研读数学教材旁白的几个切入点*

☉重庆市复旦中学 黄益全 陈艳艳

研读数学教材旁白的几个切入点*

☉重庆市复旦中学 黄益全 陈艳艳

数学课程标准的颁布实施为我国数学课程教材改革注入了新鲜活力，尤其旁白等栏目的使用，使教材变得更加丰富多彩和引人入胜，更具文化价值和育人功能.然而，当前的数学教学却出现一个较为普遍的现象：教材旁白形同虚设.这种现象的出现，除了与教师的教学观念有关外，还与教师如何研读并有效运用旁白有关.本文拟从旁白研读的角度，案例式地介绍研读高中数学教材旁白的几个切入点，以期为教材这一静态的文本赋予生命力，进而辅助教师创造性地组织教学.

一、从编写者对教材设计意图的角度研读教材旁白

教材是编者集体智慧的结晶，是教师教与学生学的中介.在教材上出现的任何信息都有它存在的价值，旁白也不例外.教师的基本功之一就是要揣摩教材编写者的设计意图，将教材这一“静态文本”背后的“故事”详细、恰当地给学生进行解读和“翻译”，结合自己的创造性，构建学生思维驰骋的平台，给学生留下广阔的思维空间，打造精彩交融的课堂.

案例1：必修4P34的旁白“考查三角函数的性质，就是要研究这类函数具有的共同特点.”

通过研读，我们可以揣摩教材编写者设计这个旁白的基本意图有以下几点.一是利用寥寥几字，对学生的数学学习和思考指明了方向，提醒教师在教学中应当对这一环节“浓墨重彩”.二是揭示并巩固了研究函数的一般思路：实际问题—函数定义—函数图像—函数性质，这种研究思路对三角函数的学习研究也不例外.三是在研究了三角函数的图像之后，必然要研究三角函数的性质，研究函数性质最常用、最直观形象的手段就是作出函数的图像，再通过对函数的图像进行观察，必要时证明函数的性质.四是三角函数的图像对三角函数性质的归纳与提炼起着举足轻重的作用，并且周期性是三角函数这一数学模型的核心性质，因而教材把对周期性的研究放在所有性质的首位.五是通过对三角函数性质的深层次理解，可以进一步强化学生的数形结合思想，以及运用数形结合思想来理解、总结函数的其他一些性质的能力.

二、从知识本身的角度研读教材旁白

数学知识是指《课标》中规定的数学概念、法则、公理、定理、公式、数学方法，以及其中蕴含的数学思想等内容，它既是学生学习的重要内容，又是学生达成课程目标的基本载体.因此，读懂数学知识是读懂旁白的前提.从知识本身的角度来研读教材旁白，可从三个方面入手：一是弄清知识本身、知识的内涵和外延，以及与相关知识的区别和联系；二是准确区分知识类型，如事实性知识、概念性知识、程序性知识、元认知知识等；三是正确阐述知识的上位知识和下位知识，明确知识的来龙去脉.

案例2：必修2P97的旁白“分类讨论时，常按α≠90°和α=90°分类，这样可以做到不重不漏.”

对于这个旁白，涉及两个重要知识：直线的斜率和倾斜角.一是要弄清楚什么是直线的倾斜角：当直线l与x轴相交时，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.二是要弄清楚什么是直线的斜率：若直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°）且α≠90°，则直线的斜率为tanα.三是要明确直线倾斜角与斜率的关系：倾斜角α= 90°⇒直线斜率不存在；α≠90°⇒k=tanα.四是要了解斜率的一些实际意义：在直角坐标系中斜率表示直线与x轴的倾斜程度；在导数中斜率表示直线的瞬时变化率；在运动学中斜率表示物体运动的瞬时变化速度；在工程问题中斜率表示道路高度的平均变化率等.五是要让学生明确直线的斜率为什么要用倾斜角的正切值来刻画：在工程问题中，道路的倾斜程度是用“坡度”来刻画的，它表示高度的平均变化率，其大小是用正切值来表示的.因此，用倾斜角的正切值来刻画斜率可与工程问题中的“坡度”概念保持一致性.教材中的这个旁白，通过以上五个方面的研读，我们就弄清了对斜率、倾斜角应该“教什么”、“如何教”，以及“教到何种程度”，也明确了倾斜角与斜率的上位知识和下位知识.

三、从数学知识所起作用的角度来研读教材旁白

中学数学教材中的旁白，从知识所起作用的角度看，一是提炼数学思想方法；二是总结数学解题方法和基本步骤；三是培养学生的科学人文精神，逐步培养学生理性思考的习惯.数学作为一种知识，它具有广泛的使用价值；作为一种文化，它能提升人的精神，增强人的本质力量，促进人的身心和谐发展.

案例3：必修1P30的旁白“先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法.”

该旁白是对数学核心思想方法的提炼，既有数形结合思想的渗透和引领，也有合情推理方法的引导，更是对如何研究函数性质这类数学问题的方法总结，以方便学生运用和理解.该旁白的作用体现在以下几点：一是明确了涉及函数性质问题的解决方法——作出函数的大致图像.二是渗透了数形结合的数学思想——先观察出函数是否具有某种性质，然后作出猜想.三是仅有图像的观察和猜想是不够的，还应通过逻辑推理来证明这种猜想的正确性.四是通过作图—猜想—证明的解题程序，可以培养学生严谨、朴实、一丝不苟的学习态度，熏陶学生理智、自律、严肃认真的科学态度，养成诚实、求是、刚正不阿的品格.五是对反比例函数y=的定义域和单调性的解决策略，为后续例4“已知函数f（x）=（x∈［2，6］），求函数的最大值和最小值”提供了研究思路：作图—猜想—证明—求值，学生应势而解，学生的正向思维定势得以形成.

