基于编码器的复摆设计与实验研究

张 凯，姚宇峰，刘 紫，张智鹏

(北京林业大学，北京 100083)

复摆［1］是指一刚体在重力作用下绕一水平轴做微小摆动的运动动力体系。通过复摆实验可以测量重力加速度［2-4］、物体的转动惯量［3，5-10］以及验证平行轴定理［11］等。如针对重力加速度的测量，代伟［2］提出了两种复摆模型，但是并未将两种模型利用一套装置来实现，装置利用率较低。另外针对物体的转动惯量测量，徐军华等［10］利用复摆法测定了刚体的转动惯量并验证了平行轴定理。

以上所提及的复摆［2，10］主要是采用光电法来完成复摆的实验研究。鉴于编码器精度高以及简化实验装置的目的，采用编码器和单片机来完成复摆实验研究［12-13］。该实验装置能采用多种方式完成重力加速度和物体转动惯量的测量，并能验证平行轴定理。

1 实验装置的设计

采用光电法进行复摆实验研究需要测角仪、光电门以及计时器等仪器，实验装置较为复杂。如图1所示，采用编码器和单片机组合的实验装置则省去了这些仪器。实验过程中，通过蜂鸣器进行提醒，起到限制复摆起摆角度的作用，同时利用单片机实现对摆动周期的测量。

2 实验研究

2.1 利用方案一测量重力加速度与转动惯量

如图1所示，将复摆摆杆的每个小孔依次悬挂在编码器轴上，以小于5°的起摆角度进行小摆幅摆动，测量每次摆动的多个周期，最后取平均值并记录。如图2所示，为复摆周期T与转轴位置h之间的关系图，其中h为转轴与摆杆质心的距离，T为对应的摆动周期。

图1 复摆结构示意图

图2 周期T与回转轴到质心距离h曲线图

如图2所示，取最低两点对应的横坐标绝对值为回转半径R，所对应的纵坐标值为最小摆动周期Tmin。由上述测量数据，再根据公式(1)即可得到重力加速度的数值［3］。

根据回转半径的定义即公式(2)，易得通过质心轴的转动惯量 Ic［3］。

由图2，可得摆杆的回转半径R=16 cm=0.16 m，对应的最小周期 Tmin=1.14 s。通过式(1)计算得g=9.72 m/s2，可知摆杆质量m0=123.86 g，则摆杆转轴过质心的转动惯量Ic=3.171×10－3kg/m2。

2.2 利用最小二乘法测量重力加速度和通过质心轴的转动惯量

令 y=T2h，x=h2，通过测量可得n组(x，y)，在Matlab中利用最小二乘法拟合出直线y=A+Bx，如图3所示，其中截距 A为R2，斜率 B为 。

通过实验可得，斜率B=4.115 5，截距A=0.106 9。再由 A=R2和B=，可得重力加速度 g=9.60 m/s2，回转半径 R=0.161 2 m。最后由公式(2)可得通过质心轴的转动惯量为Ic=3.219 kg/m2。

