微积分知识在经济中的应用

2015-01-22 11:33章腊萍
产业与科技论坛 2015年14期
关键词:现值总收入微积分

□ 章腊萍

微积分在经济中有很多的应用,如一元函数微分学在边际分析中的应用,一元函数积分学在求原经济函数中的应用,求最优化问题等,这些都是众所周知的应用,除此之外,本文给出了其他微积分知识在经济中的应用,如极限、偏导数、微分方程在经济中的应用。

一、极限在经济中的应用

利息是指借款者向贷款者支付的报酬,它是根据本金的数额按一定比例计算出来的,利息又有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等几种主要形式。复利计算公式 Am=A(1+r)m,其中A表示刚开始的本金,r表示每一期的利率,m表示复利的总期数,Am表示m年后的余额。如果年利率为r的利息一年支付一次,那么当初始存款为A元时,t年后余额则为At=A(1+r)2。如果年利率为r的利息一年支付n次,那么当初始存款为A元时,t年后余额At则为At=A(1当 n→∞,这称为连续复利。

例1设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定t=0)就售出,总收入为Ro元,如果窖藏起来,待来日按陈酒价格出售,t年末总收入为假定银行的年利率为r,并以连续复利计算,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大,并求r=0.06时的t值。

解:根据连续复利公式,这批酒在窖藏t年末售出总收入为A(t)=Re-n的现值为A(t)=Re-rt,而,故 A(t),得驻点,则有,于是是极大值点即最大值点,故窖藏年售出,总收入的现值最大,当r=0.06时年。

二、偏导数在经济中的应用

与一元经济函数的导数类似,多元经济函数的偏导数也有其经济意义,下面以需求函数为例来说明。

设某产品的需求量为Q=Q(P,y),其中P为该产品的价格,y为消费者收入。△PQ=Q(P+ △P,y)-(P,y),△yQ=Q(P,△y)-(P,y表示当价格为P,消费者收入为y时,Q对于P的变化率表示当价格为P,消费者收入为y时,Q对于y的变化率,称为需求Q对价格P的偏弹性,称为需求Q对收入y的偏弹性。

例2厂家生产的一种产品同时在两个市场销售,售价分别p1和p2,销售量分别为 q1和q2,需求函数分别为 q1=24-0.2p1和 q2=10-0.05p2,总成本函数为 C=35+40(q1+q2),试问:厂家如何确定两个市场的售价,能使其获得的总利润最大?最大总利润为多少?

解:总收入函数为 R=p1q1p+p2q2=24p1-0.2p21-0.05p22,总利润函数为 L=R-C=32p1-0.2p1-0.05p22-1395+12p2,由极值的必要条件,得方程组:

解此方程组得P1=80,P2=120。

由问题的实际含义可知,当P1=80,P2=120时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为LP1-80 P1-120=605。

三、微分方程在经济中的应用

含有未知数的导数(或者微分)的方程,称为微分方程。一般写成 F(x,y,y',A,y(n))=0 或 y(n)=f(x,y,y',A,y(n-1))。微分方程的解:若将函数代入微分方程,使方程成为恒等式,则该函数称为微分方程的解,即设y=y(x)在区间I上连续且有直到 n 阶的导数,使 F(x,y(x),y'(x)A ,y(n)(x))=0则称y=y(x)为该微分方程在区间I上的一个解。

变量可分离方程的解:能写成y'=f(x)g(y)形式的方程称为变量可分离型方程,其解法为:

例3已知某商品的需求量x对价格p的弹性η=-3p3而市场对该商品的最大需求量为1(万件),求需求函数。

例4已知某商品的需求量D和供给量S都是价格p的函数:D=D(p)=,S=S(p)=bp,其中 ɑ>0,b> 0 为常数;价格p是时间t的函数且满足方程:=k[D(p)-S(p)](k为正的常数),假设当t=0时价格为1,试求:

(1)需求量等于供给量时的均衡价格pe;(2)价格函数p(t);(3(t)。

[1]吴赣昌.微积分(经管类)[M].北京:中国人民大学出版社,2014,第4 版

[2]李永乐,李正元.数学复习全书[M].北京:国家行政学院出版社,2013

[3]张宇,杨超.高等数学18讲[M].北京:北京理工大学出版社,2013

猜你喜欢
现值总收入微积分
集合与微积分基础训练
集合与微积分强化训练
追根溯源 突出本质——聚焦微积分创新题
净现值的现实意义与理论不足
碧桂园:2019年总收入4859.1亿 同比增长28.2%
旅游业:半年总收入2.25万亿元
旅游业:半年总收入2.25万亿元
谁有“洪荒之力”里约奥运会收入最高的参赛选手
“公告牌”歌手收入排名
TED演讲:如何学习微积分(续)