探究数学教学过程中学生思维的培养

杨成蒙

数学教学作为一种思想教育、文化教育，它的核心是培养学生的思维能力，但是教师在教学中很多时候只注重知识的传授，常常忽视知识的产生发展和应用过程及其生动活泼的思维过程，学生只是在机械模仿和反复演练.这样的教学显然不适合时代的发展，笔者认为只有能激活思维的教学过程才是好的教学过程，教学活动应该围绕发展学生的思维而展开.

所谓数学思维，是指学生对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握数学内容，并且能对具体数学问题进行推论和判断，从而获得的数学知识本质和规律.数学思维除了具有一般思维的基本特征外，还具有自己的个性，主要表现在思维活动的运演方面，是按照客观存在的数学规律的表现形式进行的.数学思维虽然并非总等于解题，但数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，发展数学思维的最有效的方法是解决问题.因此教师必须重视在解题教学过程中暴露数学思维过程，重视过程教学，使学生既知其然更知其所以然.

1.学生数学思维的几种不良表现

1.1缺乏多角度考虑问题的思维能力.

在解题过程中，有些学生往往习惯在题目的一个点上思考，或是局部范围内考虑，不会从全局上把握.这样的学生数学思维单一，不会从点到线，由线到面考虑问题，不会多角度思考，也就不能发现整体和局部的联系，思考问题常受到阻碍.

1.2缺乏足够的抽象思维能力.

有些学生只善于处理一些直观的或者熟悉的数学问题，对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，不会将问题转化为已知的数学模型分析解决.

1.3缺乏灵活运用的思维能力.

有些学生常常会陷入思维定势，很难放弃一些旧的解题经验，不会根据实际问题的特点作出灵活的反应，思维常常陷入僵化状态，阻碍其对问题的思考甚至会造成歪曲的认识.

2.探究如何培养学生数学思维

2.1重视教学过程的开发，发展学生发散思维能力.

在教学过程中，可以通过改变例题的条件或结论寻求不同的解题方法，从多个方向拓展，给学生提供运用发散思维的“温床”，引导和鼓励学生进行一题多变、一题多设、一题多解、一法多用等训练，激活学生的思维，拓展学生的思维空间.例如在教学过程中可以给出如下例题：例1：过双曲线x■-■=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有？摇 ？摇条.变式1：将题目中的|AB|=4改为|AB|=5；变式2：将题目中的|AB|=4改为|AB|=3；变式3：将题目中的|AB|=4改为|AB|=2；变式4：将题目中的|AB|=4改为|AB|=d（d>0）.通过让学生自主分析例1，再逐个给出变式，让学生对每一个问题进行详细研究，培养学生观察、比较、分析的数学思维能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范围.解答此题的方法较多，授课过程可以让学生先分组自由讨论，给予学生充足的时间，让学生在找出方法后一一板演，然后教师适当补充，总结方法.最终找到几种常见的解题思想方法：函数思想、三角换元思想、对称换元思想、基本不等式、线性规划、数形结合等.通过这样一题多变、一题多解等的教学过程，在其中渗透一些数学方法，激发学生的探求欲望，使学生体会到数学学习的乐趣，同时让学生的数学思维能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究过程，培养学生抽象思维能力.

对于数学定理公式，课本上通常只是给出规则的数学程序，如何发现数学定理，证明思路是怎么猜想出来的，证明方法的一一尝试过程、选择等都没有呈现.如果照搬课本则会掩盖数学发现、创造、应用的思维过程，无疑会阻碍学生思维的发展.因此在教学过程中对定理公式的提出和证明多运用类比、联想、实验、归纳等手段.例如在平面几何中的定理“正三角形内任何一点与其三边的距离之和为定值”，可以让学生通过类比—猜想—证明的方式得到立体几何中有类似的命题“正四面体内的任何一点与其四个面的距离之和为定值”.又如等比数列前项和公式，可以由学生自己推导，学生很可能会先类比等差数学前项和公式，结果发现无法得出.教师再从等比数列的公比出发，让学生多方向、多角度考虑，可以适当提醒，最终确定利用错位相减的思路.找到方式方法后，仍然由学生自主推导出等比数列前项和公式.这样强调定理公式的产生、推导过程，为学生理解、掌握应用打下了坚实的基础，使学生能自如应用学到的知识.让学生体验定理公式产生的过程，归纳证明出抽象的数学结论，培养了学生的抽象思维能力.

2.3采用启发式教学，消除学生消极的思维定势.

