黄文生
解题教学是高中数学教学的中心工作,只有学生的解题效率提高了,学生的解题能力才能得到有效的提升,教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验,就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.
一、拓展学生的思维
1.求过两直线交点的直线方程
(1)归纳梳理
①求过两条直线的交点的直线方程时,一般是先通过解方程组,得到交点坐标,再结合其他条件,求出直线方程.
②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时,可利用直线系方程得到.
(2)典例精析
【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.
4.运用解析法证明平面几何问题
(1)归纳梳理
用解析法解决平面几何问题时,关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个:①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条直线,那么要考虑将其建为坐标轴;如果图形具有中心对称性,那么可以考虑将图形中心建为原点;如果具有轴对称性,那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.
(2)典例精析
【例2】 如图1所示,已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,求证AM=12BC.
证明:以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.
二、注重学生能力迁移
“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移(一种学习对另一种学习的促进作用)和负迁移(一种学习对另一种学习的干扰作用)两种类型,我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中,解决新问题时所体现出的一种素质和能力,包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换,有利于学生认识事件的本质和规律,提高解决问题的灵活性和有效性.
【例3】 求过两直线l1:x=-2与l2:2x+y+3=0的交点P,且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.
分析:先根据题意求出交点坐标,再进行分类讨论;也可以利用直线系方程求解.
解法一:
由方程组x=-22x+y+3=0,解得x=-2y=1,
所以交点P的坐标为(-2,1).
根据题意知,当截距不等于0时,设所求直线l的方程为xa+yb=1,
根据题意可得
a=b-2a+1b=1,解得a=-1b=-1.
所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1,即x+y+1=0.
当截距均为0时,设所求直线l的方程为y=kx(k≠0),
把P(-2,1)代入y=kx,解得k=-12.
所以所求直线l的方程为y=-12x,即x+2y=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.
解法二:
设所求直线的方程为x+2+λ(2x+y+3)=0(λ≠0),
整理得(2λ+1)x+λy+3λ+2=0.
当3λ+2=0,即λ=-23时,
所求直线l的方程为
-13x-23y=0,即x+2y=0符合题意.
当3λ+2≠0,即λ≠-23时,
所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ,解得λ=-1,
所以所求直线l的方程为x+y+1=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.
三、加强变式训练
在新课程标准的指引下,数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里,而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后,进一步的深化和熟练,使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征;变换问题中的条件或结论;转换问题的内容和形式;配置实际应用的各种环境,但应保留好对象中的本质因素,从而使学生掌握数学对象的本质属性.
【例4】 已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离是17,求a的值.
变式:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰三角形.
分析:求出三角形的三边长,比较三边长的大小即可.
证明:因为
又因为A,B,C三点不共线,
所以△ABC是等腰三角形.
总之,在高中数学教学中,我们广大数学教师必须认真学习新课标,深入研究新教材,并根据自己学生的特点,注意做好以上几个方面的教学工作,就一定能够实现提高解题教学有效性的目标,从而有效提高学生的数学素养.
(责任编辑 钟伟芳)
解题教学是高中数学教学的中心工作,只有学生的解题效率提高了,学生的解题能力才能得到有效的提升,教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验,就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.
一、拓展学生的思维
1.求过两直线交点的直线方程
(1)归纳梳理
①求过两条直线的交点的直线方程时,一般是先通过解方程组,得到交点坐标,再结合其他条件,求出直线方程.
②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时,可利用直线系方程得到.
(2)典例精析
【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.
4.运用解析法证明平面几何问题
(1)归纳梳理
用解析法解决平面几何问题时,关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个:①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条直线,那么要考虑将其建为坐标轴;如果图形具有中心对称性,那么可以考虑将图形中心建为原点;如果具有轴对称性,那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.
(2)典例精析
【例2】 如图1所示,已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,求证AM=12BC.
证明:以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.
二、注重学生能力迁移
“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移(一种学习对另一种学习的促进作用)和负迁移(一种学习对另一种学习的干扰作用)两种类型,我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中,解决新问题时所体现出的一种素质和能力,包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换,有利于学生认识事件的本质和规律,提高解决问题的灵活性和有效性.
【例3】 求过两直线l1:x=-2与l2:2x+y+3=0的交点P,且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.
分析:先根据题意求出交点坐标,再进行分类讨论;也可以利用直线系方程求解.
解法一:
由方程组x=-22x+y+3=0,解得x=-2y=1,
所以交点P的坐标为(-2,1).
根据题意知,当截距不等于0时,设所求直线l的方程为xa+yb=1,
根据题意可得
a=b-2a+1b=1,解得a=-1b=-1.
所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1,即x+y+1=0.
当截距均为0时,设所求直线l的方程为y=kx(k≠0),
把P(-2,1)代入y=kx,解得k=-12.
所以所求直线l的方程为y=-12x,即x+2y=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.
解法二:
设所求直线的方程为x+2+λ(2x+y+3)=0(λ≠0),
整理得(2λ+1)x+λy+3λ+2=0.
当3λ+2=0,即λ=-23时,
所求直线l的方程为
-13x-23y=0,即x+2y=0符合题意.
当3λ+2≠0,即λ≠-23时,
所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ,解得λ=-1,
所以所求直线l的方程为x+y+1=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.
