王自强, 曹俊英
(贵州民族大学 理学院 贵州 贵阳 550025)
非线性Volterra积分方程组的一个高阶数值格式
王自强, 曹俊英
(贵州民族大学 理学院 贵州 贵阳 550025)
对非线性Volterra积分方程组构造了一个高阶数值格式.借助经典block-by-block方法,构造了一个所谓的修正block-by-block方法.方法除第1,2层外,每一步的解层与层之间都不需要耦合求解,并且保存了block-by-block方法好的收敛性.对此格式的收敛性进行了严格的分析,证明数值解逼近精确解的阶数是4阶.
非线性Volterra积分方程组; 高阶格式; 收敛性分析
近年来,积分方程和非线性方程已经成为研究热点[1-2].考虑非线性Volterra积分方程组
(1)
其中,u(x)=(u1(x),u2(x),…,un(x))T,g(x)=(g1(x),g2(x),…,gn(x))T,κ(x,s,u(s))=(κi,j(x,s,uj(s)))n×n.
关于式(1)的数值方法,学者们已经做了大量的研究.文[3]对积分方程提出了一种所谓的乘积型积分技巧,这是block-by-block思想的雏形.文[4]对非线性Volterra积分方程首次提出block-by-block方法.文[5]给出了求解线性Volterra积分方程一个通用的block-by-block方法.文[6]利用block-by-block方法求解了非线性Volterra积分方程组.文[7]利用block-by-block方法求解了非线性二维Volterra积分方程.文[8]把block-by-block方法应用到求解分数阶常微分方程问题中.文[9]证明了文[8]中的算法的收敛阶至少是3阶.文[10]提出了一种修正的block-by-block方法,并应用修正的block-by-block方法求解了非线性Volterra积分方程.本文利用文[10]修正的block-by-block方法求解非线性Volterra积分方程组,得到了一个高阶格式,可以单独来解未知量.这个方法的优势在于除了第1层和第2层外,其余的未知量不需要耦合求解,最后给出了收敛性分析.
把式(1)写成分量形式的非线性Volterra积分方程组
(2)
其中,式(2)中的κi(x,s,u1(s),…,un(s))定义为
(3)
文[11]证明了式(2)存在唯一解的充要条件,因此假定方程组(2)有唯一解.下面推导高阶格式:将区间[0,T]分成2N个等分的子区间,其中h=T/2N, 设xj=jh,j=0,1,…,2N.式(2)在点xj上的数值解记为Ui,j.开始计算最初两步的解,首先确定ui(x),i=1,2,…,n,在x1上的值.利用式(3), 则得
(4)
在积分区间[0,x1]上,对式(4)用Simpson公式进行近似求解,
(5)
下面利用二次Lagrange插值来逼近半点项,
(6)
将式(6)代入式(5), 则得
κi,j(x1,x1,Uj,1)],
(7)
其中,Uj,0=gj(x0). 注意到,用式(7)计算Ui,1需要Ui,2的值.
相似地,计算ui(x),i=1,2,…,n,在x2上的值,利用式(3), 得
(8)
在积分区间[0,x2]上,对式(8)用Simpson公式进行近似求解,
(9)
如上所述,在式(7)和(9)中,最初两步的解Ui,1和Ui,2是耦合的.因此,必须同时解出.
现在,构造下一步的格式.假设已经构造出Ui,j,i=1,2,…,n,j=0,1,…,2m,希望逼近ui(x2m+1),ui(x2m+2)按照同一个思路,有
(10)
在积分区间[0,x1],[x2k-1,x2k+1]上,对式(10)用Simpson公式进行近似求解,
κi,j(x2m+1,x2k+1,Uj,2k+1)].
(11)
将式(6)代入(11), 即得
4κi,j(x2m+1,x2k,Uj,2k)+κi,j(x2m+1,x2k+1,Uj,2k+1)].
(12)
为了计算ui(x2m+2),i=1,2,…,n,使用下面的逼近,
(13)
在区间[x2k,x2k+2]上, 对式(13)用Simpson公式进行近似求解,得
4κi,j(x2m+2,x2k+1,Uj,2k+1)+κi,j(x2m+2,x2k+2,Uj,2k+2)].
(14)
注1在标准的block-by-block中,如ui(x2m+1)不是用式(10),而是用下面的离散形式来逼近,
(15)
式(15)中最后一个积分是用点x2m,x2m+1,x2m+2上的二元二次插值来逼近的.因此,得到一个关于Ui,2m+1和Ui,2m+2的耦合系统.显然,对于所有的m=1,2,…,N-1,要想得到Ui,2m+1和Ui,2m+2,解式(10)比解耦合系统更加容易.
接下来,将给出上述格式(7), (9)和(12), (14)的收敛性分析.
设κi,j(x,s,v)关于第3个变量满足Lipschitz条件:即存在一个常数L, 使得
定理1由方程(2)所给出问题的数值格式(7) , (9)和(12), (14)是收敛的,且收敛阶为4阶.
证明记εi,j=Ui,j-ui(xj),i=1,2,…,n,j=0,1,…,2N,有
(16)
同样地,由式(12),得
(17)
定理1证毕.
应用本文提出的算法求解n=2时的非线性Volterra积分方程组.
例1考虑非线性Volterra积分方程组
它的精确解为u1(x)=cosx,u2(x)=sinx.
表1 最大误差随步长h的变化与收敛阶Tab.1 Maximum errors and decay rate with different h
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A High Order Scheme for the Numerical Solution of the System of Nonlinear Volterra Integral Equations
WANG Zi-qiang, CAO Jun-ying
(CollegeofScience,GuizhouMinzuUniversity,Guiyang550025,China)
A general technique was presented to construct high order scheme for the numerical solution of the system of nonlinear Volterra integral equations. A so-called block-by-block approach was constructed based on the classical block-by-block method.The unknown solutions at each block step, with exception in the first two, was decoupling in the approach and preserved the good convergence property of the block-by-block schemes. The convergence of the scheme was rigorously established. The numerical solution was proved to converge at the exact solution with order 4.
system of nonlinear Volterra integral equations; high order scheme; convergence analysis
2014-09-24
国家自然科学基金资助项目,编号2012CB025904,11426074;贵州省科学技术项目,编号[2014]2098,[2013]2144;贵州省教育厅项目,编号[2013]405.
王自强(1981-),男,河南禹州人,副教授,主要从事科学计算和复合材料的多尺度分析研究,E-mail: wangzq@lsec.cc.ac.cn;通讯作者:曹俊英(1981-),女,河南鹿邑人,教授, 主要从事微分方程数值解研究,E-mail:caojunying1000@126.com.
O241.82
A
1671-6841(2015)01-0001-05
10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.001
期刊基本参数:CN41-1338/N*1962*q*A4*128*zh*P*¥10.00*1 100*26*2015-03