对两个牵引模型的辨析

周 佳

（江苏省常熟中学，江苏 常熟 215500）

牵引问题是高中物理常见的一类问题，而该类问题中有两个模型非常容易混淆，下面从两个模型各自的结构特点入手，对模型进行辨析与区分.

模型1：如图1所示，滑块A置于光滑水平桌面上，细线一头与滑块相连接，连接点为B，另一头绕过定滑轮，当以速度v拉绳头时，滑块A沿水平面向右运动.

模型2：如图2所示，滑块A置于光滑水平面上与动滑轮相连，一根轻绳绕过两滑轮后固定在C点，动滑轮下方的轻绳水平，当以速度v拉绳头时，滑块A沿水平面向右运动.

问题：求当轻绳BD与水平面夹角为α时，两个模型中滑块A运动的速度分别是多少？

解析：两个模型看上去似乎差异不大，但滑块的速度却是不同的.首先从模型的结构上来分析，模型1中滑块A是与细绳直接相连的，而模型2中滑块A是通过动滑轮与细绳相连的，显然两个模型在连接的方式上是不同的.其次，模型2中由于动滑轮的存在，导致了细绳被分成了上下两部分，因此细绳收缩的距离也就分为了上下两部分.下面利用微元法来分析由于连接方式不同导致的不同结果.在模型1中，令滑块的速度为vA，在Δt（Δt→0）时间内接触点从B运动至B′（如图3所示），由于时间很短，因此该过程可看成是匀速直线运动，故

图3

作B′E⊥BD，由于Δt很小，可认为DE＝DB′，因此BE的长度就是Δt时间内细绳收缩的长度Δl1，即

在ΔBB′E中，满足

由（1）～（3）式可得

图4

在模型2中，同样令在 Δt（Δt→0）时间内接触点B运动至B′（如图4所示），也可以得 到BB′＝vAΔt与BE≈Δl1的关系，不同的是由于动滑轮的运动，BE的长度仅仅是该过程动滑轮上方细绳收缩的长度，而动滑轮下方轻绳收缩的长度为

故细绳总的收缩长度Δl可表示为

将（1）、（3）式代入（7）式可得