Lie理想上广义导子的一个结果

王奕涵，杜奕秋

(吉林师范大学 数学学院，吉林 长春 130103)

设R是环，若对aRb=0，a,b∈R，有a=0或b=0，则称R为素环.设R是一个结合环，d是环R到自身的一个映射，如果对任意的x,y∈R，有d(a+b)=d(a)+d(b)，d(ab)=d(a)b+ad(b)，则称d是R的一个导子.设F是环R到自身的一个加性映射，若存在R上的导子d使得对任意x,y∈R，均有F(xy)=F(x)y+xd(y)，则称F为环R上的广义导子.设R是环R上的导子d,满足d(xy)=d(x)d(y)或d(xy)=d(y)d(x)，则称d在R上满足同态或反同态.1989年Bell and Kappe[1]证明了若d是素环R上的导子，且d在R的非零理想I上满足同态或反同态，则在环R上有d=0的结论；2003年Asma，Rehman和Shakir[2]将这个结果由非零理想推广到Lie理想上，得到了d=0或U⊆Z(R)的结果.在前人研究的基础上，本文进一步研究了环中的导子在Lie理想上满足同态或反同态的问题，将Asma[2]的结果推广到广义导子上，从而得到了类似的结论.

1 主要结果

引理1[1]一个群不能写成它的两个真子群的并.

引理2[2]令U⊄Z(R)是2-扭自由素环的Lie理想，若对任意的a,b∈R，满足a∪b=0，则a=0或b=0.

引理3[2]令R是2-扭自由素环，U是环R的非零Lie理想，若d是R的非零导子，满足d(U)=0，则U⊆Z(R).

引理4[2]令R是2-扭自由素环，U是环R的非零Lie理想，若d是R的非零导子，满足[u,d(u)]∈Z(R)，u∈U，则U⊆Z(R).

引理5[2]令R是2-扭自由素环，U是环R的非零Lie理想，满足u2∈U，u∈U，若d是R的导子，且d在U上作为同态或反同态，则d=0或U⊆Z(R).

将引理5推广到广义导子上，有以下结果：

定理1 令R是2-扭自由素环，U是环R的非零Lie理想，满足u2∈U，u∈U，F是R的广义导子，与导子d有关，若F在U上作为同态或反同态，则F(x,y)=F(x)y或U⊆Z(R).

证明 假设U⊄Z(R).

(ⅰ)当F在U上作为同态时,有

F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(x)F(y),x,y∈U

(1)

在式(1)中用y2代替y，即

F(x)y2+xd(y2)=F(x)F(y2),

展开并整理可得

(F(x)-x)yd(y)=0,x,y∈U

(2)

由假设，对任意的x∈U，有x2∈U成立，进而(x+z)2⊆U，x,z∈U，所以(x+z)2-x2-z2=xz-zx⊆U.同理,xz-zx⊆U，x,z∈U，因此2xz∈U，x,z∈U.在式(2)中用2xz代替x，(F(2xz)-2xz)yd(y)=0，x,y,z∈U.(F(x)z-xz)yd(y)+xd(z)yd(y)=0.由式(2)可知

xd(z)yd(y)=0,x,y,z∈U

(3)

所以xd(z)Ud(y)=0.根据引理2，有xd(z)=0或d(y)=0.

若d(y)=0，y∈U.由引理3，可知d=0或U⊆Z，而假设U⊄Z(R)，所以d=0，从而F(xy)=F(x)y；

若xd(z)=0，x,z∈U.将xd(z)=0代入式(1)中，也有F(xy)=F(x)y成立.

(ⅱ)当F在U上作为环R的反同态，则对任意的x,y∈U,有

F(xy)=F(x)y+xd(y)=F(y)F(x)

(4)

在式(4)中用xy代替x，即F(xy)y+xyd(y)=F(y)F(xy)，展开得

xyd(y)=F(y)xd(y),x,y∈U

(5)

在式(5)中用zx代替x，其中z∈U，有zxyd(y)=F(y)zxd(y)，用z左乘(5)式，整理得F(y)zxd(y)=zF(y)xd(y).从而

[F(y),z]xd(y)=0,x,y,z∈U

(6)

所以[F(y),z]Ud(y)=0.根据引理2，有[F(y),z]或d(y)=0.

令A={y,z∈U,[F(y),z]=0}B={y∈U,d(y)=0}.则A和B都是U的可加子群，且A∪B=U.但由引理4可知，A=U或B=U.

若A=U，则有[F(y),z]=0，根据引理6，有U⊆Z，与题设矛盾.

若B=U，则有d(y)=0，由引理有d=0，所以F(xy)=F(x)y.

2 结语

本文在2-扭自由素环R上研究了当广义导子F在环R的非零Lie理想上满足同态或反同态时，得到了F(xy)=F(x)y或U⊆Z(R)的结果，并给出相关的一些引理，为今后深入研究环的结构和性质做准备.此外，我们还可以考虑研究：广义导子在星素环R上满足同态或反同态时，是否有类似的结论成立.