关于平分三角形面积的直线的讨论

赵俊达

关于“过一点作平分三角形面积的直线”的问题，文[1]通过将一个三角形（其顶点为一边的中点、一个顶点和已知点）进行旋转、位似变换，构建相似三角形，利用比例线段沟通面积之间的关系，使该问题获得了一个较为简单的思路.但由于已知点的位置情况、解的情况比较复杂，对旋转、位似中心以及中点的选取给人以说不清、道不明的感觉.笔者经过深入研究，对平分三角形面积的直线有了进一步的认识，现整理如下，算是对文[1]的补充，不当之处，欢迎批评指正.

1关于平分三角形面积的直线所交边的确定

如图1，AD、BE、CF是△ABC的中线，点O是重心，点P在对顶角∠BOD或∠AOE内.设想将点D向点B移动，同时点A向E移动，保持CD×CA不变.当点D移到B时，点A正好移到E.可见直线AD在上述变化过程中必然扫过点P，即经过点P必有一条平分△ABC面积的直线和线段AE、BD相交，也就是与∠ACB的两边相交（不排除经过点P还图1有平分△ABC面积的直线与AB、AC相交）.因此构造△CPD或△CPE，用文[1]的方法以点C为中心进行旋转、位似变换必然能作出这条直线.

说明：（1）点P不论在△ABC内，还是在△ABC外，只要点P在对顶角∠BOD或∠AOE内，都可用这个方法.如图2、3、4、5，连接PD、PC，将∠PCD绕点C旋转，使射线CP与射线CA重合，得∠ACQ.作射线AQ，使∠CAQ=∠CPD，AQ交CQ于Q.过点P作PT∥BC交直线QC于点T，过点P、Q、T作圆交AC于N，则直线PN就是所求（证明略）.

（2）作法成功与否还与过点P、Q、T的圆是否可作相关，即点P、Q、T是否不在同一直线上.事实上，当点P在∠ACB的角平分线上时，如图6，同样构造△ACQ∽△PCD，这时点Q在直线CP上，过点P作直线PL∥BC时，直线PL与CQ的交点T就是点P，因此过点P、Q、T的圆有无数个，但其中与直线PL相切的圆只有一个，设该圆交AC于N，直线PN就是所求.其证明如下：

由于PL是切线，PL∥BC，故∠CMP=∠LPN=∠NQT，又因为CP平分∠ACB，所以△PCM∽△ACQ，所以CM×CN=CP×CQ；由△ACQ∽△PCD，得CA×CD=CP×CQ，所以CM×CN=CA×CD.

2过已知点平分三角形面积的直线的条数

如图7，△ABC中，中线AD、BE、CF相交于点G，点I、J、K分别是三条中线的中点.点M从点A出发沿折线ACD移动、点N从点D出发沿折线DBA移动，两点同时出发，并始终保持直线MN平分△ABC面积.在此过程中，直线MN与所有平分△ABC面积的直线都重合了一次（除起始和结束与AD各重合一次以外）.利用几何画板进行演示发现：

在△ABC所在的平面内，在由三条“双曲线段”IJ、JK、KI所围成的区域（不含边界）内所有的点都被直线MN扫过3次，故经过这些点平分△ABC面积的直线都有3条.如图7，当点P在线段GB、GD和“双曲线段”JK围成的区域内时，过点P的的3条平分△ABC面积直线中，1条与CA、CB相交，另外2条都分别与AB、AC相交.

在上述区域边界上除点I、J、K外其余的点都被扫过2次，故经过这些点有且只有2条直线平分△ABC面积.

经过上述区域以外的点只有1条直线平分△ABC面积.

不存在这样的点P，经过点P有3条以上的直线平分△ABC面积.

参考文献

[1]黄良春.过任意一点作三角形面积平分线的问题研究[J].中学数学杂志，2014（8）：38.endprint