超级画板融于数学分析教学的探索

陈 娟

数学分析是大学阶段数学专业最重要的一门基础课程之一，历时3个学期共有300多学时。该课程一直难教难学，国内也有很多文献分析了原因并给出了相应的教学建议。其中有些文章是从数学建模角度进行分析的。数学分析中很多概念定理的来源就是为了解决现实问题而建立的。随着科技的飞速发展，信息技术在建模中有着巨大的应用。虽然信息技术在中小学数学教育中的应用已有了广泛的使用与研究，但是在大学数学专业教学中还缺乏相关研究。随着我国高等教育的普及，如今数学专业的学生数量比以前大大增加，生源质量却有所下降，面对这种情况，大学数学专业教育中也要关注如何更好地利用信息技术，使得数学建模更加容易实现，从而促进数学分析的学习效果。

一、超级画板及其优点简述

我国自主研发的《超级画板》免费版，是基于动态几何设计的智能教育平台，功能完善，能够满足数学教学的日常需要，并且与使用广泛的Matlab、Maple等相比安装简单，而比几何画板更容易学习和使用。[1]因此不但便于教师在课堂教学中演示，也有助于学生课下自学，进行探究。

数学分析课程的研究对象也是函数，函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型，因此在数学分析教学中要贯彻数学建模的思想，只有这样，学生才能体会到数学分析课程中研究函数的性质的必要性。数学分析研究的对象是函数，函数本身既有数的特征，又具有形的特点。而要研究函数的性质，就离不开几何直观。

为什么要重视几何直观在数学分析教学中的应用呢？数学家徐利治先生将“几何直观”解释为借助于见到或想到的几何图形的形象关系产生对数量的直接感知。[2]几何直观是数学学习与研究中的一种重要手段，对于数学分析来说，在教学中借助函数图像，往往可以化繁为简，使抽象的对象得到明白直观的体现。如果在教学中不能很好地展示形的一面，不能很好地借助几何直观来帮助学生学习数学分析，自然会影响教学效果。

几何直观除了能够帮助学生理解抽象的数学符号，另外一个功能则是培养学生的归纳猜想能力，进而提高学生的创新能力。作为师范专业的学生，学好数学分析的知识是基本任务，但是更重要的是学会其中蕴含的数学思想方法，等师范生成为教师之后，才能将这些重要的数学思想方法融入日常教学中，而这也是数学教学的目标之一。

从学习动机的角度也可以很好地解释超级画板在数学分析教学中的作用。如果不能通过数学本身来提高学生的兴趣，那么学生学习数学的动机可能来自担忧考试不及格等，而如果能通过超级画板更好地展示数学分析的特点，让学生体会数学分析在解决实际问题中的重要性，体会数学建模的作用，感受到学习数学是有巨大作用的，就能激发学生的学习兴趣，兴趣是内部动机最为核心的成分，是培养和激发学生内部学习动机的基础。[3]教师应该让学生坚信所学内容的重要性和趣味性。而超级画板正是能达到这个效果。

二、案例分析

1.常见函数模型

理解函数的一个重要方式就是要帮助学生在其头脑中建立一些具体的函数模型。比如可以用指数函数模型来描述人口增长、放射性元素的衰变等。因此学生必须了解函数的定义域、值域、单调性、周期性等性质，这样遇到具体问题时，才能选择合适的函数模型。而数学分析研究的基本对象正是定义在实数集上的函数，因此课程一开始要介绍一些常见的基本初等函数。但是2003年高中数学课程标准颁布之后，高中数学已经删去了余切函数与反三角函数等，而这些又是在数学分析中常用的函数，因此有必要给学生补充相关知识。其实掌握这些函数模型的最好办法就是借助图像，因为枯燥的解析式往往使得学生望而生畏，即使教师把性质讲解得再透彻，学生有时也不明就里。刚入学的大学生很可能就会因为这些枯燥的解析式而厌烦数学。而借助超级画板，通过直观的图像可以使学生更容易接受新知识，同时虽然高中删去了很多相关知识，但是大学里数学分析的总学时并没有增加，还有减少的趋势，因此更要求提高课堂教学效率。

2.定积分模型

由数学史可知，定积分就是为了解决很多实际问题（如曲边梯形、变力做功、水压、旋转体体积等）而建立的数学模型。因此在教学过程中一定要体现出这个建模思想。传统教学中教师一般都是通过求曲边梯形的面积引入，这样做自然是符合数学建模思想的。但是传统的引入方式，教师只能在黑板上利用粉笔画出曲边梯形，然后再对曲边梯形进行分割，但是这种分割有一定的限制，即n的取值不能过大，而且分割完后进行上和和下和的计算比较麻烦，学生计算会耽误一定时间，如果时间耗费过多的话，会将学生的精力过多地牵扯在计算上，反而影响了建模思想的渗透。如果借助超级画板则可以轻松解决这个问题。利用超级画板不但能对n任意取值，并且能够由超级画板计算出上和与下和的面积，这样可以直观显示出随着n的增大上和与下和的面积不断接近。这样既能直观地展现求曲面梯形面积的过程，也使得学生了解了以直代曲这种重要的模型思想，极大地提高了课堂教学效率。