在课堂教学中，注入式教学显然不利于调动学生的主观能动性.长此以往，学生思维固化，不懂得变通.因此在课堂教学中笔者认为应该适时适当设疑，激发学生的思维活动，促使学生积极思考，逐渐让学生消除消极的思维定势.例如在判断函数奇偶性的问题时学生时常忽略了定义域的问题，笔者在教学中多次强调，但学生仍然经常遗漏.为此笔者设计如下问题：判断函数f（x）=a■-■，（a>0）在区间[2■-6，2a]上的奇偶性，不少学生由f（-x）=-f（x）得出结论为奇函数，笔者设问：1）区间[2■-6，2a]有什么意义？2）函数y=x■，x∈[-1，2]是偶函数吗？通过两个问题的思考学生意识到函数f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定义域关于原点对称时才能再判断是奇函数还是偶函数.通过启发式教学，让学生对疑难问题进行深入思考，选择学生不易理解或容易混淆、容易缺漏的问题，从错误中引导学生得出正确的结论，这样学生的印象特别深刻.这样暴露学生的思维过程，既能弄清问题，又能消除消极的思维定势对解题的影响，培养学生主体的思维能力.

数学作为思维活动的教学，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识产生、发展和应用的过程中，它有赖于教师在教学中再现知识的发现过程，要求教师针对具体的教学内容，通过不同的教学方式，启发学生自主体验，使他们在自主学习中发展思维.教师应在课堂教学中优化教学过程和创新教学模式，加强综合思维的培养，将学生思维能力的培养融入平时的课堂教学中.endprint

数学教学作为一种思想教育、文化教育，它的核心是培养学生的思维能力，但是教师在教学中很多时候只注重知识的传授，常常忽视知识的产生发展和应用过程及其生动活泼的思维过程，学生只是在机械模仿和反复演练.这样的教学显然不适合时代的发展，笔者认为只有能激活思维的教学过程才是好的教学过程，教学活动应该围绕发展学生的思维而展开.

所谓数学思维，是指学生对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握数学内容，并且能对具体数学问题进行推论和判断，从而获得的数学知识本质和规律.数学思维除了具有一般思维的基本特征外，还具有自己的个性，主要表现在思维活动的运演方面，是按照客观存在的数学规律的表现形式进行的.数学思维虽然并非总等于解题，但数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，发展数学思维的最有效的方法是解决问题.因此教师必须重视在解题教学过程中暴露数学思维过程，重视过程教学，使学生既知其然更知其所以然.

1.学生数学思维的几种不良表现

1.1缺乏多角度考虑问题的思维能力.

在解题过程中，有些学生往往习惯在题目的一个点上思考，或是局部范围内考虑，不会从全局上把握.这样的学生数学思维单一，不会从点到线，由线到面考虑问题，不会多角度思考，也就不能发现整体和局部的联系，思考问题常受到阻碍.

1.2缺乏足够的抽象思维能力.

有些学生只善于处理一些直观的或者熟悉的数学问题，对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，不会将问题转化为已知的数学模型分析解决.

1.3缺乏灵活运用的思维能力.

有些学生常常会陷入思维定势，很难放弃一些旧的解题经验，不会根据实际问题的特点作出灵活的反应，思维常常陷入僵化状态，阻碍其对问题的思考甚至会造成歪曲的认识.

2.探究如何培养学生数学思维

2.1重视教学过程的开发，发展学生发散思维能力.

在教学过程中，可以通过改变例题的条件或结论寻求不同的解题方法，从多个方向拓展，给学生提供运用发散思维的“温床”，引导和鼓励学生进行一题多变、一题多设、一题多解、一法多用等训练，激活学生的思维，拓展学生的思维空间.例如在教学过程中可以给出如下例题：例1：过双曲线x■-■=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有？摇 ？摇条.变式1：将题目中的|AB|=4改为|AB|=5；变式2：将题目中的|AB|=4改为|AB|=3；变式3：将题目中的|AB|=4改为|AB|=2；变式4：将题目中的|AB|=4改为|AB|=d（d>0）.通过让学生自主分析例1，再逐个给出变式，让学生对每一个问题进行详细研究，培养学生观察、比较、分析的数学思维能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范围.解答此题的方法较多，授课过程可以让学生先分组自由讨论，给予学生充足的时间，让学生在找出方法后一一板演，然后教师适当补充，总结方法.最终找到几种常见的解题思想方法：函数思想、三角换元思想、对称换元思想、基本不等式、线性规划、数形结合等.通过这样一题多变、一题多解等的教学过程，在其中渗透一些数学方法，激发学生的探求欲望，使学生体会到数学学习的乐趣，同时让学生的数学思维能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究过程，培养学生抽象思维能力.

