一无所有并非一无所用

2015-01-13 08:51龚兵
读与写·下旬刊 2014年12期
关键词:空集子集分类号

龚兵

中图分类号:G633.6文献标识码:B文章编号:1672-1578(2014)24-0236-01

在集合的大家庭里,有一个重要的成员——空集。空集的定义是不含任何元素的集合。空集没有任何元素,而且又被称为空集,可以说是一无所有,那一无所有的空集是不是一无所用呢?当然不。

空集虽然没有内部的元素,但他却有集合的外衣。就像是一个装元素的袋子,袋子里虽是空的,而袋子是存在的。空集其实并不像白纸那样明了,忽略了这个一个所有的袋子那你很可能就已经掉进它的陷阱之中了。空集不含任何元素,却将它归为有限集的行列当中。 空集是任意集合的子集,按子集的定义是:每个属于的元素都在集合A中,虽然中没有元素,因而这条性质显得没有意义。但从另一个角度来说,中没有一个元素不在集合A中,所以也可以说空集是任何集合的子集了。这条性质的应用十分广泛,在做任何关于集合的题目时,都要谨防空集的出现。

例如下面这个题:

若集合A={x|x2-2x-15=0},B={x|ax-3=0},且A∩B=B,求实数a组成的集合C。

错解:由A={x|x2-2x-15=0},

解得A={-3,5}.

因为A∩B=B,所以B包含于A,

从而B={-3}或B={5}。

当B={-3}时,

由a×(-3)-3=0,解的a=-1;

当B={5}时,

由a×5-3=0,解的a=3/5.

故由实数a组成的集合 C={-1,5}.

剖析:因为任何集合都有A∩ ==,所以错解又忽视了B=时的情况。

正解:由A={x|x2-2x-15=0},

解得A={-3,5}.

当a=0时,ax-3=0无实数根,B=,满足题意

当a10时,

因为A∩B=B,所以B包含于A,

从而B={-3}或B={5}。

当B={-3}时,

由a×(-3)-3=0,解的a=-1;

当B={5}时,

由a×5-3=0,解的a=3/5.

所以,实数a组成的集合C={-1,0,3/5}。

这个题中空集的存在常常被忘掉,因此要小心空集设下的陷阱。

综上所述,空集并不像其名字那样空空如也,反而,它的内容丰富多彩。这些内容只有真正与空集接触时,感受才最真切。

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