有价值数学问题及设计的思考*

☉湖北省武汉市华中师范大学数学与统计学学院叶珂胡典顺

有价值数学问题及设计的思考*

☉湖北省武汉市华中师范大学数学与统计学学院叶珂胡典顺

问题是数学的心脏，是科学探索的出发点和动力，也是改变传统学习方式实施有效数学教学的重要载体·问题对于教学具有核心价值：既可以用于案例分析、解题分析，还可以用于能力生成训练、思维训练·［1］事实上，数学教学不可能完全从概念到概念、从公式到公式、从定理到定理，概念、公式、定理都需要借助“问题”这个载体·［2］遗憾的是，今天的数学教学中存在大量短程的即只是对某一孤立法则进行练习的问题，这类问题的过量不仅浪费了教学时间，消耗了师生精力，教学效果不明显，甚至会产生负面影响·究其原因是不少数学教师对问题设计的意义认识不到位，实施上也缺乏理论指导和经验积累·促进学生的数学理解，启发学生的数学思维，改进学生的数学学习，所有这一切都离不开精心设计的数学素材·［3］数学教师的基本功之一就是编制能引发学生深入理解、把握数学知识本质的问题，只有好的或有价值的问题才能帮助学生形成、巩固和拓展合理的知识结构·波利亚指出：“如果一个教师给他的学生以适合他们认知水平的问题去引起他们的好奇心，并用一些吸引人的问题来帮助他们解题，他就会引起学生对独立思考的兴趣并给他们一些方法·”数学教师面临的一个重要挑战是如何认识和设计“有价值的数学问题”·学生将受益于这些精心设计的问题任务，在解决问题的过程中训练思维，进一步形成发现问题的意识，提升分析、解决问题的能力·

一、有价值的数学问题的内涵

数学问题是指“以数学为内容，或者虽不以数学为内容，但必须运用数学概念、理论或方法才能解决的问题”·［4］有价值的数学问题要求学生去做数学，它没有确定的解题思路，而且经常有多种可能的正确答案·为了完成这种任务，学生不能只简单地记住事实或进行算法的演算；相反，他们必须用获得的知识来确定解题方法，并对每一个解题步骤进行证明·［3］

“有价值的数学问题”在数学教学中大有裨益·一个有价值的数学问题能够加大教学支持力度，在完整的学科框架内明晰内容的相互联系，在知识和技能学习中融入数学思想方法，给问题应用给予生动的背景材料，鼓励学生大胆、合理地猜想并对猜想进行检验·显然，设计一系列涉及重要数学知识的问题，让学生发挥自主性和能动性“做数学”，亲历数学知识的形成过程，在体验惊讶和冲突中调动思维运作，发展多种能力，不断提高数学素质·数学教师应当避开那些无效的数学问题而利用有价值的数学问题·什么是有价值的数学问题？我们认为，有价值的数学问题是在学生认知水平和已有经验的基础上，能吸引学生主动参与一系列实践操作和思维活动，在寻找适当解决方法的过程中认知结构不断完善，数学能力不断发展的有趣的数学问题·也就是说，一个有价值的数学问题应该能够：

（1）包含有意义的数学；

（2）让学生对这个问题感兴趣；

（3）促进学生思考；

（4）培养学生的数学理解能力和提高数学技能；

（5）促使学生自己联系并形成一个连贯的数学知识框架；

（6）给学生提供了应用和延伸拓展数学知识的机会；

（7）支持学生使用多重策略；

（8）在学生与问题的互动过程中揭示学生对数学的理解程度；

（9）促进数学交流·［3］

二、有价值的数学问题的设计

新一轮数学课程改革促使反映数学教师教学设计理念和能力的问题教学成为焦点，并越来越显著地影响着改革的进展和成效·从数学教学出发，将问题设计与教育价值联系起来考虑，真正指导和促进改革的开展，就要提倡教师研制开发出更多有价值的数学问题·

