浅谈数学教学中题根式教学法

☉江苏省海安县曲塘中学申月

浅谈数学教学中题根式教学法

☉江苏省海安县曲塘中学申月

关于数学教学高效性和有效性的实施是一个永恒的讨论主题，在传统教学中的变式教学是发挥教学高效性的典型教学模式·在新课程实施过程中，变式教学显得有些力不从心，究其原因主要是变式教学是一种以问题形态为主的题型变化教学，随着新颖题型的不断出现，变式教学对于题型的归纳就显得越来越臃肿，教学效率相对较低，无法从本质上让学生认识数学相关的核心知识·陕西师大罗增儒教授在谈起新课程下的解题教学时，用“题根式教学”来描述当下的解题教学的高效：我认为变式教学稍显过时，因为变式的数据库显得相当庞大，而有限的中学教学课时是难以实现的，既要适应新课程又要能取得应试解题的成绩，以题根式教学为主流的新型教学方式渐渐开展起来，它的好处是以数学最本质最核心的知识去取得一系列问题的思维引导，其用处相对于传统的变式教学而言来得更为广泛些·

笔者认为上述话语中，罗教授将新课程课时稍显紧张和如何继续保持应试成绩做出了一个比较适合当下的平衡点，而且用题根式教学替代变式教学，主要在教学中面向数学核心知识的教学，并且以寻找问题最本质反映的数学知识，即题根为首要解决方向，对知识进行合理的发散学习和整合学习，使其成为数学复习教学或解题教学的一种高效、有效方式·

一、题根式教学的设计

题根式教学是一种浓缩式的教学，它势必要求教师在教学过程中以比较合理的设计和精心的准备，将所选问题以某种反馈机制进行展示，考虑到现行教辅资料往往达不到这种教学要求，因此需要教师对问题进行改编或原创，达到符合教学目的的要求·题根来源何处？笔者认为：题根就是来源于教材中的最基本的数学例题或数学公式、定理等·来看一个笔者自身编译的案例·

案例1（苏教版必修5第三章第二节习题）解关于x的不等式：2x2-3x-2＞0·

设计意图：通过这个题根，来探究三个“二次”的关系·

思考一：改变二次项系数的符号·我们把二次项系数的符号变为负号·

设计1：解关于x的不等式：-2x2-3x-2＞0·

设计意图：在解这个不等式时，先把二次项系数转化为正数，特别注意要改变不等式的方向，解出不等式的解集·

思考二：可以通过引入参数，变为含参数的二次不等式·

（2）当Δ=0，即a=±4时，若a=4，不等式的解集为｛x|x≠1｝，若a=-4，不等式的解集为｛x|x≠-1｝·

（3）当Δ＜0，即-4＜a＜4时，对应的二次函数图像都在x轴上方，所有的x都成立，所以解集为R·

设计意图：本题中一次项系数含参数，这时就要讨论Δ·首先计算Δ=a2-16·通过对Δ的讨论来解决问题·

第二种情况，当a=0时，不等式化简为2x-2＞0，所以不等式的解集为｛x|x＞1｝·

设计意图：这时二次项系数含参数·首先可以分解因式得到，（ax+2）（x-1）＞0·当二次项系数含参数时，要对参数进行分类讨论·

总结：通过设计2和设计3，我们知道，解含参数的二次不等式的分类讨论，分类的层次是分三层：

第一个层次是根据二次项系数的符号来分类，分a＞0，a=0，a＜0·

第二个层次是根据Δ来讨论，分Δ＞0，Δ=0，Δ＜0·

第三个层次是根据根的大小来分类，分x1=x2，x1＞x2，x1＜x2·

思考三：逆向思维，给出不等式的解集，求参数的范围·

设计4：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集为

设计5：已知不等式ax2-（a-2）x-2＞0的解集为不等式2x2-（a+1）x-a＞0的解集·

通过设计4解出a=2代入不等式可以解出该不等式·

设计6：已知不等式ax2-ax-2＜0的解集为R，求a的取值范围·

设计意图：解决这个问题的时候需要注意，这个不等式的二次项系数含参数，我们要继续对参数进行分类讨论，当a=0时，-2＜0恒成立，这个一定不能忘·当a≠0，这个不等式就是二次不等式，这时对应的函数为二次函数，图像都在x轴下方，需要a＜0，Δ＜0·以上我们通过这个二次不等式的题根入手，来解决三个“二次”之间的关系，通过这样的题根教学设计对三个二次问题进行了高效的挖掘和提升，值得注意的是本案例中设计5、设计6都是为适应题根而进行的创编，从另一个方面也提高了教师自身专业化的编题能力，一举两得·

