对于说题活动的初探与思考

☉江苏省南京市溧水区第二高级中学 张红军

对于说题活动的初探与思考

☉江苏省南京市溧水区第二高级中学 张红军

说题是近年来比较流行的一种考核教师课堂解题、讲题能力的一种新型方式，其在一定时间内给予教师某个问题，进行独立的分析、解答、归纳和小结.这种模式渐渐为各地考查教师业务能力水平所采用，因此深受教师重视.原课程标准指定组组长东北师大史宁中教授关于新型说题活动给出了这样的评价：我觉得说题是一个很好的创新活动，它把教师之间的水平层次清晰地区分开来，给那些优秀教师提供了宽阔的表现舞台.从知识上来说，说题正是我们的数学为什么要这么教，教的那些方法是否合理，解题中提供给学生什么样的视角，这些都是说题最有价值的部分.因此，说题活动是高中数学一种比较新型的教学交流方式，近年来受到教师交流活动或职称评选活动的关注.那么何为说题？如何说题？说题过程中如何展示教师的问题处理能力？如何体现教师的专业化能力与水平？这些都值得教师在说题活动前做充分的了解和尝试.近期笔者以自身某次说题活动的参与，谈谈说题活动对自身的一些启示和思考，旨在抛砖引玉，与大家交流.

一、题源

题目 设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1= 4an+2，则a12=__________.

本题是缘自全国卷改编而来的一道高考试题，是本次说题活动给出的一道基本数列题.从初步分析来看：本数列问题解决的基本知识在于作差之后等比数列知识的运用，其基本思想在于数列的作差思想、整体思想、构造思想等的运用.从近年各地高考、竞赛试题来看，数列中递推数列通项的求解一直是热点和难点.

二、说题

诸如文1、文2等比较关注的是教师如何指导学生进行说题，其目的旨在提高学生对问题的理解能力和解决的方向性、知识的整合度及思维的发散性等，而本次是以教师说题为主的教学活动，有所不同.

首先，谈谈说题的界定：说题是什么？笔者认为就是要求教师通过分析，将问题从审题—分析—解答—小结—提升等过程按照一定的规律进行语言的口述，在这个过程中要求说题者将整个对试题的分析思维过程进行暴露，即“说数学思维”.说题是近年比较流行、高效的考查教师基本课堂教学能力的一种方式，要求利用教学语言口述探寻解题的思维过程、对问题分析处理的想法，以及针对这一问题进行的挖掘和提升，进一步对教师专业化素养的考查等，其作用是大大方便教师间的交流、节省大量的教学课时、理清教学的思路、提高教学的效率，这样的新型教研活动值得我们做一定的思考与尝试.

罗增儒教授关于解题教学提出了一些尝试和建议（文3），其指出：解数学题要将陌生的条件、结论转化为通俗易懂的数学语言.按照这一想法，笔者类比思考说题正是将此形式进行语言表达的一种态势，即利用教学语言口述探寻解题通路的思维过程，以及所采纳的数学思想方法和解题策略，并在此基础上进行演绎和归纳，因此往往涉及下面几个方面.

1.说题意

说出试题考查的背景、意图、隐含条件、处理方式、处理技巧等，是说明题意的基本要求.数列知识板块是高考数学的重点和难点，其所占分值约15%，小题主要考查数列基础知识和基本技能，解答题侧重考查数学思想方法在数列中的运用，诸如：整体思想进行构造、函数思想研究数列性质、数列求和中的倒序相加等.

从本题来看，本题的意图言简意赅.首先，从基本处理而言，数列前n项和与通项之间的作差思想，在得到递推数列关系之后，进一步利用整体构造进行处理.对本题的后半阶段处理，我们知道用构造法求数列通项是递推数列考查的重点和难点，教师对问题的处理、解决是站在教师自身的角度而言的，将基本方法进行阐述的同时，要立足于学生思维、考虑问题的角度再进行深思研究.

2.说思维

简述解决试题探索过程中的思维方法和心理活动过程，这是说思维的基本要求.一般在指导学生解题思维培养途径上常常使用下面的方式.

（1）运用直觉思维，从类似问题中探索解题途径、渗透一般问题的解题规律，即模式识别策略.

（2）采用“庖丁解牛”策略，将问题分解为若干个小问题，逐一突破.

（3）分析综合策略，从条件出发、结论思考，对条件进行顺推、结论进行逆推，寻找问题突破点.

（4）转化策略，将命题不断进行转化、变换，转化为熟悉的、已知的问题进行突破.

纵观本题，参加本题说题活动的老师给出了多种不同的解决思路，水平非常了得，但笔者思考：说题活动并非一味提倡一题多解，更要在说题过程中将学生能够解决的方法，其使用这样方法的依据说清楚，还要在探索解题过程中对能够使用的解法和构建这些解法的心理机制进行分析，这些更值得教师去关注.

一般，针对本题最常见的学生解题心理机制有：

（1）利用作差思想，已知Sn+1=4an+2 ①，则当n≥2时，有Sn=4an-1+2 ②，②－①得an+1=4an-4an-1.

（2）对an+1=4an-4an-1进行构造，这里的构造借助学生对等比数列、等差数列的整体认知而定，既可以利用等差构造，也可以等比构造，相比而言，学生往往更喜欢用等差整体进行构造，但是等比整体的构造更具备解决递推数列的一般性.

利用等差数列的构造是学生较为熟悉的一种问题解决方案，教师必需将其讲清楚，以及学生使用该种方法时的心理机制也可以适当提及.

