画龙点睛注重根本——新课程高效教学例谈与思考

☉江苏省海门中学吴惠琴

画龙点睛注重根本
——新课程高效教学例谈与思考

☉江苏省海门中学吴惠琴

高效教学是一个老生常谈的问题，作为一线教师尤其要关注教学的效率和实效性·新课程中的高效教学与传统高效教学的最大区别是什么？新课程中数学高效教学实施应该如何与时俱进？南师大数学教授喻平说：“现阶段的新课程中学数学教学，要以引导学生积极思考、将知识以符合学生心理预期的方式进行传授，并且这些知识需要教师以一定的形式进行组织，这样的教学与传统教学高效的灌输式相比有了长足的进步，符合新时代的教学特征·”

因此，新课程下的高效教学需要一些特征：其一是主动性，教师如何在教学中去调动学生的积极性，需要用实效性的问题、及时的激励、积极的参与等手段；其二是核心性，高效教学必须始终围绕唯一的教学重点实施，这是高效教学的根本，如何围绕根本设计问题是教师能力的渗透和体现；其三是归纳性，围绕根本教学展开的高效课堂，需要将教学核心和重点进行归纳达到教学的目的·近期，笔者聆听了一节公开展示课，内容是高三平面向量教学中关于数量积的一个复习教学，该教师以独特的视角引进了高考向量问题中向量数量积与向量加法、减法之间的本质关系，将问题进行了合理的梳理，是高效课堂的体现·

一、课堂设计

本课是平面向量高三复习课，因此并不花哨，且注重实用和高效，现大致对本课用一个流程作简单的回眸：

1·回归课本

例1（必修4，P120：B组2）已知向量a，b为非零向量，求证：a⊥b⇔|a+b|=|a-b|·

提问：同学们，大家有没有发现a·b与a+b，a-b之间的关系？a·b=_________·

2·寻根问底

3·“根”繁叶茂

例2（南京二模改编）在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则A—→B·A—→C=_________·

例3（无锡市一模）已知a·b=0，向量c满足（c-a）·（c-b）=0，|a-b|=5，|a-c|=3，则a·c的最大值为_________·

例4（浙江省理改编）设△ABC，P0是边AB上一定等于或小于）

4·推本溯源

本节课复习了哪些内容？主要有哪些常规解法？渗透了哪些数学思想方法？如何选择最合适的解法？通过本节课的学习，你得到哪些启示？

二、课例分析

笔者有幸听到王老师的《注重根本复习加强知识积累——向量恒等式复习》一课，听课之余不禁为王老师深厚的教学功底、精湛的教学艺术及先进的教育理念所折服·下面笔者抓住其中几点来谈谈对这节课的分析·

本节课教学过程共分为四个层次：回归课本，寻根问题，根繁叶茂，推本溯源，这四个环节之间和谐紧凑，自然递进，就好比导游（教师）带领游客（学生）进行登山活动，欲欣赏美景，请君更上一层楼·

1·本源——自然递进的层次结构

在第一层次中，由课本的一道练习题引出（已知向量a、b为非零向量，求证：a⊥b⇔|a+b|=|a-b|），由学生给出两种不同的证明方法——代数法和几何法·看似平常普通的练习题，其中既蕴含了本节课的主要思想——数形结合，也隐含了本节课需要解决的问题——向量中的问题·接下来问学生：能发现a·b与a+b、a-b之间的关系吗？学生可以很自然地想到运用数量积运算法则进行计算，给出两者关系·

这里由课本练习引入复习课，显得十分自然并且可以引起学生足够的重视·在高考的复习中，教师往往侧重于让学生大量、不停地做课外题而忽视了最本质、最原始的材料——课本·历年的高考题中有很多是以课本为原型而改编的，因此在复习中回归课本、回归基础也是我们教师所要注意的问题·

同时用课本练习引入也可以对不同程度的学生能起到“保底和提高”的作用·对于程度不好的学生，那么课本的练习便是保底，给他们自信心；对于程度好的学生，后面的练习便是提高，提出更高的挑战，起到了兼顾各个层次学生的作用·

2·本质——扎实可靠的理论依据

在经历第一层次的登高后，景色若隐若现，此时在第二层次寻根问底中，教师便直接揭开了神秘景色的面纱，对刚才的等式关系给出了一个名字——向量恒等式·并结合图形解释了该恒等式的几何意义·把两向量的数量积与三角形中的中线和边联系起来·与本课开头的引入呼应：既有代数的运算，又从几何角度得到了完美的解释，达到了数形的统一·印证了华罗庚先生的一句话：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分离·”也同时在提示学生，做题目时要注重数形结合的思想，再一次呼应本节课的学习目标·

向量恒等式原本是高等数学中泛函分析的内容，是沟通线性空间与内积空间的桥梁·在这里教师结合高中数学的实际情况对该等式进行灵活应用，这一做法值得我们大家借鉴、学习·高中数学课程的理念之一是构建共同基础，提供发展平台·其中，认为高中数学的基础性包含两个方面的含义，一是“提供更高水平的数学基础，使学生获得更高的数学素养”；二是为学生“进一步学习提供必要的数学准备”·因此，在平常的教学实践中，用高等数学的知识来指导初等数学是非常有必要的·

3·整合——融汇贯通的知识脉络

“贯通”本身是哲学中的术语，教学活动作为一种学术活动也可以借鉴“贯通”思想来执行·数学教学的贯通是指教师能够对本学科的理论体系通晓含义、脉络清晰，进而触类旁通，以静制动，以点带面，连面成林，从而使教学活动完整而有效·美国著名数学家G·波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域·”