四、从文化价值的角度来研读教材旁白

新课标在培养学生数学素养方面，要求做到“以人为本”“渗透数学文化，体现人文精神”.教材通过旁白的方式，力荐一些著名的数学家和数学史实，反复向学生展示各种数学文化，营造浓郁的数学文化氛围，在引导学生学习数学知识的同时，赏析数学家对数学发展的贡献，让学生接受数学文化的熏陶，感受数学的美好，以此培养学生良好的情感、态度与价值观，激发学生的数学创新原动力，关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成是现代数学课堂教学不可或缺的环节.

案例4：必修1P16的旁白“函数符号y=f（x）是由德国数学家莱布尼兹在18世纪引入的.”

教材设计此旁白，其主要意图体现在以下几点.一是教师要通过课堂教学，将数学文化知识普及到学生平时的学习中，让学生了解数学的简明发展史及历史上我国在数学发现与发展中所起的作用.二是通过数学简史的介绍，阐明一个基本观点：数学的盛衰与国力的强弱有关.三是要求教师的教学要时刻关注数学的文化价值，要让学生了解数学是人类文化的重要组成部分，了解数学在人类文明和社会发展中的推动作用，了解数学家的创新精神，逐步形成正确的数学观.四是要求教师的教学要向学生渗透数学美.高中新课程把数学审美纳入课程目标，指出新课程应“具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义”.函数符号y=f（x），通过几个符号，把近50余字的含义高度进行了刻画，教师在教学此概念时，要通过符号语言的表述，引导学生从中体会数学的美，感悟数学的艺术魅力.五是在本节教材之后，还设置了关于“函数概念的发展历程”的阅读材料，教师应鼓励学生去了解、搜集函数的发展史，以及有关数学家（如伽利略、莱布尼兹、欧拉等）的故事.在章末又安排了一次“实习作业”，旨在通过合作学习的方式，查阅资料，了解函数形成、发展的历史.在新教材中时刻注意体现数学的文化价值，也提示教师在教学中可以结合实际情况渗透得更多.

五、从教学的角度来研读教材旁白

我们研究和解读教材旁白，其主要目的是为教学设计服务，为课堂教学服务，为教学“补白”作准备.教师的课堂教学应充分利用旁白来努力调动学生学习的积极性.在某种程度上，旁白比正文更有趣，形式更活泼，更贴近我们的生活，通过旁白有趣的提问和对话等，使学生乐于学习，并且从中感到愉悦，得到收获.

案例5：必修1P50在讲分数指数幂时的旁白“数学中，引进一个新的概念或法则时，总希望它与已有的概念或法则是相容的.”

一方面，教材以旁白的形式从相容性的角度指明了这种推广的合理性，以及这个知识点这样安排的缘由.但这种推广合理性的严密的证明又是超越学生思维的“最近发展区”，因而教材没有给出证明，限于高中学生的知识基础和接受能力，也没有必要进行证明，只是从数学的角度给出了较通俗的说明，指明在数学里这种推广是合理的.另一方面，这个旁白也从数学思想的高度，针对推广的合理性，引入一个新的概念的必要性等进行适当的说明，指明了数学中引进新知或法则的基本准则之一：相容性.其实，这也是所有学科的基本准则.三是为了保证数学教材整个知识结构体系的合理性、完备性，所以教材在这些方面作了渗透，教师教学时也应向学生进行明示，注重培养学生的科学人文精神.

总之，高中数学教材中的旁白不是可有可无的东西，事实上，它在学生的学习和教师的教学中起着相当重要的作用，这些作用是正文所无法替代的.研读教材旁白的几个切入点也不是孤立的，对一个旁白的研读同时从几个方面切入，才能进行完美的解读并有效发挥旁白的功能.作为数学教师，我们既要重视教材旁白，精心研读，更要重视教材“补白”，使“补白”与旁白相得益彰，精彩交融，使我们的课堂更灵动，更彰显人文性.对高中数学教材旁白的研读，要求我们教师既要从宏观的角度领会教材的编写特点，理清知识发生、发展的来龙去脉；又要从微观的角度揣摩教材的编写意图，明确教材的脉络结构，深刻领悟数学知识的作用和蕴含的文化价值，实现教材价值的最大化；既要从整体到局部，又要做到跳出教材看教材.

1.普通高中课程标准实验教科书·数学A［M］.北京：人民教育出版社，2011.

2.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

3.谭淇婧.数学教材旁白的功能及运用研究［D］.重庆：重庆师范大学，2011.

4.张俊如.对数学教材中旁白作用的认识［J］.中学数学新教材教学建议，2009（2-3）.

5.何金红.新课标下高中数学教材分析研究——典例分析人教A版高中数学（必修1）［D］.武汉：华中师范大学数学与统计学学院，2012.F

*本文系重庆市渝中区教育科学“十二五”规划2013年度重点课题“人教版初高中数学课标教材中旁白的研究”（课题批准号：2013-001，课题负责人：黄益全）的研究成果.