龚兵
中图分类号:G633.6文献标识码:B文章编号:1672-1578(2014)24-0236-01
在集合的大家庭里,有一个重要的成员——空集。空集的定义是不含任何元素的集合。空集没有任何元素,而且又被称为空集,可以说是一无所有,那一无所有的空集是不是一无所用呢?当然不。
空集虽然没有内部的元素,但他却有集合的外衣。就像是一个装元素的袋子,袋子里虽是空的,而袋子是存在的。空集其实并不像白纸那样明了,忽略了这个一个所有的袋子那你很可能就已经掉进它的陷阱之中了。空集不含任何元素,却将它归为有限集的行列当中。 空集是任意集合的子集,按子集的定义是:每个属于的元素都在集合A中,虽然中没有元素,因而这条性质显得没有意义。但从另一个角度来说,中没有一个元素不在集合A中,所以也可以说空集是任何集合的子集了。这条性质的应用十分广泛,在做任何关于集合的题目时,都要谨防空集的出现。
例如下面这个题:
若集合A={x|x2-2x-15=0},B={x|ax-3=0},且A∩B=B,求实数a组成的集合C。
错解:由A={x|x2-2x-15=0},
解得A={-3,5}.
因为A∩B=B,所以B包含于A,
从而B={-3}或B={5}。
当B={-3}时,
由a×(-3)-3=0,解的a=-1;
当B={5}时,
由a×5-3=0,解的a=3/5.
故由实数a组成的集合 C={-1,5}.
剖析:因为任何集合都有A∩ ==,所以错解又忽视了B=时的情况。
正解:由A={x|x2-2x-15=0},
解得A={-3,5}.
当a=0时,ax-3=0无实数根,B=,满足题意
当a10时,
因为A∩B=B,所以B包含于A,
从而B={-3}或B={5}。
当B={-3}时,
由a×(-3)-3=0,解的a=-1;
当B={5}时,
由a×5-3=0,解的a=3/5.
所以,实数a组成的集合C={-1,0,3/5}。
这个题中空集的存在常常被忘掉,因此要小心空集设下的陷阱。
综上所述,空集并不像其名字那样空空如也,反而,它的内容丰富多彩。这些内容只有真正与空集接触时,感受才最真切。