三、加强变式训练
在新课程标准的指引下,数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里,而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后,进一步的深化和熟练,使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征;变换问题中的条件或结论;转换问题的内容和形式;配置实际应用的各种环境,但应保留好对象中的本质因素,从而使学生掌握数学对象的本质属性.
【例4】 已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离是17,求a的值.
变式:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰三角形.
分析:求出三角形的三边长,比较三边长的大小即可.
证明:因为
又因为A,B,C三点不共线,
所以△ABC是等腰三角形.
总之,在高中数学教学中,我们广大数学教师必须认真学习新课标,深入研究新教材,并根据自己学生的特点,注意做好以上几个方面的教学工作,就一定能够实现提高解题教学有效性的目标,从而有效提高学生的数学素养.
(责任编辑 钟伟芳)
解题教学是高中数学教学的中心工作,只有学生的解题效率提高了,学生的解题能力才能得到有效的提升,教学质量才能真正得到提高.笔者根据多年的教学实践经验,就如何提高高中数学解题教学的有效性谈一些粗浅的看法.
一、拓展学生的思维
1.求过两直线交点的直线方程
(1)归纳梳理
①求过两条直线的交点的直线方程时,一般是先通过解方程组,得到交点坐标,再结合其他条件,求出直线方程.
②求过两条直线的交点且与某直线平行或垂直的直线方程时,可利用直线系方程得到.
(2)典例精析
【例1】 求经过两直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点,且与直线3x+y-1=0平行的直线的方程.
4.运用解析法证明平面几何问题
(1)归纳梳理
用解析法解决平面几何问题时,关键是结合图形的性质、特征建立平面直角坐标系.建立平面直角坐标系的原则有两个:①要尽可能多地将已知点建在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相垂直的两条直线,那么要考虑将其建为坐标轴;如果图形具有中心对称性,那么可以考虑将图形中心建为原点;如果具有轴对称性,那么可以考虑将对称轴建立为坐标轴.
(2)典例精析
【例2】 如图1所示,已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,求证AM=12BC.
证明:以Rt△ABC的直角边AB、AC所在直线为坐标轴,建立如图1所示的平面直角坐标系.
二、注重学生能力迁移
“迁移是指一种学习对另一种学习的影响.”按其效果可以分为正迁移(一种学习对另一种学习的促进作用)和负迁移(一种学习对另一种学习的干扰作用)两种类型,我们所说的迁移一般都是指正迁移.知识迁移能力是将所学知识应用到新的情境中,解决新问题时所体现出的一种素质和能力,包含对新情境的感知和处理能力、旧知识与新情境的链接能力、对新问题的认知和解决能力等层次.形成知识的广泛迁移能力可以实现知识点之间的贯通理解和转换,有利于学生认识事件的本质和规律,提高解决问题的灵活性和有效性.
【例3】 求过两直线l1:x=-2与l2:2x+y+3=0的交点P,且在坐标轴上截距相等的直线l的方程.
分析:先根据题意求出交点坐标,再进行分类讨论;也可以利用直线系方程求解.
解法一:
由方程组x=-22x+y+3=0,解得x=-2y=1,
所以交点P的坐标为(-2,1).
根据题意知,当截距不等于0时,设所求直线l的方程为xa+yb=1,
根据题意可得
a=b-2a+1b=1,解得a=-1b=-1.
所以所求直线l的方程为x-1+y-1=1,即x+y+1=0.
当截距均为0时,设所求直线l的方程为y=kx(k≠0),
把P(-2,1)代入y=kx,解得k=-12.
所以所求直线l的方程为y=-12x,即x+2y=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+y+1=0或x+2y=0.
解法二:
设所求直线的方程为x+2+λ(2x+y+3)=0(λ≠0),
整理得(2λ+1)x+λy+3λ+2=0.
当3λ+2=0,即λ=-23时,
所求直线l的方程为
-13x-23y=0,即x+2y=0符合题意.
当3λ+2≠0,即λ≠-23时,
所求直线l的方程满足3λ+22λ+1=3λ+2λ,解得λ=-1,
所以所求直线l的方程为x+y+1=0.
综上所述,所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.
三、加强变式训练
在新课程标准的指引下,数学教学方法也在不断改进、创新.数学教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里,而是让学生对知识和技能初步理解与掌握后,进一步的深化和熟练,使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三.应用数学“变式教学”的方法是十分有效的手段.所谓“变式”,就是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.即教师可不断更换命题中的非本质特征;变换问题中的条件或结论;转换问题的内容和形式;配置实际应用的各种环境,但应保留好对象中的本质因素,从而使学生掌握数学对象的本质属性.
【例4】 已知点A(a,-5)与B(0,10)间的距离是17,求a的值.
变式:已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),求证:△ABC是等腰三角形.
分析:求出三角形的三边长,比较三边长的大小即可.
证明:因为
又因为A,B,C三点不共线,
所以△ABC是等腰三角形.
总之,在高中数学教学中,我们广大数学教师必须认真学习新课标,深入研究新教材,并根据自己学生的特点,注意做好以上几个方面的教学工作,就一定能够实现提高解题教学有效性的目标,从而有效提高学生的数学素养.
(责任编辑 钟伟芳)