一类非线性伪双曲方程Hermite型有限元的超收敛分析和外推

毛凤梅， 刁 群， 王俊俊

(平顶山学院 数学与信息科学学院 河南 平顶山 467000)



一类非线性伪双曲方程Hermite型有限元的超收敛分析和外推

毛凤梅， 刁 群， 王俊俊

(平顶山学院 数学与信息科学学院 河南 平顶山 467000)

在半离散格式下讨论了一类非线性伪双曲方程的Hermite型矩形元逼近. 利用插值理论、高精度分析和平均值技巧，借助于插值后处理技术，导出了精确解u的H1模意义下O(h3)阶的超逼近性质和整体超收敛. 进一步，通过构造一个适当的辅助问题，运用Richardson外推格式，得到了更高精度O(h4)阶的外推结果.

非线性伪双曲方程； 超逼近和超收敛； Hermite型矩形元； 外推

0 引言

考虑如下一类非线性伪双曲方程:

(1)

其中，Ω为R2上的一个有界闭区域，∂Ω为其光滑边界，X=(x,y).u0(X),u1(X),g(X,t)是已知光滑函数，f(u)，a(u)，b(u)满足有界函数且关于u满足Lipschitz条件.

伪双曲问题[1]是人们在研究非线性连续动力系统，动物神经轴突中的生物传导过程或黏弹性理论中提出的，这类方程的特点是含有时间和空间的高阶混合偏导数，对它的研究具有重要的理论价值与实际意义.文献[2-3]利用H1-Galerkin混合有限元方法对其进行了收敛性分析；文献[4]利用类Wilson元对其进行了超收敛性分析. 超收敛性和外推是提高有限元解的精度的有效方法，文献[5]构造了新的非常规Hermite型矩形元，并且对二阶椭圆方程导出了超收敛及外推结果；文献[6-7]分别讨论了Sine-Gordon方程和黏弹性方程的Hermite型元的高精度分析及超收敛性和外推. 本文主要目的是讨论非线性伪双曲方程的非常规Hermite型矩形元的超逼近及超收敛分析和外推，利用积分恒等式、平均值理论和插值后处理技术，得到了H1模意义下O(h3)阶的超逼近结果. 最后，通过构造一个适当的外推格式，导出了O(h4)阶的外推结果.

1 单元构造及引理

在K上定义有限元(K,Pk,∑k)如下：

Pk=span{1，x，y，xy，x2，y2，x2y，xy2}，

设Ih:H2(Ω)→Vh为其诱导出的插值算子，文献[5]已验证该插值算子适定，并有引理1.

(2)

变分问题(2)有限元逼近方程为：求uh∈Vh,使得∀v∈Vh，有

(3)

由微分方程解的存在唯一性定理[8]知,方程(3)存在唯一解.

2 超逼近和超收敛分析

基于上述引理，给出下面的超逼近分析：

证明令u-uh=(u-Ιhu)+(Ιhu-uh)=η+θ,∀v∈Vh,由式(2)，(3)得

(θtt,v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

((f(u)-f(uh))ut,v)+(f(uh)θt,v)+(f(uh)ηt,v)-(ηtt，v)-

(α(uh)ηt,v)-((a(u)-a(uh))ut,v)-(b(uh)η,v)-

((b(u)-b(uh))u,v).

(4)

令v=θt代入式(4)，则

((b0-b(uh))θ,θt)+((f(u)-f(uh))ut,θt)+(f(uh)θt,θt)+(f(uh)ηt,θt)-(ηtt,θt)-

((a(uh)-a(u))ηt,ηt,ηt,θt)-

((a(u)-a(uh))ut,θt)-((b(uh)-b(u))η,η,θt)-

(5)

两边对t积分，并注意到θ(X,0)=θt(X,0)=0，再由Gronwall引理可得

(6)

3 外推

设网格剖分是均匀的(记hx,K=hx，hy,K=hy)，根据文献[5，7]，有下面的引理2，3.