二、题根式教学的创编

题根式教学需要在教材原型中找到合适的典型问题，但是与典型问题相关的试题有时显得相对匮乏，此时笔者认为需要在教师认知角度的精准前提下，对问题进行符合学情特点的创编，这种创编是既符合考情又符合学情，是有效和高效的·通过对近三年高考试题的统计发现，二次函数内容主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的综合应用·重点考查数形结合、等价转化及分类讨论思想在解题中的应用·尤其是新课程改革后，函数中以二次函数的图像为载体，利用数形结合的思想，解决二次函数的单调区间、二次函数在给定区间上的最值，以及与此有关的参数范围的问题成为重点和热点·学生对分类讨论思想的掌握一直是比较薄弱的·通过对题根的讲解和分析，使学生对二次函数在给定区间上的最值问题的解题思路、解题过程有所了解，并结合课堂练习加以巩固，在课后能够做一些更为深入的探究·

分析：引导学生发现解决此问题的关键是考虑定义域所在的区间与对称轴的关系，结合函数图像，就可以发现分（1）a＜b＜1；（2）a＜1＜b；（3）1＜a＜b三种情况讨论·

对题根的归纳总结：解决此题的关键在于要注意二次函数的对称轴所在的位置对函数最值的影响·解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y= a（x-m）2+n（a≠0）的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x= m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动·此例即为对称轴固定，区间变动的一个典型例题·

设计说明：这两题依然是对a，b分a＜b＜1、a＜1＜b、1＜a＜b三种情况讨论·而且在创编1的解题过程中发现，这样的a，b是不存在的·在创编2的解题过程中，当a=-2，b= 0时是符合条件的·

使得（fx）的定义域、值域分别是［a，b］和［ka，kb］（k＞0），求出k的范围（·此题的解题过程比较复杂，留给学生作为课后探究）

三、关于题根式教学的一些思考

近几年的数学高考，以能力立意命题，都强调宽角度、多视点地考查数学素质，考查数学思维能力的发展·如何引导学生在高三数学复习的过程中抓住根本，合理利用时间，提高学习效率，除了我们平时一直谈论的不可忽视课本，不可忽视“双基”，不可忽视数学思想方法的渗透总结，不可忽视《考试大纲》，不可忽视对学生养成规范、准确、快速的解题习惯等，更应充分利用习题这一载体，培养学生的思维能力进而提高他们分析、解决问题的能力·“题根式教学法”的探索正是为了适应这样的教学发展需求应运而生的·然而“题根+生本”核心理念对教师和学生在教学观念和数学素养上都提出了一个挑战，如何让教师放得下、让学生放得开？

1·转变观念，提升素养

题根式教学法希望打造的是“先根后枝，以学定教，少教多试，师生互动”的课堂，让学生从被动的听众变成课堂活动的主角，做到“题根分析学生清、题根生长学生明、树状网络学生织、问题探讨师生议”，那么教师首先要转变观念，走下神坛，倾听学生，调整好角色，做好领路人，本课例1中，教师的设计使教师在与学生的交流互动中建立了信任，呈现了一个活泼的生本课堂·其次，在题根学案的教学设计上要明确：学案的作用是提纲挈领，指明教学线索，推进学生的思考，体现思维发展的过程性，这点，案例1“三个二次”做得很好，重梯度、重关联、重过程，因此教学预期基本在课堂上都圆满完成了·再次，教师更需提升自身的数学素养，积累教学智慧，善于捕捉不时出现的“阴错阳差、节外生枝、灵光一闪”的“意外风景”·这些动态生成的资源虽不在我们预设的视线之内，却是学生智慧的火花，是一笔宝贵的财富，需要我们用自己的一双慧眼去给予更多关注，学生得到了更多的理解，才更愿意跟随教师，更愿意亲近数学·

2·一根多题，凸显本质

一节课紧紧围绕一个题根展开教学，围绕一个题根引领思维，通过“提出简单问题—提炼典型方法—解决一类问题”的一条主线使得教学过程自然流畅，思路分析深入浅出，而且教师引导学生认识方法内涵的时机把握得适时，有归纳的基础，同时又有拓展的空间，激发学生探究的热情，而提炼和浓缩方法的精髓又是对方法本质的有效诠释，从自发运用到自觉理解·如果费老师再对此种方法取个名称，笔者相信学生的印象会更加深刻，教学效果会更加明显·本节课让我们深深体会到数学变式教学的价值，它是培养学生良好的思维品质，是课堂教学高效、有效的典型方式·正如华罗庚教授的名言：“数学是一个原则，无数内容；一个方法，到处有用”，在教学阶段，坚持引领学生有意识地去归纳方法，通过“刨根”，归纳出一类问题一种方法，一题多根，将问题链与思维链巧妙结合，逐步引导学生建构对方法的认识，对方法的体验，循序渐进地理解方法的本质，从而实现量变到质变的升华，“鱼渔”兼得！

1·杨玉东，范文贵·高中数学新课程理念与实施［M］·海口：海南出版社，2009·

2·柴贤亭·数学教学中的问题设计［J］·教学与管理，2013（10）·

3·黄文·浅谈中学数学课堂教学的适度形式化［J］·中小学数学，2012（5）·F