高中数学教学中函数的对称性教学研究

唐英平

（长顺县民族高级中学 550700）

高中数学教学中函数的对称性教学研究

唐英平

（长顺县民族高级中学 550700）

对于高中数学教学而言，函数的性质教学是高中数学教学中非常重要的环节，而函数的对称性是高中函数教学中非常重要的环节，本文重点对高中函数对称性教学的重点和南段进行了详细的分析，在此基础上对函数对称性的关键问题进行了详细分析。

高中数学 教学 函数 对称性

一、前言

高中数学函数对称性的教学是考试和发展学生思维的关键，而高中函数对称性教学中，对常见对称函数的梳理是非常重要的，本文针对该问题进行了详细的探索，供高中数学老师参考。

二、高中函数对称性教学的重点和难点

函数模块是高中数学的重点也是难点，函数的性质是历年高考数学试题的重点和热点。其中函数的对称性是函数的一个基本性质，学生学习了函数的定义、单调性和奇偶性之后，已经能由图像的直观性理解数学的本质。学生需要通过函数对称性的学习，提高综合运用知识及方法技巧分析问题、解决问题的能力。具体讲，就是要通过函数知识的运用，培养学生的理性思维能力；通过探究思考，培养学生的实践能力、观察能力、判断能力；通过实际问题的解决，培养学生分析问题、解决问题的能力和表达交流的能力。下面将从两个方面来讨论函数的对称性。

中学数学的教学应该努力揭示数学概念、法则、结论的形成和发展过程，揭示人类探索真理的艰辛与反复。要通过典型例题的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论产生的背景和逐步形成的经历，体会蕴含在其中的思想，体验寻找真理和发现真理的方法，追寻数学发展的历史足迹。下面笔者将给出一些例题。

三、常见函数的对称性

第一，常数函数。y=c（c∈R）。既是轴对称又是中心对称，与该直线垂直的直线均为其对称轴，直线上所有点均为其对称中心。

第二，一次函数。y=kx+b（k为一次项系数≠0，k≠0，b为常数）。既是中心对称又是轴对称，对称中心为原点，对称轴为与该直线相垂直的直线。

第三，反比例函数。y=k/x（k∈R且k≠0）。既是轴对称又是中心对称，对称轴为y=x与y=-x，对称中心为原点。

第四，二次函数。y=ax2+bx+c（a≠0）。是轴对称，不是中心对称，对称轴为x轴。

第五，指数函数。y=ax（a＞0且a≠1）（x∈R）。既不是中心对称也不是轴对称。

第六，对数函数。y=logax（a＞0，且a≠1）。既不是中心对称也不是轴对称。

第七，幂函数。y=xa（a为常数）。幂函数中非奇非偶函数不具有对称性；幂函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点；幂函数中的偶函数为轴对称，对称轴为x=0。

第八，正弦函数。y=a sin（ωx+φ）（ω≠0）。既是中心对称又是轴对称，对称轴为方程ωx+φ=kπ+的解。

第九，正切函数。y=tanx。是中心对称，不是轴对称，对称中心为（0，0）。

第十，三次函数。三次函数中的奇函数中心对称，对称中心为原点，其他三次函数的对称性通过求导得极值点进行作图判断。

以上就是对常见函数的对称性总结归纳，要理解掌握，不能死记硬背，这就需要学生结合实际的习题及函数图像，自己体会，理解记忆，活学活用，在实践中体会以上常见函数的对称性特点，真正做到举一反三，思维发散。

四、实例分析

举例分析：在高中数学教学过程中，教师都意识到函数自身对称性极其重要，其教学难度也给教学过程带来极大的挑战。

2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”。

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点。结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性。

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2。

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的。这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等。由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项。

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2。从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称。

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））。

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数。由不等式2x+2a14-a-x＞0的解集关于原点对称，得a=2。此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）。任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）。

五、结束语

综上所述，本文重点对高中数学中对称函数教学的重点和难点进行了详细的分析，在此基础上对常见的对称函数进行了归纳总结，同时针对具体的例题，提出了相应的教学解决策略，供相关的数学教师参考。

［1］王联华.高中数学教学中函数的对称性教学研究［J］.成功：教育版，2013，（2）.

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［3］王京.函数的奇偶性与对称性的教学探索［J］.新课程学习：社会综合，2009，（6）：54-54.

［4］秦宏亮.谈谈高中数学中函数的对称性［J］.科技信息：科技教育版，2011，（6）.