不等式证明的微分法与积分法

程村

【摘要】不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一，掌握证明不等式的常用方法是学习高等数学的基本要求。本文用微分法（单调性，微分中值定理，Taylor公式，极值，凹凸性）与积分法（定积分的几何意义，积分中值定理，变限积分， Schwarz不等式）讨论不等式的证明。

【关键词】不等式 微分 积分 中值定理

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）11 -0221-03

不等式是高等数学中经常遇到而又比较困难的问题之一，掌握证明不等式的常用方法是学习高等数学的基本要求。本文将用微分法与积分法讨论不等式的证明。

1 利用单调性证明不等式

例1 证明

证明 所证不等式等价于

令

注意到

所以，f（x）在（0，1）上单调递增。于是，当0f（0）=0，

即

不等式得证。

2 利用拉格朗日中值定理证明不等式

拉格朗日中值定理为我们证明不等式提供了一种途径，当要证明的不等式可以写成一个函数在两点的函数值之差时，可以考虑用拉格朗日中值定理。

例2 设0

证明 令

对函数f（x）在闭区间a，b上运用拉格朗日中值定理，则至少存在一点，使得

3 利用Taylor公式证明不等式

例3 证明>1+-，x>0.

分析 对不等式的左边可利用Taylor公式（1+x）a=1+ax+x2+…+xn+Rn（x）

其中Rn（x）=（1+ζ）a-n-1xn+1，ζ介于0，x之间。

证明=（1+x）

=1+x+××（-1）x2+××（-1）×（-2）（1+ζ）x3

=1+x-x2+（1+ζ）x3，

其中ζ介于0，x之间。

显然，（1+）x3>0.

所以，>1+-，x>0.

4用求极值的方法证明不等式

例4 若n≥1及x≥0，y≥0，证明不等式≥（）.

证明 先考虑z=在条件x+y=a（a>0，x≥0，y≥0）下的极值问题。

设L（x，y）=+λ（x+y-a）.

解方程式

=

x+λ=0

=

y+λ=0，

x+y=a得

x=

y=.

将（，）与边界点（0，a），（a，0）的函数值比较，有

z（0，a）=z（a，0）=>（）=z（，）.

所以，z在条件x+y=a（a>0，x≥0，y≥0）下的最小值为（）.

于是，当x+y>0，x≥0，y≥0时，有≥（）=（）.

又当x=y=0时，显然有≥（）.

综上所述，当x≥0，y≥0时，有≥（）.

5 利用函数的凹凸性证明不等式

例5 证明当0x.

证明 令f（x）=sinx-x，则f′（x）=cosx-，f′′（x）=-sinx，当0

所以，f（x）在区间0，

上是凸函数。

从而，f（x）>minf（0），f（

）=0，x∈（0，）.

即，sinx>x，0

6 利用定积分的几何意义证明不等式

若f（x）二阶可导，且f′′（x）>0，则f（x）dx<（b-a）.

其几何意义是f（x）在a，b上的图形是凹的，则f（x）在a，b上的曲边梯形面积小于与该曲边梯形同底，以为高的梯形面积。

例6 证明当x>0时，<.

证明 令f（x）=e，则f′′（x）=e>0.

所以，当x>0时，edx<（x-0），即<.

7 利用积分中值定理证明不等式

例7 设f（x）在a，b上连续且单调增加，求证xf（x）dx≥f（x）dx.

证明 xf（x）dx-f（x）dx=（x-）f（x）dx

=（x-）f（x）dx+（x-）f（x）dx.

根据积分中值定理， ζ1∈（a，），ζ2∈（，b），使得xf（x）dx-f（x）dx

=f（ζ1）（x-）dx+f（ζ2）（x-）dx

=-f（ζ1）+f（ζ2）=[f（ζ2）-f（ζ1）]≥0.

8 在不等式两端取变限积分证明新的不等式

例8 证明当x>0时，x-

证明 已知cosx≤1（x>0）.

在此式两端同时取0，x上的积分，得

sinx0）.

再次取0，x上的积分，得

1-cosx<（x>0）.

第三次取0，x上的积分，得

x-sinx<（x>0）.

即，x-0）.

继续在0，x上积分两次，可得

sinx0）.

综上所述，x-0）.

9 利用Schwarz不等式证明不等式

若f（x），g（x）在[a，b]上可积，则（f（x）g（x）dx）≤f（x）dxg（x）dx.

例9 已知f（x）≥0，在a，b上连续，f（x）dx=1，k为任意实数，证明：

（f（x）cos kxdx）+（f（x）sin kxdx）≤1.

证明 对不等式左端第一项应用Schwarz不等式

（f（x）cos kxdx）

=

（cos kx）dx≤f（x）dxf（x）coskxdx

=f（x）coskxdx.

同理，（f（x）sin kxdx）≤f（x）sin kxdx.

所以，（f（x）cos kxdx）+（f（x）sin kxdx）≤1.

参考文献：

[1] 邱家彩. 用高等方法定积分证明不等式[J]. 数学学习与研究，2011，21：90.

[2] 卢兴江，金蒙伟. 高等数学竞赛教程[M]. 杭州：浙江大学出版社，2009.

[3] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京：高等教育出版社，1993.