1·从分析教学资料和最近发展区出发，加强问题连结教材与学情

任何教学中使用的问题都应服从于、服务于一定的教学目标，这也是问题的根本价值导向所在·在明确目标的基础上首先要进行任务分析和起点定位·课程标准为教师进行问题设计提供了努力方向，使问题设计有的放矢·教材是教学过程中用来协助师生双方，以达到教学目标的主要信息材料·教师在分析课程标准对具体教学内容目标领域要达到的水平的基础上吃透教材，领会编者意图，而又不囿于教材地进行二次开发、利用·进行数学问题设计不仅要遵循数学自身的特点，更应考虑学生的认知发展水平、学习规律和个体差异·希尔伯特在1900年巴黎国际数学家代表会上发表的《数学问题》的讲演中提到，一个数学问题应该是困难的，但却不应是完全不可解决而致使我们白费力气·这一论述对我们今天的数学教学仍有一定的指导意义·若问题起点过高，学生无法在原认知结构中找到知识固着点，操作、探究难以落实；反之，起点过低则不能给学生思维提供充分的锻炼，只是单纯的重复练习·在设计数学问题时，教师通过调查了解，结合经验，界定出学生的最近发展区·定位起点应实事求是，切忌揠苗助长，力图照顾到大多数学生的基础·通过问题设置障碍，引发认知冲突，但它的解决又不会超过学生最近发展区的界限，是学生“踮起脚”或“跳一跳”就能摘到果实的高度·

2·从渗透思想方法和学科结构出发，优化思维模式与认知结构

数学问题作为促进学生理性思维发展的重要载体，开发智能，暴露不足，使学生的认知结构在同化与顺应中达到新的平衡，思维模式不断完善·波利亚曾说：“完善的思想方法犹如北极星，许多人通过它而找到正确的道路·”数学思想方法仅靠一道题、一朝一夕，不能习得，要在处理数学问题的长期积累中揭示、概括、形成·布鲁纳认为，结构化的知识既有助于记忆，也有助于运用·数学问题设计应植根于具体内容，利用好知识的“生长点”，渗透数学思想方法，突出学科逻辑结构，从不同角度理清内容的纵向、横向联系，把单一的知识点放置于条理化的网络中，从整体到局部抓住数学学科内容间的本质联系和整体结构·以问促思，引导学生感受数学的抽象、严谨，认识到对于某些数学知识可以从多角度加以分析、多层次进行理解，认知结构经过变动、重组完成自我建构·我们不提倡设计大量的单纯记忆、模仿性问题，要设计能引起学生深度思维参与，认知结构发生量变甚至质变的理解性问题·不仅停留在问是什么？还要多问为什么？怎么得出来的？如果变一变怎么办？不仅要会解一道题，还要学会一种方法、一种思想·学会的不是一个孤立的知识，而是和已知、未知存在清晰联系，位于学科系统中具体位置的知识·

3·从联系生活情境和实际应用出发，感悟数学的魅力与价值

问题的一个基本要素就是解它的愿望、干劲和决心·［4］实践证明，那些足够吸引学生兴趣和求知的数学问题能使学生消除恐惧、畏缩心理，积极参与到问题中·当学生处在与自身过去熟悉的、未来有机会遇到的相同或相似的现实情境中学习时，知识和技能更易被回忆和保存·数学问题的设计，注意把握学生心态，激发学生的参与兴趣和学习动机，符合学生“期待”与“满足”的心理变化，引起情感共鸣·需要注意，问题情境素材过度或牵强附会将导致学生注意力分散，被无关因素吸引或干扰，承受多余的认知负荷·数学教师选择课堂教学中用到的问题情境时要考虑学生的年龄、兴趣、社会地理条件等，考虑学科交叉点，可以适当引入社会热点，把具体情境数学化，数学知识生活化，拉近学生与问题的距离，激起学生强烈的求知欲·创建情境时要尽量开阔思路，寻找一些备选的贴近学生真实生活的问题情境，再从中选出与任务分析最匹配的一个，设置适度的挑战来调动学生的热情，使其积极参与到问题情境中所隐含知识的挖掘和思考中，为进一步引申、推广、应用、创新做准备·也可适时结合相关数学史背景，如数学在自然社会中的应用、历史进程与思辨、数学家的事迹与贡献，在感受数学家的求知精神、欣赏数学的魅力与认识数学是人类文化的重要组成部分中逐步形成正确的数学观·