对于数学定理公式，课本上通常只是给出规则的数学程序，如何发现数学定理，证明思路是怎么猜想出来的，证明方法的一一尝试过程、选择等都没有呈现.如果照搬课本则会掩盖数学发现、创造、应用的思维过程，无疑会阻碍学生思维的发展.因此在教学过程中对定理公式的提出和证明多运用类比、联想、实验、归纳等手段.例如在平面几何中的定理“正三角形内任何一点与其三边的距离之和为定值”，可以让学生通过类比—猜想—证明的方式得到立体几何中有类似的命题“正四面体内的任何一点与其四个面的距离之和为定值”.又如等比数列前项和公式，可以由学生自己推导，学生很可能会先类比等差数学前项和公式，结果发现无法得出.教师再从等比数列的公比出发，让学生多方向、多角度考虑，可以适当提醒，最终确定利用错位相减的思路.找到方式方法后，仍然由学生自主推导出等比数列前项和公式.这样强调定理公式的产生、推导过程，为学生理解、掌握应用打下了坚实的基础，使学生能自如应用学到的知识.让学生体验定理公式产生的过程，归纳证明出抽象的数学结论，培养了学生的抽象思维能力.

2.3采用启发式教学，消除学生消极的思维定势.

在课堂教学中，注入式教学显然不利于调动学生的主观能动性.长此以往，学生思维固化，不懂得变通.因此在课堂教学中笔者认为应该适时适当设疑，激发学生的思维活动，促使学生积极思考，逐渐让学生消除消极的思维定势.例如在判断函数奇偶性的问题时学生时常忽略了定义域的问题，笔者在教学中多次强调，但学生仍然经常遗漏.为此笔者设计如下问题：判断函数f（x）=a■-■，（a>0）在区间[2■-6，2a]上的奇偶性，不少学生由f（-x）=-f（x）得出结论为奇函数，笔者设问：1）区间[2■-6，2a]有什么意义？2）函数y=x■，x∈[-1，2]是偶函数吗？通过两个问题的思考学生意识到函数f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定义域关于原点对称时才能再判断是奇函数还是偶函数.通过启发式教学，让学生对疑难问题进行深入思考，选择学生不易理解或容易混淆、容易缺漏的问题，从错误中引导学生得出正确的结论，这样学生的印象特别深刻.这样暴露学生的思维过程，既能弄清问题，又能消除消极的思维定势对解题的影响，培养学生主体的思维能力.

数学作为思维活动的教学，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识产生、发展和应用的过程中，它有赖于教师在教学中再现知识的发现过程，要求教师针对具体的教学内容，通过不同的教学方式，启发学生自主体验，使他们在自主学习中发展思维.教师应在课堂教学中优化教学过程和创新教学模式，加强综合思维的培养，将学生思维能力的培养融入平时的课堂教学中.endprint

数学教学作为一种思想教育、文化教育，它的核心是培养学生的思维能力，但是教师在教学中很多时候只注重知识的传授，常常忽视知识的产生发展和应用过程及其生动活泼的思维过程，学生只是在机械模仿和反复演练.这样的教学显然不适合时代的发展，笔者认为只有能激活思维的教学过程才是好的教学过程，教学活动应该围绕发展学生的思维而展开.

所谓数学思维，是指学生对数学感性认识的基础上，运用比较、分析、综合、归纳、演绎等思维的基本方法，理解并掌握数学内容，并且能对具体数学问题进行推论和判断，从而获得的数学知识本质和规律.数学思维除了具有一般思维的基本特征外，还具有自己的个性，主要表现在思维活动的运演方面，是按照客观存在的数学规律的表现形式进行的.数学思维虽然并非总等于解题，但数学思维的形成是建立在对数学基本概念、定理、公式理解的基础上的，发展数学思维的最有效的方法是解决问题.因此教师必须重视在解题教学过程中暴露数学思维过程，重视过程教学，使学生既知其然更知其所以然.

1.学生数学思维的几种不良表现

1.1缺乏多角度考虑问题的思维能力.

在解题过程中，有些学生往往习惯在题目的一个点上思考，或是局部范围内考虑，不会从全局上把握.这样的学生数学思维单一，不会从点到线，由线到面考虑问题，不会多角度思考，也就不能发现整体和局部的联系，思考问题常受到阻碍.

1.2缺乏足够的抽象思维能力.

有些学生只善于处理一些直观的或者熟悉的数学问题，对那些不具体的、抽象的数学问题常常不能抓住其本质，不会将问题转化为已知的数学模型分析解决.

1.3缺乏灵活运用的思维能力.

有些学生常常会陷入思维定势，很难放弃一些旧的解题经验，不会根据实际问题的特点作出灵活的反应，思维常常陷入僵化状态，阻碍其对问题的思考甚至会造成歪曲的认识.