学生通过对动态图像的观察，在教师的引导下，感受到了以直代曲这种数学建模思想的重要性。这样教师在进行下面的黎曼和、可积准则等相关理论推导时，学生才不会感到枯燥，才会更容易抓住问题的本质，才会使学生知道定积分的相关理论不是从天而降，而是有着深刻的几何背景和现实背景。在教学中教师要善于引导学生，鼓励学生大胆提出猜想，可以从如下几个方面入手：一是引导学生去猜想通过分割曲面梯形去求面积，另一个则是让学生猜想上和与下和的关系，并对能够猜想出结论的学生进行表扬，即使回答错了，也要鼓励。这就是心理学中的正强化，通过给学生提供正强化，激发学生学习的动机。这样的教学方式也符合最近发展区理论，因为这些函数图形学生都是了解的，矩形的面积、梯形的面积学生也是会求的。但是如果没有教师的引导，学生很难进一步深入研究问题，很难想到可以利用分割曲边梯形，通过求矩形面积来逼近曲面梯形的面积，进而得出定积分如此重要的数学模型。而在教师的指导帮助下，学生通过自己的努力，一步一步的尝试，最终提出猜想，体会到数学学习中的成就感。这样学生认知结构中已有的知识和新知识才能发生非人为的实质性联系，这样的学习才是有意义的学习。可见这样的教学既能将知识传授给学生，也能教给学生思维方式，培养出的师范生才能在日后的教学中不仅仅教授学生知识，而是传授学生思想方法，教给学生如何去获得概念、发现定理，从而提高学生学习数学的积极性和信心。

3.傅里叶级数模型

自然界中周期现象的数学描述就是周期函数，最简单的周期现象，如单摆的摆动、音叉的振动等，都可以用正弦函数或余弦函数表示，但是复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数或余弦函数表示，甚至要用很多个甚至无限多个正余弦函数的叠加来表示。[4]这个建模思想要在教学之初就渗透给学生，而不要一开始就向学生讲授三角级数的正交性以及相关的黎曼引理、收敛定理等，否则学生可能陷于抽象的理论证明，而不了解傅里叶级数的来源，更不能了解傅里叶级数的巨大用处。国内已有研究从数学史的角度来进行教学设计，[5]但是较少有借助信息技术进行辅助教学的。下面以一个常见的函数模型为例进行说明——如何利用超级画板进行教学设计。在没有学习傅里叶级数之前，学生很难想象到上面这个函数居然可以由无穷多个正弦函数叠加表示。因此教师在教学时，可以通过一个具体问题，得出这个函数模型，然后提问学生是否能够想到这个函数可以由正弦函数叠加而成，这样就引起了学生极大的学习兴趣。然后就可以自然地用超级画板来展示这一过程。这是传统的黑板加粉笔的教学所不能达到的。传统的教学，如果教师在黑板上画图的话，最多只能展开几项，不可能展开到几十项，更谈不上无限项了。而超级画板则可以轻松做到这一点，并且可以展现随着n不断增大，图像变化的动态过程，让学生去直观感受傅里叶级数表示函数的过程，这样也极大提高了学生学习的兴趣。另外，传统教学中，这些内容往往安排在理论证明之后，在教学中可以适当做些调整，先向学生讲授傅里叶级数可以表示某些函数，展现其功能强大，同时向学生展示数学强大的创造能力，展示数学之美，降低学习难度，提高学生学习兴趣，学生带着问题去学习，再学相关定理时才会有兴趣。

三、结论与建议

数学分析难教难学的重要原因之一就是因为抽象程度大大高于中学，另外教材编写与教师教学过程中过于重视逻辑推理，较少强调渗透在其中的数学建模思想，使得学生陷于逻辑推理中而看不到数学的应用价值。虽然很多知识有直观的几何背景，但是由于教材编写的原因，以及教学中过于重视逻辑推理能力的训练，使得学生对数学产生了恐惧感以及厌烦感。通过上述案例分析，可以发现在数学分析教学中渗透数学建模的思想，既可以使学生了解数学的应用价值，又可以使学生了解逻辑推理是保证建模应用的理论基础。而利用超级画板的动态性可以使抽象的数学知识以直观的形式出现，能够更好地帮助学生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成。计算机的动态变化可以将形数有机结合起来，把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高到抽象的概括，对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果。这就是超级画板在辅助数学分析教学中的作用，合理有效地使用超级画板不仅能帮助教师很好地完成教学任务，还能培养学生的探究能力，提高兴趣，潜移默化中渗透数学的思维方式。

[1]张景中，彭翕成.动态几何教程[M].北京:科学出版社,2007.

[2]徐利治.谈谈我的一些数学治学经验[J].数学通报,2000（ 5）：1.

[3]莫雷.教育心理学[M].北京：教育科学出版社，2007:276.

[4]张永凤.HPM视角下对傅里叶级数的教学设计[J].大学数学，2012（ 12）:128-134.

[5]李海东.构建新技术支持下的中学数学课程[J].课程·教材·教法，2001（ 3）:11-14.