4·从设置变式和题组出发，促进知识灵活迁移

题海战术教学之所以低效，最根本的是学生照搬套路就能够解决，也就很难提高他们的数学能力·而若将相互关联的概念、公式、命题、形成系统，明确其逻辑关系，学生获得知识时就会相互带动，在后续的迁移中也变得容易·有价值的数学问题不能太特殊，要灵活多样，有一定的启发性，学生依靠努力能得出多种解法或结果·同时，问题不一定在找到答案时就结束，所得到的答案可能暗示着对原问题的条件作出某些变化，由此引出新问题和更一般的结论·利用变式来设计数学题组可直接呈现正反例、将原题的条件或结论进行减弱或加强、将原题中特殊条件推广为更一般的情况·借助变式题组设置梯度，控制难度，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，达到闻一知十的效果·题组设计是在同一问题背景下编制问题串，融入多个知识点，能够引起学生广泛思考和深度认知参与的设计技巧·数学题组设计要站在整体的高度进行铺垫与过渡，由浅入深，以一个核心问题紧扣和突出一个目标，攻破一个重难点，再设置另一题对前一题做对比或递进，题题相连，题题深入，使学生的思维聚焦于一点而不断发散，深刻理解问题的本质，进而实现对问题规律的掌握和知识技能的巩固·

5·从展示知识形成过程出发，积累探究合作经验

站在数学问题的分类来考虑，问题的层次性与系统性还表现在类型的均衡度和丰富度上·设计数学问题时不应只局限在某一种类型，应尽可能地在更多样、更宽广的问题类型区域进行扩展和创新，培养学生灵活解决各种数学问题的本领·新课程指出：“数学学习不仅要教给学生结果，也要给学生提供机会让他们有充足的时间和空间经历数学结果的形成过程，获得基本的数学活动经验·”为了使学生摆脱解决传统数学问题时较低层次的思考，教师尽可能从展示知识形成过程出发，设计综合实践性问题，尽量让学生获得更多主动学习、自主探索、元认知监控和展示交流的机会来满足学生多元能力发展和素质提升的需求·问题的呈现应侧重于实现“双向建构”，全面渗透数学活动经验·学生是课堂的主人，教师不能越俎代庖，要让每位学生自主参与，积极动脑、动手，不宜将问题的探究过程设计得过于详尽，局限于细枝末节和明显指给学生答案，使学生产生思维惰性，导致一些有操作价值的素材滑过·探究问题的设计不等同于科学实验，考虑到学生获取知识的渐进性及差异性，问题呈现应由浅入深，有坡度，体现探究的过程性，有效激发全体学生学习的热情和积极性，使不同层次的学生都能够体验到学习的乐趣，在原基础上获得发展和进步·

三、结束语

有价值的数学问题代表了新课程理念对传统数学教学价值取向的转变，通过提供有价值的数学问题构建共同基础，给数学教学注入了新的生机，凸显了数学教学的文化育人功能·需要指出的是，本文所指的价值性也是相对的，是在新课程改革的背景下，对大量数学问题实践的总结，应该而且必然因时因地有所变化·当然，任何有价值的数学问题的设计都不是一蹴而就的，要配合一定的实施方式进行实践检验，需要设计者不断进行反思、修正、总结和发展·此外，在设计单个数学问题时不能苛求面面俱到，要具体问题具体分析，避免陷入形式主义·只有数学教育者头脑中保持对数学问题价值的判断意识，不断提高设计问题的质量，才能最大化促进高效的数学教学·

1·张晓英，张润芝，杨开城·论教学设计理论发展的新领域——问题设计［J］·中国电化教育，2008（11）·

2·孙旭花，陈嘉豪，梁永贤，等·“一题多解”之再升华螺旋变式课程设计理论介绍［J］·数学教育学报，2008（6）·

3·胡典顺，汪钰雯，纪静萍，等·作为教育任务的数学解题［J］·数学通讯，2013（11）·

4·戴再平·数学习题理论［M］·上海：上海教育出版社，1997.

5·中华人民共和国教育部制定·义务教育数学课程标准（2011年版）［M］·北京：北京师范大学出版社，2012·

中央高校基本科研业务费专项资金资助——数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（CCNU13F021）；湖北省教学研究项目——数学师范生拔尖创新人才培养的理论与实践（2013090）；华中师范大学研究生教学改革研究项目——免费师范生攻读教育硕士培养模式的改革研究与实践（2013JG18）；华中师范大学教师教育学院研究专项资助（2012JS07）；湖北省教育科学“十二五”规划2013年度立项课题——数学问题提出与数学教育改革：跨国比较研究（2013B015）.