《一个四边形的面积引发的思考》再思考

邹守文

文[1]中童永芳老师解决了：如右图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积.

在解完题目后，作者得到：显然，

当∠BAC>90°时，则S四边形ADFE>S△ABC；

当∠BAC=90°时，则S四边形ADFE=S△ABC；

当∠BAC<90°时，则S四边形ADFE

当∠BAC=60°时，四边形ADFE不存在.

在敬仰童老师的研究精神的同时，发现该结论不完全正确，因为当∠BAC=30°时，S四边形ADFE=2S△ABC，故作如下商榷：

设∠BAC=θ，由三角形的面积公式知，

S△ABC=12AB·ACsinθ，

S四边形ADFE=AB·ACsin（360°-120°-θ）=

AB·ACsin（240°-θ），

所以S四边形ADFES△ABC=AB·ACsin（240°-θ）12AB·ACsinθ=2sin（240°-θ）sinθ=f（θ），

所以f（θ）=2sin（240°-θ）sinθ=

2sin（60°-θ）sinθ（0°<θ<60°），

2sin（θ-60°）sinθ（60°<θ<180°），

化简得f（θ）=3cotθ-1（0°<θ<60°），

1-3cotθ（60°<θ<180°）.

当60°<θ<90°时，有S四边形ADFE

当θ=90°时，则S四边形ADFE=S△ABC；

当90°<θ<180°时，则S四边形ADFE>S△ABC.

当0°<θ<60°时，f（θ）=1，即3cotθ-1=1，有cotθ=23，θ=arccot23.

因为cotθ在0°<θ<60°上为减函数，所以

当arccot23<θ<60°时，01.

综合上述分析，我们可以得到：

定理△ABC中，以AB、AC、BC向同侧作等边三角形△ABD，△ACE，△BFC，如果A、D、F、E能组成四边形，则四边形ADFE是平行四边形，且当60°<∠BAC<90°或arccot23<∠BAC<60°时，S四边形ADFES△ABC.特别，当∠BAC=30°时，S四边形ADFE=2S△ABC，当∠BAC=150°时，S四边形ADFE=4S△ABC.

参考文献

[1]童永芳.一个四边形的面积引发的思考[J].中学数学杂志，2014（4）：52.