而在本课例中，王老师介绍完向量恒等式之后，依次给出了与数量积有关的三个例题，实现了从理论到实践的统一，也实现了从各个方面帮助学生发掘问题、解决问题的目标·在例2中分别采用分解向量、利用向量的线性运算，或直接利用向量恒等式，或采用坐标法，或采用特殊情况等方法对例2进行了完美的解决·在解决过程中体现了各种方法的殊途同归，实现了研究方法的贯通，也让学生体现到了一题多解的重要性；例2中又把向量问题和解析几何中的圆、四边形联系起来，让学生深切感受到数学知识的统一性，让学生感受到了各种知识之间的内在联系·纵观本课乃至平时的数学学习，贯通思想是必不可少的·各章节知识点之间的贯通，各种解题方法的贯通，各种数学思想的贯通，包括数学与其他学科的贯通等都需要教师在平时的课堂上无形中渗透给学生·

值得一提的还有王老师的课堂中始终贯彻了“学生先行，交流呈现，教师断后”的指导思想·看似普通的十二个字，做到却不容易，笔者统计了一下，每次题目给出后，王老师都会给学生至少2分钟左右的思考时间，带着思考之后的结果去听教师的讲解，效果定然比只听不思考好很多，这是值得我们大家借鉴、学习的地方！

4·美景——无处不在的数学美景

数学美是美的高级形式，它的特点在于无限丰富的感性内容可以提取出抽象的理性形式·而在教学中，教师要运用大量生动感性的材料给学生以美感直觉，把抽象枯燥的数学概念、公式、定理先给学生以具体的直观形象，再上升为理性形象，成为字母与运算符号间的造型艺术，使学生对所学知识易于接受，便于理解·在课堂上，教师通过严密的推理、生动的语言、优美的图形等做出审美示范，创设思维情境，把数学美的简单统一、和谐对称等特征融汇贯通在教学的整个过程中，使学生能够在美的享受中获得知识、理解知识、掌握知识，在潜移默化中体会数学美·在本节课中，王老师做到了，王老师就像数学王国中的导游，逐步引导学生欣赏数学中的对称美、统一美、简洁美和逻辑美·同时，教师自身独到的见解、循循善诱的语言，本身也是一种美，致使学生在做题目时不断地感受数学之美，而不是单纯地在解答题目·

综上，在合理安排教学的同时，又极为简捷、高效地复习了向量恒等式，进行积极渗透、师生共探，以达到新课程高效课堂教学的目的·

三、课后反思

在欣赏王老师的这节精彩的课例外，笔者还有一些不太成熟的个人看法，这里仅供参考，欢迎大家批评指正·

1·教学安排上的商榷

在第二个环节寻根求底中，教师通过计算得出了向量恒等式，进而借助向量的平行四边形法则给出了其几何解释，又进一步推广到了三角形中，得出数量积与三角形的中线和边的关系，接下来马上进入了第三环节例题展示·第二环节只用了短短的4分钟时间，在这里笔者认为第二环节安排时间过少·向量恒等式本是一个陌生的概念，是从熟悉的向量和、差、数量积得出，虽然符合学生的认识规律，但学生还没有来得及内化、转变为自己的知识，教师已经开始下面例题的讲解·当然也有可能教师认为需要通过做题目来进行巩固、内化·

在第三环节的教学中，王老师先安排例2的讲解，这里体现了一题多解，鼓励学生从多角度思考问题，也调动了学生学习的积极性·接下来，笔者认为例3、例4的位置可以互换一下·毕竟例3的题目需要运用圆等知识，而例4是可以马上利用向量恒等式的·显然例3比例4更综合、更具有挑战性·因此，两道题目顺序调换后，更符合一节课例题逐步加深，从易到难的安排，也让学生更具有学习的积极性·

2·教学过程中的商榷

王老师这堂课从头到尾都贯穿着“学生先行，交流呈现，教师断后”的先进教学理念，但贯彻的不是特别彻底·在展示出题目之后，教师都会空出时间让学生自己思考，但思考之后便是单纯的一对一式的对话或是教师的独自讲解·此效果比直接讲解题目效果要好，但效果可以更好一点的是教师完全可以放手让学生来讲·因为给出向量恒等式之后，后面的例题便是此等式的应用·认真思考之后，过半的同学完全有能力自己解决例题·所以不妨把后面例题的讲解转变为学生自主讲解；同时要求在“学生先行”时，教师要走下讲台巡视学生的解答情况，对于典型的错误、精彩的解法挑选出来展示给大家看·此时更能提高学生学习的积极性，也能对学生掌握的情况有相对准确的把握·当然，此方法比较费时间，所以也可以提前把学案发给学生，提前研究，相信课堂中会有意想不到的精彩呈现·

尽管本课有几处小地方有待商榷，但从总体上来看，这节课确实有很多地方值得大家来学习、借鉴，特别是教师融会贯通的能力、循循善诱的语言及先进的教学理念指导，值得笔者学习和思考·

1·杨建辉·新课程标准下教师教学设计中应具备的几种意识［J］·数学通报，2014（2）·

2·何宗罗·整体凸显结构优化问题引领［J］·教学月刊，2012（4）·

3·冷少华·浅谈学生的数学问题意识及其培养［J］·教育探索，2013（6）·F