序解决上述问题，这样既节约了学生大量的计算时间，又提高了学生的科学计算能力和数学实际应用能力，又培养了学生的想象力、创造力，增强了学生学数学用数学的意识。

五、结束语

以上几个方面，是我们进行线性代数教学改革的思考，将“以老师为中心”转换为“以学生为中心”，结合学生实际情况，突出教师的主动引导作用，在保持原有课程体系和内容的基础上，在教学过程中，融入上述方法，抓住知识点之间的内在联系，温故而知新，使学生对线性代数的概念及方法有一个深层次的理解，降低学习难度，对激发学生的学习兴趣及加强学生运用线性代数知识解决实际问题能力的培养会起一定的作用，进而提高学生的数学素养。

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