基于lyapunov指数的股票市场混沌性研究

周扬

摘要： 金融市场本身是一个“复杂系统”，它以一种非线性的方式对外界的作用做出反应。因而，金融市场会随着时间的变化改变自身的发展规律。随着外部环境的作用，金融市场会从一个稳定而有序的模式逐渐的陷入混沌之中，然后通过内部的相互作用达到平衡或者是产生金融危机。本文通过分析上证指数数据利用lyapunov指数来判断股票市场中是否存在混沌性，进而判断金融市场中是否存在混沌现象。对能否对股票市场进行预测提供理论依据。

关键词： 混沌；lyapunov指数；重构相空间；wolf方法

一、引言

金融市场本质上是一个开放型的复杂系统，而金融危机是金融市场混沌特征的一种表现，其爆发根本原因在于以有效市场、随机游走与理性投资等线性范式假设为前提的，并且认为金融市场所呈现出来的特征是各个部分特征的简单相加；另一方面，这些方法采用的是静态均衡的观点去解决金融市场问题，因而当市场的外部环境发生变化时，先前制定的解决方法极有可能成为解决问题的阻碍[1]。因此，经典金融学理论在认识金融市场的本质规律、提供有效的风险控制方法的思路存在许多局限性。

因此，要想从根本上解决这个问题，我们要首先认识到金融市场本身作为一个“复杂系统”，它具有一种演化特征的非线性的方式对外界的作用做出反应。因而，金融市场会随着时间的演化而改变自身的发展规律。随着外部环境的不断变化，金融市场将会从一个稳定而有序的模式逐渐的陷入混沌之中，然后通过内部的相互作用达到平衡或者是产生金融危机。

因此，单刀直入的直接研究金融市场的非线性特征往往会为解决根本问题提供思路。因此，这篇论文的主要目的就在于，通过研究金融市场的一个指标——上证指数，利用lyapunov指数来判断金融市场本身是否具有混沌的特性。如果其具有这样的一种特性，那么我们必须从这方面着手，研究金融市场的混沌特征。从而找到金融市场的内部规律。

（一）研究方法

要想研究金融市场的混沌特性，我们以股票市场为例，选取了上证指数作为研究混沌现象的指标，利用lyapunov指数来判断指标是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌时间序列分析的主要研究方法：重构相空间的方法，这种方法能够重构高维相空间中的混沌吸引子，构造完成之后，我们就可以恢复时间序列数据的非线性特征。重构相空间需要知道时间序列数据的嵌入维数与延迟时间，我们分别利用了自相关函数法计算出序列的延迟时间以及利用Cao方法计算出时间序列的嵌入维数。利用构造好之后的相空间，我们就可以求得时间序列的lyapunov指数，根据lyapunov指数的大小判断上证指数的波动性是否具有混沌的特征。

二、理论依据

（一）重构相空间

为了恢复“混沌吸引子”，我们需要做的第一件是是“重构相空间”。所谓“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系统具有某种规律性，它既不向一点靠近，也不远离这一点，而是在一定的轨道内变化。该混沌系统的一部分的演化过程与其他部分有着密切的联系。每一部分的信息都包含在另一部分的发展之中。这样，我们就可以从某一部分的时间序列数据中得到并模拟该混沌系统的规律。可以这样说，一个混沌系统的轨道经过一定时间的变动，最终会产生一种有规则的轨道，这也就是“混沌吸引子”。但是这种轨道在转化成时间序列时表现出一种复杂并且混乱的特征。因为混沌系统的各个部分之间是相互影响的，在时间序列上产生的数据也具有相关性的特征。[2] 我们利用Packad等人的坐标延迟相空间重构法，对于一维时间序列[WTBX]

{x（t）}，t=1，2，…，N可以构造m维的向量

Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，

n=1，2，…，N-m-1）τ

其中：m为嵌入维数，τ为延迟时间。相空间重构的关键在于嵌入维数与延迟时间的确定。Takens定理[3]表明：我们可以从一个一维混沌时间序列中模拟一个与原来的动力系统在拓扑意义下相同的相空间，这样就可以模拟时间序列的规律。混沌时间序列的性质各方面的分析都是基于相空间重构之上的，因此，相空间重构是混沌时间序列研究的关键。[4]下面我们将讨论延迟时间与嵌入维数的确定方法 。

1延迟时间τ

延迟时间的选择关键在于使x（n）与x（n+τ）表现出独立性，但又不能使其在统计学角度上完全不相关。确定延迟时间的方法主要有：自相关函数法与互信息法。下面我们主要阐述的是自相关函数法，因为我们后面也会用到这种方法。

自相关函数法[5]主要考察观测量x（n）与x（n+τ）与平均观测量的差之间的线性相关性。其定义用数学方法表示为：

C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]

1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2

[SX）]

其中，x[TX-][SX（]1[]N[SX）]∑Nn=1x（n），一般取自相关函数值C（τ）第一次下降到零时的延迟时间作为相空间重构的最佳延迟时间。

2嵌入维数m[WTBZ]