引理2[7]∀u∈H4(Ω),v∈Vh,则有

引理3[5]∀u∈H5(Ω),v∈Vh,则有

基于上面的引理，有定理3.

定理3设u,ut∈H5(Ω),utt∈H4(Ω)则

证明根据方程(4)和引理2，3得

(θtt,v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

((f(u)-f(uh))ut,v)+((f(uh))θt,v)+((f(uh))ηt,v)-((a(uh)-a(u))ηt,v)-

(7)

考虑辅助问题，

(8)

其中，L(v)=L1(v)+L2(v)+L3(v).

类似于式(5)的估计得，

问题(8)的有限元逼近问题为

(9)

由式(7)得

(θtt，v)+(a(uh)θt,v)+(b(uh)θ,v)=

(10)

由式(9)、(10)得

(11)

((b0-b(uh))ξ,

两边从0到t积分，并注意到ξ(X,0)=ξt(X,0)=0，再由Gronwall引理得

把相邻的16个Th的小单元格合并构成的1个大单元格，类似于文献[5]中构造的插值后处理算子4h，则成立如下的外推结果：1=O(h4).

注：本文的超逼近和超收敛结果对Hermite型三角形元亦成立.

[1] Pao C V. A mixed initial boundary-value problem arising in neurophysiology[J]. J Math Anal Appl,1975, 52(1): 105-119.

[2] Shi D Y,Zhang Y D．AnH1-Galerkin mixed finite element methods for pseudo-hyperbolic equations[J]. Math Appl，2011，24(3): 448-455．

[3] Wang J F, Liu Y, Li H, et al. AnH1-Galerkin expanded mixed element method for semi-linear hyperbolic wave equation[J]．Chin Quart J of Math，2013, 28(1): 60-68.

[4] 史艳华，石东洋．伪双曲方程类Wilson 非协调元逼近[J]. 山东大学学报：理学版，2013, 48(4): 77-84.

[5] 石东洋，梁慧． 一个新的非常规Hermite 型各向异性矩形元的超收敛分析及外推[J]. 计算数学,2005，27(4): 369-382．

[6] 王芬玲.石东洋.非线性Sine-Gordon 方程Hermite 型有限元新的超收敛分析及外推[J]. 应用数学学报,2012,35(5): 777-787.

[7] 史艳华，石东洋．粘弹性方程Hermite 型有限元新的超收敛分析及外推[J]. 河南师范大学学报：自然科学版，2009,32(6): 148-151.

[8] Hale J K. Ordinary Differential Equations[M]. New York: Wiley-Inter Science, 1969.

A New Superconvergence Analysis and Extrapolation of Hermite-type Finite Element for Nonlinear Pseudo-hyperbolic Equation

MAO Feng-mei, DIAO Qun, WANG Jun-jun

(SchoolofMathematicsandInformationScience,PingdingshanUniversity,Pingdingshan467000,China)

A Hermit-type rectangular element approximation was discussed for a class of nonlinear pseudo-hyperbolic equation under semi-discrete scheme. The superclose properties and the global superconvergence with orderO(h3) for the exactuinH1norm were obtained through interpolated post-processing approach. Furthermore, by constructing a suitable auxiliary problem, the extrapolation solution with orderO(h4) was deduced through Richardson scheme.

pseudo-hyperbolic equation； Hermite-type rectangular element； superclose and superconvergence； extrapolation

2014-11-12

国家自然科学基金资助项目，编号11271340.

毛凤梅(1965-)，女，河南鲁山人，副教授，主要从事有限元方法及应用研究，E-mail: maofengmei@pdsu.edu.cn；通讯作者：刁群(1979-)，女，河南夏邑人，讲师，硕士，主要从事有限元方法及应用研究，E-mail:diaoqun.happy@163.com．

O242.21

A

1671-6841(2015)01-0006-04

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.002