基于价格与销量非线性关系的季节性商品促销定价模型

□ 张雅云 王丽霞

一、引言

季节性商品是指在销售上具有显著季节性特点的商品，例如手套、凉鞋等。该类商品在不同季节的社会需求相差较大，且在较长时间内呈周期性波动。该类产品具有以下几点特征:具有不可储存性，不能依据存货进行供求调节，商品定价行为受需求影响波动。因此，当商品未能在销售旺季全部卖出时，销售商需要依据其商品周期衰退的特点以及市场需求的规律性波动，通过制定合理的季节性商品促销价格，达到增加销售量、减少库存的目的，进而使利润损失降至最低。

季节性商品的促销定价往往受多方面条件的制约影响，当影响条件不同时，得到的结果往往也不相同。王宏达研究了价格与销量在线性关系下的季节性商品促销定价的模型和算法［1］;王丰效通过算法分析的叠加，构建了季节性商品销售量的预测模型［2］;秦进既考虑采购量，同时考虑动态定价，构建了包括网络订购的季节性商品定价模型［3］;谭晓峰将基于企业的成本的加成定价法与基于需求方的需求导向定价法相结合，提出利润最大化条件下的商品定价模型［4］;戴锋通过对偏态分布与偏态过程的概念及其数学表达式的提出，给出了商品的定价模型，并设计了价格安全指数评估体系［5］;Bassok Y提出了存在需求替代时多产品的库存问题［6］;Hariga M提出了需求与时间相关的易耗品的最优库存策略［7］。然而大部分研究并未考虑到价格与销量的非线性关系以及库存费用与库存量之间的关系，可能导致结果并不精确。

二、问题描述

(一)问题假设。为了定量化研究季节性商品普遍意义的销售定价，现作出以下几点假设:一是一年中的年利率不变，并且一年时间按52个星期计算。二是商品价格由商家每周调整一次，其余时间价格不变。三是销售商品的固定成本在打折前后相同，并且在打折以后，商家不再订购此商品。四是打折后商品存储一周需要的费用与该商品当期存储量有关，且成反比。

(二)符号表示。为了建立数学模型的需要，给出如下相关的符号表示:Q0——商家需要处理的货物量;P0——在销售旺季时商品的价格;L——打折前Q0件商品的销售收入与打折后Q0件商品的销售收入差，即总的损失量;r——打折前的银行年利率;xt——在时间段内商品的折扣率;ɑ，b，c，d，e——模型中的待定系数，均为常数;ht——打折后商品存储至t周需要的费用;S——为了销售处理商品，而失去销售其他商品的机会所带来的一件商品的损失。

(三)折扣商品的利润分析。已知商品的销量与价格呈非线性相关关系，其表达式为P=a+，其中b为常数，且b＞0。可以看出商品的销量与价格成反比关系。而打折促销是一种降低商品价格进而增大销量的营销手段，当商品降低价格时，销售量会得到相应的增长。设当利润损失最小时，商品的销量为Q，价格为P。季节性商品是一种需求弹性高的商品，当商品价格下降时，会刺激一部分潜在的消费者，使需求达到进一步的扩大。所以，打折促销增加的销量还应包括着一部分潜在消费者带来的增量，设这部分的增量是△Q。设降价后的价格为P'，则除了因为销量与价格非线性关系导致的销量Q'，还应加上△Q。进一步研究分析可发现，当打折促销时，商品销量的增加使得销量与价格关系发生变化，利润损失最小时，价格P'比P低，且利润损失比价格为P时要小。这一现象可以说明，商家可以通过打折促销的手段来降低利润损失。

三、模型建立及求解

通过利润分析，可以看出ΔQ表示降价吸引的潜在的顾客，它和折扣率的大小有关，且成正比，设函数关系式为:△Q=d(P0－P0x)。

当商品降价到第t周时，增加的销量是:△Qt－△Qt－1=dt(P0－ P0Xt)－dt(P0－P0Xt－1)=dtP0xt－1－dtP0Xt。

四、结语

本文通过对季节性商品销售特点和库存等因素的分析，在销量与价格的非线性关系的基础上，构建了最小化利润损失的模型。该模型具有简便精确的优点，可以对销售商定价促销季节性商品起到参考借鉴的作用。

［1］王宏达，郝以阁，汪定伟．季节性商品的促销定价模型与算法［J］．东北大学学报(自然科学版)，2007，1(1):23 ～25

［2］王丰效，郭天印．季节性商品销售量预测模型［J］．陕西工学院学报，2003，6(2):84 ～87

［3］秦进，倪玲霖，缪立新．考虑采购数量的季节性商品动态定价问题［J］．系统工程理论与实践，2011，7(7):1257 ～1263

［4］谭晓峰．利润最大化条件下的商品定价［J］．时代经贸，2007，10(82):205 ～206

［5］戴锋，姬广坡．一种新型商品定价模型与价格安全指数评估体系［J］．中国管理科学，2001，2(1):62 ～69

［6］Bassok Y，Anupindi R，Akella R．Single－period Mult product Inventory Models with Substitution［J］．Operations Research ，1999，47(4):632～642

［7］Hariga M．Optimal Inventory Policies for Perishable Items with time － dependent Demand［J］．Intermational Journal Production Economics，1997，50(1):35～41