师：令bn=an+1-2an，则bn=2bn-1，所以｛bn｝是首项为b1=3，公比为2的等比数列.可得bn=an+1-2an=3·2n-1⇒，所以数列｝是首项为，公差为的等比数列，所以，所以an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

从一题多解的角度来说，笔者认为教师需要再说明解决本题的另一种基本方法，等比数列整体构造，这种方法并不太完全符合学生的心理预期，但是后续解决类似问题时更具备一般性.

师：由上可知an+1=2an+3·2n-1（*），令an+1+λ（n+1）·2n+1= 2（an+λn·2n），展开合并同类项得an+1=2an-4λ·2n-1，利用待定系数法，可知-4λ=3⇒λ=-，将λ=-代入所令，得，所以是以为首项，2n-1为公比的等比数列，易得2n-1⇒an=（3n-1）·2n-2，可得a12=35·210.

3.说思路

说出本题解决的一般性思路来得更为重要，针对本题而言，教师要以第二种方法进行问题一般性的思路说明，尽可能进行推广.

（1）主要思想：整体思想、构造思想，运算中注意如何利用整体性解决问题.

（2）考虑到数列an+1=pan+f（n）这一模型的重要性，开展说题活动的一般性思路说明.

（3）给出f（n）为一次函数模型、二次函数模型、指数函数模型的通用型问题解决指导.

4.说规律

通过数列递推求通项，诸如an+1=pan+f（n）模型的一般性规律是利用等比数列的整体性构造解决，笔者概括出一般性的解决方式，并交流心得体会.

（1）f（n）为一次函数时，即an+1=pan+bn+c，只需构造an+1+ λn+u=p［an+λ（n-1）+u］，利用待定系数求出λ与u即可.

（2）f（n）为二次函数（或二次以上时），只需构造an+1+ λ（n+1）2+u（n+1）+v=p（an+λn2+un+v），利用待定系数求出λ、u与v即可.

（3）当an+1=pan+qn时，也可按等比建构，当p=q时，即an+1= pan+pn，构造an+1+λ（n+1）pn+1=p（an+λnpn），易得λ=-，故是等比数列；当p≠q时，构造an+1+λqn+1=p（an+ λqn），易得λ=，故是等比数列.

有兴趣的同学可以用上述一般性的规律解决下列问题.

（1）已知数列｛an｝满足a1=1，an=2an-1+n-2（n≥2），求通项an.

（2）已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=2an+n2，求通项an.

（3）设数列｛an｝的前n项和为Sn，已知ban-2n=（b-1）Sn，求｛an｝的通项公式.

因此，现代意义的解题教学特点：更注重解题的过程、策略及思维品质的培养；更注重解题过程中的情感、态度、价值观，从变化中寻求不变才是教师所追求的和学生需掌握的.

三、思考

在参与本次说题活动中，笔者感受到教师的说题都是以培养学生的知识整合能力为主，注重试题讲解多变多样化为切入，关注解题过程中数学思想对学生的引导，关注一题多解带来的思维发散效应，关注学生的情感、态度与价值观等，做出了积极的探索和很大的努力，这些都是很好的尝试.

但是通过说题活动笔者也发现，我们有时候在处理说题目标的具体性、适度性和合适性上把握还显不足，甚至有些混乱，在面对一道具体的数学题目时，课程标准中的空话、套话切勿对应于具体题目.教师更应该关心的是如何将本题所涉及的说题目标进行具体地、合理地叙述，这样比较贴合实际.

按照本次说题教学得到的一些尝试，笔者认为我们应该将说题目标进行层层递进式地剖析.

（1）说题的初级目标，主要是教师将问题的思路和解决方法进行叙说，将学生可能存在的解决方案予以呈现，将教师在问题解决过程中的对话交流、问题设置等进行合理的安排，以符合学生解决问题心理机制为前题下的设计是符合学生认知心理的，并让学生进行探究性的尝试.

（2）说题的中级目标，此时笔者以为，我们在解决说题过程中所反映的基本思想方法应该向学生予以呈现，以本文中数列问题为例，教师努力向学生传递的是运用基本数列（等差、等比）解决未知数列模型，即转化思想；利用整体构造进行问题求解，即整体运用思想等，并对比两种不同的问题解决方法，鼓励学生思考、认知哪种方法是更具备一般性、普遍性，进而将问题教学效益最大化.

（3）说题的高级目标，笔者对本文中的数列问题进行了一般性的推广，通过自身经验积累、搜集加工、自行编译一些符合数列模型的递归数列，利用中级目标得到的问题解决方案和思想方法进行更广泛问题的开拓、更发散方向的尝试，真正将说题效应上升到一种“以点及面”的层面上，使得课堂教学效率大大提升.这里要注意把握好归纳与演绎的度，做到收敛思维与发散思维交替运用，同化规律与顺应规律多化循环，让学生掌握数学思维的规律、特点和方法，在参与思维中发展能力，在知识、规律的探索和归纳中形成创新意识.

总之，本次说题活动的尝试给教师专业化素养发展带来了一个全新的视角，笔者认为我们应该加强高考试题的研究，将有价值的数学问题通过说题的教学形式予以展示和交流，这样既发挥了优秀试题的典型性，也大大提高了教师对有价值试题的研究能力，使得教学水平得到进一步的提升.中学数学特级教师孙维刚的教学观念：“八方联系，浑然一体，漫江碧透，鱼翔浅底”！笔者想说，正是借用这样的教学观念，使得我们说题辅导教师站在更高、更系统的舞台来指导教学，让我们的教学之路越走越宽广.

1.李萍.说题教学的尝试［J］.数学通讯，2005（11）.

2.金秀青.说题——让数学课堂更精彩［J］.中学数学（上），2009（6）.

3.罗增儒.数学的领悟［M］.郑州：河南科学技术出版社，1998.F