高考函数定义域面面观

（甘肃省定西市安定区内官营中学743000）

高考函数定义域面面观

高尚军

（甘肃省定西市安定区内官营中学743000）

函数作为高中数学的主线，贯穿于高中数学的始终，也是高考的热点之一。在函数组成的三要素中，定义域是解决函数问题的首要考虑的先决条件，也就是说，解决函数问题必需树立“定义域”优先的原则，特别是在解决函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题方面。

高考函数定义域

一、函数定义域的诠释

设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A－－B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域。

1.如果一个函数y=f(x)是具体的（即已知函数的函数解析式），则它的定义域我们不难理解，就是能使函数解析式有意义的自变量x的取值范围组成的集合。

2.如果一个函数y=f(x)是抽象的，它的定义域就难以捉摸了。诠释：如f(x)，x∈[1,2]与f (x－1）即复合函数f[g(x)]的定义域相同吗？由于f(x）的定义域是[1,2]，就是说对1≤x≤2中的每一个数x都有函数值f(x），超出这个范围内的任何一个数x都没有函数值。当g(x)= x－1的取值超出了[1，2]这个范围，g(x)也就没有了函数值，所以f(x－1）的定义域就是1≤g (x)=x－1≤2这个不等式的解集[2，3]，也就是说f[g(x)]中g(x)=x－1的值域[1，2]是f(x）的定义域。因此，高中课程中函数f(x）中的x是一个抽象概念，x可以代替f（）括号中任意代数式，定义域都是指括号内x的取值范围组成的集合。

二、求函数定义域的方法

（一）已知函数y=f(x)解析式,求函数的定义域

⑴依据：①如果解析式是整式，那么函数的定义域是实数集R；②如果解析式是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；③如果解析式为f(x)0，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合；④如果解析式为偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；⑤如果函数解析式是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么的定义域是使各部分都有意义的实数组成的集合（即求各部分集合的交集）；⑥对数式的真数必须大于零；⑦指数、对数式的底数必须大于零且不等于1；⑧正切函数中自变量x满足x≠∏/2+k∏, K∈Z;⑨满足实际问题有意义。

（2）应用举例

答案：{x/x＞－2且x≠±1,x∈R}

小结：1.求函数的定义域，归结为解不等式组；

2.定义域要写成集合或区间的形式。

{x/－2≤x＜1或1＜x≤2}

小结：1.分式不等式可转化为一元二次不等式，利用二次函数的图像解；

2.绝对值不等式，利用去绝对值分区间解。

解：依题意有：2－log2x≥0,解得：0＜x≤4∴函数的定义域为：（0，4）。

小结：对数、指数不等式的解集，可利用函数的单调性解。

2.复合函数y=f[g(x)]的定义域

例：若函数f(x)的定义域为[1，4]，求函数f (x+2）的定义域。

解：∵f(x)的定义域为[1，4]，∴函数f(x+2）中的x+2应满足：1≤x+2≤4，解得：－1≤x≤2.∴函数f(x+2）的定义域为[－1，2].

小结：若f[g(x)]的定义域为D，则g(x)在D上的取值范围就是f(x)的定义域。

三、函数定义域的综合应用

（一）定义域与函数的值域

例：设函数f(x)=x2+x－1/4的定义域为[－1，3],求f(x)的值域。

解：作出函数f(x)=x2+x－1/4的定义域为[－1，3]上的图象,根据图象得出f(x)的值域为[－1/ 2，47/4]。

（二）定义域与函数的奇偶性

例：判断函数y=x3x∈(－1,3)的奇偶性。

解：∵2∈(－1,3)，但－2不属于(－1,3)，∴定义域(－1,3)不关于原点对称。所以函数y=x3在x∈(－1,3)是非奇非偶函数。

（三）定义域与函数解析式中字母的取值范围

解：依据题意得：mx2+mx+1≥0恒成立，∴当m=0时，1＞0恒成立；当m≠0时，要使mx2+mx+1≥0恒成立，只需解得：得：0＜m≤4

综上所述，实数m的取值范围是[0，4]。

（四）定义域与函数的单调区间

例：函数y=log2(－x2+2x+3)的单调区间。

解：由－x2+2x+3＞0，即x2－2x＜0，解得－1＜x＜3。即函数y的定义域为（－1，3）。函数y=log2(－x2+2x+3)是由函数y=log2t，t=－x2+2x+3复合而成的。t=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，对称轴x=1，由二次函数的单调性，可知t在区间(－∞，1）上是增函数；在区间（1，+∞）上是减函数，而y=log2t在其定义域上单调增。所以函数y=log2(－x2+ 2x+3)在区间(－1,1）上是增函数，在区间（1,3）上是减函数。

四、高考真题演练

1.(2014年甘肃)求下列函数的定义域（1）

2.(2013年陕西)求函数y=4+﹔2(x－1)的反函数的定义域。

3.(2013年北京)已知函数f(x)的定义域为[a，b],其中a+b＞0.求函数F（x）=f(x)+f(－x)的定义域。

总之，函数作为高中数学的主线，贯穿于高中数学的始终，也是高考的热点之一。在函数组成的三要素中，定义域是解决函数问题的首要考虑的先决条件，也就是说，解决函数问题必需树立“定义域”优先的原则，特别是在解决函数解析式、最值(值域)、单调性、奇偶性等问题方面。可以提高学生的质疑辨析能力，培养学生的思维品质，从而提高学生的思维能力，进而又利于培养学生思维的创造性。

[1]孙莉.优化数学课堂教学[N]中学信息报，2011.

[2]张发先.刍议初中数学教学的有效性策略.[J]教育教学论坛，2007（7）.

[3]孔凡哲.课程标准与教学大纲对比研究

[4]中学数学教学参考.2010（12）.

（责编 张景贤）