2.探究如何培养学生数学思维

2.1重视教学过程的开发，发展学生发散思维能力.

在教学过程中，可以通过改变例题的条件或结论寻求不同的解题方法，从多个方向拓展，给学生提供运用发散思维的“温床”，引导和鼓励学生进行一题多变、一题多设、一题多解、一法多用等训练，激活学生的思维，拓展学生的思维空间.例如在教学过程中可以给出如下例题：例1：过双曲线x■-■=1的右焦点F作直线l交双曲线于A，B两点，若|AB|=4，则这样的直线共有？摇 ？摇条.变式1：将题目中的|AB|=4改为|AB|=5；变式2：将题目中的|AB|=4改为|AB|=3；变式3：将题目中的|AB|=4改为|AB|=2；变式4：将题目中的|AB|=4改为|AB|=d（d>0）.通过让学生自主分析例1，再逐个给出变式，让学生对每一个问题进行详细研究，培养学生观察、比较、分析的数学思维能力.例2：已知x，y≥0且x+y=1，求x■+y■的取值范围.解答此题的方法较多，授课过程可以让学生先分组自由讨论，给予学生充足的时间，让学生在找出方法后一一板演，然后教师适当补充，总结方法.最终找到几种常见的解题思想方法：函数思想、三角换元思想、对称换元思想、基本不等式、线性规划、数形结合等.通过这样一题多变、一题多解等的教学过程，在其中渗透一些数学方法，激发学生的探求欲望，使学生体会到数学学习的乐趣，同时让学生的数学思维能力得到提高.

2.2揭示公式定理的探究过程，培养学生抽象思维能力.

对于数学定理公式，课本上通常只是给出规则的数学程序，如何发现数学定理，证明思路是怎么猜想出来的，证明方法的一一尝试过程、选择等都没有呈现.如果照搬课本则会掩盖数学发现、创造、应用的思维过程，无疑会阻碍学生思维的发展.因此在教学过程中对定理公式的提出和证明多运用类比、联想、实验、归纳等手段.例如在平面几何中的定理“正三角形内任何一点与其三边的距离之和为定值”，可以让学生通过类比—猜想—证明的方式得到立体几何中有类似的命题“正四面体内的任何一点与其四个面的距离之和为定值”.又如等比数列前项和公式，可以由学生自己推导，学生很可能会先类比等差数学前项和公式，结果发现无法得出.教师再从等比数列的公比出发，让学生多方向、多角度考虑，可以适当提醒，最终确定利用错位相减的思路.找到方式方法后，仍然由学生自主推导出等比数列前项和公式.这样强调定理公式的产生、推导过程，为学生理解、掌握应用打下了坚实的基础，使学生能自如应用学到的知识.让学生体验定理公式产生的过程，归纳证明出抽象的数学结论，培养了学生的抽象思维能力.

2.3采用启发式教学，消除学生消极的思维定势.

在课堂教学中，注入式教学显然不利于调动学生的主观能动性.长此以往，学生思维固化，不懂得变通.因此在课堂教学中笔者认为应该适时适当设疑，激发学生的思维活动，促使学生积极思考，逐渐让学生消除消极的思维定势.例如在判断函数奇偶性的问题时学生时常忽略了定义域的问题，笔者在教学中多次强调，但学生仍然经常遗漏.为此笔者设计如下问题：判断函数f（x）=a■-■，（a>0）在区间[2■-6，2a]上的奇偶性，不少学生由f（-x）=-f（x）得出结论为奇函数，笔者设问：1）区间[2■-6，2a]有什么意义？2）函数y=x■，x∈[-1，2]是偶函数吗？通过两个问题的思考学生意识到函数f（x）=a■-■，（a>0）只有在a=1或a=2即定义域关于原点对称时才能再判断是奇函数还是偶函数.通过启发式教学，让学生对疑难问题进行深入思考，选择学生不易理解或容易混淆、容易缺漏的问题，从错误中引导学生得出正确的结论，这样学生的印象特别深刻.这样暴露学生的思维过程，既能弄清问题，又能消除消极的思维定势对解题的影响，培养学生主体的思维能力.

数学作为思维活动的教学，数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴涵在数学知识产生、发展和应用的过程中，它有赖于教师在教学中再现知识的发现过程，要求教师针对具体的教学内容，通过不同的教学方式，启发学生自主体验，使他们在自主学习中发展思维.教师应在课堂教学中优化教学过程和创新教学模式，加强综合思维的培养，将学生思维能力的培养融入平时的课堂教学中.endprint