反对称矩阵特征值的性质及其相关解题应用

马永秀

1 反对称矩阵特征值的性质

性质14 实反对称矩阵的特征值为纯虚数或零.

证明：法一：设A是实反对称矩阵，不妨设λ=a+bi为A的特征值，ξ=?+βi 为相应的特征向量.即Aξ=λξ，取共轭转置：ξTAT=λξT，从而有：ξTATξ=λξTξ，又有：ξTAξ=λξTξ，从而：ξTATξ=-ξTAξ=-λξTξ=λξTξ，故：-λ=λ，进而λ=0或λ为纯虚数，故A的特征值为0或纯虚数.

法二：设A是实反对称矩阵，Aα=λα，α为特征向量，则Aα=λα?αTAT=λαT?αTATα=λαTα，即：，得：λ+λ=0，Re λ=0，所以，λ为纯虚数或零。

性质15：设λ是反对称矩阵A的特征值，则-λ也是A的特征值.

证明：设λ是反对称矩阵A的特征值，则|λE-A|=0.又AT=-A，从而|-λE-A|=|-λE+AT|=|（-λE+A）T|=|-λE+A|=（-1）n|λE-A|=0，所以-λ也是A的特征值.

性质16：若实矩阵A为反对称矩阵，则E±A可逆.

证明：因A是反对称矩阵，直接由性质13可知±1是A的特征值，所以|E±A|≠0，即有E±A可逆.

2 特征值性质的相关解题应用

例6：设A是n阶实反对称矩阵，B是n阶可逆实对称矩阵，且AB=BA，则A+B是可逆矩阵.

分析：要求A+B可逆，就需求证|A+B|≠0，又A+B=B（E+ B-1A），则只需求证|E+ B-1A|≠0，即-1不是B-1A的特征值，由反对称矩阵特征值相关性质即可求证.

证明：由AB=BA及B可逆知：A B-1= B-1A，又A是反对称，B是对称，故（AB-1）T=（ B-1）TA-1=-B-1A=-AB-1，所以AB-1=B-1A是实反对称矩阵，从而知B-1A的特征值是0或纯虚数，当然-1不是B-1A的特征值，故|E+B-1A|≠0.于是|A+B|=|B+A|=|B（E+B-1A）|=|B||E+B -1A|≠0，因此A+B是可逆矩阵.

3 反对称矩阵在欧式空间线性变换上的相关解题应用

3.1用反对称矩阵研究线性变换

例7：欧式空间V中的线性变换A：V→V称为反对称变换，若?α，β∈V，（Aα，β）=-（α，Aβ）.证明：A反对称当且仅当A在一组标准正交基的矩阵是反对称矩阵.

证明：充分性：设A=（aij）n×n是线性变换A在标准正交基ε1，ε2，…，εn 下的矩阵，且A反对称，即AT=-A，任给α，β∈V，记α=（ε1，ε2，…，εn）X，β=（ ε1，ε2，…，εn）Y，则有Aα=（ε1，ε2，…，εn）AX， Aβ=（ ε1，ε2，…，εn）AY，那么（Aα，β）=（AX）TY=XTATY=-（α，Aβ），所以A为反对称变换.

必要性：设是A反对称变换，且A（ε1，ε2，…，εn）=（ε1，ε2，…，εn）A，其中矩阵A=（aij）n×n，ε1，ε2，…，εn为V的标准正交基，那么，

，.

因此（Aεi，εj）=aij，（εi，Aεj）=aij，所以aij=（εi，Aεj）=-（Aεi，εj）=-aij.即知A为反对称矩阵.

小结 有本例题可知，若求证一线性变换是反对称变换，只需要求出其在（1，0，…，0），（0，1，0，…，0），…，（0，…，0，1）下的矩阵是反对称矩阵即可.

3.2用反对称矩阵研究反对称双线性函数

（设f （α，β）为线性空间V上的一个双线性函数，且满足f （α，β）= -f （β，α）， α，β∈V，则称f （α，β）为V上的一个反对称双线性函数.）

例8：设ε1，ε2，…，εn是线性空间V的任意一组基， V上的双线性函数f （α，β）是反对称的，当且仅当f在基ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵A是反对称矩阵.

证明：设ε1，ε2，…，εn为V的一组基，若双线性函数f （α，β）是反对称的，则f （εi，εj）=-f（εj，εi），所以它的度量矩阵A是反对称的.反之，若双线性函数f（α，β）在基ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵A是反对称的，那么对V中任意向量α= （ε1，ε2，…，εn）X和β= （ε1，ε2，…，εn）Y， 都有f （α，β）=XTAY=YTATX=YT（-A）X= -YTAX=-f （β，α），所以f （α，β）是反對称的.

例9：设V是数域P上n维线性空间， M是V上全体反对称双线性函数构成的集合， f，g∈M，定义f+g，使对 α，β∈V有（f+g）（α，β） =f （α，β） +g （α，β），f+g称为f与g的和， K∈P，定义Kf，使对 α，β∈V，有（Kf）（α，β）=Kf（α，β）， Kf称为K与f的数量乘积，简称数乘，则M对于如上定义的两种运算构成数域P上的线性空间，且dimM=.

证明：按线性空间的定义，易证M对于如上定义的两种运算构成数域P上的线性空间.

设数域P上的全体n阶反对称矩阵构成的集合为K，则显然K为数域P上的线性空间，且dimK=.

在线性空间V中取定一组基ε1，ε2，…，εn后， f，g∈M，设f，g在这组基下的度量矩阵分别为A，B，则由例7， A，B为反对称矩阵， α，β∈V，α，β在这组基下的坐标为X= （x1，x2，…，xn）T， Y= （y1，y2，…，yn）T，则f （α，β） =XTAY， g （α，β）=XTBY，且A，B由f，g唯一确定，当f≠g时，有Af≠B，反之，对A∈K，令f （α，β）=XTAY，则f在这组基下的度量矩阵为A，所以在M与K之间存在双射σ，使σ（f）= A，σ（g）=B，且满足σ（f+g）= A+BA，σ（Kf）=kA，所以σ是M到K的同构映射，从而dimM=dimK=.

本文从基础理论和实际应用方面讨论了反对称矩阵的基本性质，给出反对称矩阵有关秩及特征值方面的性质，并引入了解题的相关应用，对此我们要仔细琢磨和思考，努力掌握好反对称矩阵的相关问题。