2.3 利用方案三测量重力加速度

图3 利用最小二乘法的h2-T2的拟合直线

图4 利用方案三测量重力加速度示意图

图5 利用摆锤测量重力加速度示意图

如图4所示，分别将与摆中心相距h1和h2的孔悬挂在编码器轴上，使得h2=2h1，并测量出它们的周期 T1、T2，带入公式(3)可求得重力加速度［2］。

取 h1=12 cm，h2=24 cm，对应的周期T1=0.1678 s，T2=0.3419 s。由公式(3)得 g=9.798 m/s2。

2.4 利用摆锤测量重力加速度

如图5所示，测出复摆正挂与倒挂时相等的周期值T和l，就可算出当地的重力加速度之值。

式中:l为二刀刃间的距离。在适当调节摆锤A、B的位置之后，可使T1=T2，令此时的周期值为T，O1O2间的距离即为l。

通过实验，可得 T1=T2=1.166 s，l=34 cm，再由式(4)可得 g=9.8 m/s2。

2.5 测量摆杆与物体(配重)的转动惯量

如图6所示，为测量转动惯量示意图。当复摆绕固定轴O转动，则复摆的转动惯量为I0，它满足公式(5)［5］

式中:质心到转轴的距离为 h0，对应的周期为T0。

设待测物体的质量为mx，回转半径为R，则绕自身质心的转动惯量为Ix0=mxR2，绕O转动时的转动惯量为 Ix，则有［5］

当待测物体与复摆质心重合，即x=0时，让待测物体绕 O 转动，由［5］，则有

式中:M=m0+mx

测出周期T，利用公式(6)、(7)，可求得待测物体的转动惯量Ix和Ix0。

取 h0=24 cm，T=1.194 s，由式(5)得复摆的绕固定轴为O转动时的转动惯量为:I0=1.073×10－2kg·m2;由式(7)可得物体绕O转动时的转动惯量Ix=5.776 ×10－4kg·m2;再由式(6)可得Ix0=1.308 × 10－4kg·m2。

图6 测量转动惯量示意图

2.6 验证平行轴定理

令 h1=0.02 m，根据［11］

其中:y=T2h － T21h1，x=h2－ h21。

可知若y与x的线性相关系数为r≈1，则可验证平行轴定理。

根据实验数据，在Matlab中利用最小二乘法得到如图7所示的y与x的拟合直线，并求得相关系数r=0.999 5。故平行轴定理得到验证。

图7 利用最小二乘法的y-x的拟合直线

3 结 论

(1)基于编码器对摆动周期进行测量，精度高，误差小;将普通复摆的多孔摆杆与配重结合起来，完成了多个实验的计算及验证，结构设计巧妙经济。

(2)通过多种方法较准确地测量出了当地的重力加速度，摆杆和配重的转动惯量，也较好地验证了平行轴定理。

(3)存在误差原因有复摆的加工精度不足;单片机测量数据的精度不足;人为误差等。

［1］张立.大学物理实验［M］.上海:上海交通大学出版社，1986:78-80.

［2］代伟.复摆实验装置研究［J］.实验技术与管理，2007，24(6):55-58.

［3］代伟，谢春茂，陈太红.J-LD23型复摆实验装置的改进［J］.物理实验，2008，28(2):23-25.

［4］陈思佳，张文霞，杨启凤等.线性回归法和Matlab在复摆测重力加速度实验中的应用［J］.物理实验，2009，29(1):44-46.

［5］袁昌盛，宋笔锋.改进复摆法测量转动惯量的方法和设备研究［J］.中国机械工程，2006，17(6):598-600.

［6］侯文，郑宾，杨瑞峰.基于复摆运动相平面分析的转动惯量测量新方法［J］.应用基础与工程科学学报.2003，11(3):323-328.

［7］何仲.复摆法测量圆环转动惯量［J］.琼州大学学报.2002，9(2):38-39.

［8］丁峰.复杂形状刚性构件转动惯量的测算［J］.轻工机械.2007，25(1):75-77.

［9］刘守法.改进的复摆法测复杂零件转动惯量及仿真分析［J］.煤矿机械.2009，30(12):53-55.

［10］徐军华，徐兰珍，王树林.刚体转动惯量的一种新型测量法——复摆法［J］.西安邮电学院学报，2004，9(3):92-94.

［11］刘竹琴，魏宁，贾君茹.平行轴定理的验证［J］.延安大学学报:自然科学版，2002，21(1):43-44.

［12］丁琪，史德俐，芦立娟.智能传感器在大学生物理实验中的应用［J］.大学物理实验，2012，25(3):75-79.

［13］文明，洪延姬，王俊花等.增量式旋转编码器在复摆法冲量测量中的应用［J］.仪器仪表学报，2007，28(1):140-144.