浅谈柯西不等式及其应用

☉湖北省嘉鱼县第一中学 成云勇

浅谈柯西不等式及其应用

☉湖北省嘉鱼县第一中学 成云勇

柯西不等式是高中不等式内容的一个重要知识点，是高中不等式内容的升华，其具有非常鲜明的结构特点，形式优美，通过柯西不等式的学习，可以提升学生的探究与创新能力，激发学生的数学学习兴趣，提高学生的数学整体素质.柯西不等式在不等式的证明、最值的求解、参数范围的求解等方面有重要的运用.

柯西不等式：若ai、bi∈R+（i=1、2…、n），则：（当且仅当bi=0或存在唯一实数k，使得ai=kbi时，等号成立.

变式1：若ai∈R，bi∈R+（i=1、2、…、n），则：当且仅当存在唯一实数k，使得bi=kai时，等号成立.

变式2：若ai、bi同号（i=1、2…、n），则：当且仅当b1=b2=…=bn时，等号成立.

柯西不等式主要有以下方面的应用.

一、证明不等式

例1 设a、b、c∈R+，且不全相等，求证：

分析：观察其结构特点，可运用变式2证明.

证明：由a、b、c∈R+，得当且仅当a+b=b+c=a+c，即a=b=c时，等号成立.又 a、b、c不全相等，则

二、运用柯西不等式求最值

例2（1）设正数x、y、z满足x+y+z=1，求函数u=2x2+ 3y2+z2的最小值.

分析：柯西不等式经常用于求多元变量的最值，求最值时，一定要把握住不等号的方向，通过添、凑等方法，配凑出定值.（1）中要配出关于定值x+y+z的表达式，（2）中要通过配凑将变量x消掉.

解 ：（1） 由 （2x2+3y2+z2）（x+y+z）2=1，得u≥等号成立的条件是：2x=3y=z.又x+y+z=1，则当x=时，u取得最小值

三、求参数的取值范围

例3 已知实数a、b、c满足a+2b+c=1，a2+b2+c2=1，求c的取值范围.

分析：观察两个式子的特点，可根据柯西不等式建立关于c的一元二次不等式，从而求出c的取值范围.

解：由（a2+b2）（12+22）≥（a+2b）2，得5（1-c）2≥（1-c）2（1-c）2，即3c2-c-2≤0，解得-≤c≤1.

注意：有些同学在解题过程中，可能出现类似于以下的解法.

由（a2+b2+c2）（12+22+22）≥（a+2b+2c）2，得（1+c）2≤9，则-4≤c≤2.

上述解法中忽视了柯西不等式等号成立的条件，所求结果两边取不到等号，从而将范围扩大了.

四、充分利用柯西不等式等号成立的条件解题

例4 设x、y、z∈R，且满足：x2+y2+z2=1，x+2y+3z=求x+y+z的值.

分析：通过柯西不等式建立两个已知量之间的关系，发现等号刚好成立，再运用柯西不等式等号成立的条件，求解出x、y、z的值.

解：（x2+y2+z2）（12+22+32）≥（x+2y+3z）2（1）.

又x2+y2+z2=1，x+2y+3z=，则（1）式等号成立.

五、与柯西不等式有关的综合问题

（1）设F（x）=f（x）+g（x），求函数F（x）的图像在x=1处的切线方程；

（2）求证：ef（x）≥g（x）对任意x∈（0，+∞）恒成立；

（3）若a、b、c∈R+，且a2+b2+c2=3，求证：≤6.

分析：第三问涉及多元不等式的证明，具有明显的对称性，可用柯西不等式证明，证明过程中注意对（2）中结论的运用，运用柯西不等式要注意对不等号方向的把握，注重对定值的配凑.

解：（1）和（2）解答略.

（3）由（2）得：xx≥

联立上述三不等式即可得证.A