中学生数学运算能力的培养

何合全

运算能力是教学的三大基本能力之一，是数学各种能力的基础。由于在小学阶段就习惯用计算器，导致大量中学生运算能力偏差，这极大地阻碍了数学学习质量的进一步提高和数学思维的发展。另外，由于物理与化学的学习中计算量比较大并经常需要运用数学思维、方法来解决问题。因此中学数学运算能力还会直接影响到学生的这些科目的学习。由此可见，提高学生重视运算，加强运算能力的训练是十分重要的。

一、提高思想认识，重视运算能力的培养

我们在教学中时常发现，有时学生做练习时，只满足于有解题思路，只列式不运算或者不想运算，他们认为，思路清了，方法会了，题就做对了，把培养运算能力的训练看成是浪费时间，把运算中出现的错误归结为“粗心大意”。事实上，培养运算能力不是短时间就能奏效的事情，是需要经过长期的反复的训练而逐渐形成。因此我们要提高思想认识，重视学生运算能力的培养，在课堂教学中就要严格要求学生，引导他们完整规范地去做习题。我们可以从七年级学生开始接触中学数学时就把教好学生规范正确地应用数学符号、规范书写数学语言做为教好数学的一大目标，也做为基本训练的一项重要工作去做，对自己刚刚接手的学生从一开始就加强数学符号的教学，把此做为初中数学入门教学的任务来完成。

二、树立运算信心，养成良好的运算习惯

中学数学中运算的难点都与字母相关，相对小学来说更复杂、抽象。引导学生克服因基础差而产生的自卑与恐惧心理是十分必要的。我们在教学过程中要想方设法让学生动手参与，引导他们从一些简单题入手，循序渐进，不断提高计算的准确性和计算速度。在课堂教学中让学生养成勤动手、勤动脑的习惯。教师也要做到勤检查、勤鼓励、勤表扬，让学生享受运算的乐趣，体验成功的喜悦，从而培养运算的信心和乐趣。

如在单项式与多项式的乘法教学时，通过逐步分层训练培养运算的信心和乐趣。

例：（1）2（3a2b-2ab+4）;

（2）2a（3a2b-2ab+4）;

（3）-2ab2（3a2b-2ab+4）;

（4）已知ab=-3，求-2ab（3a3b7-2a2b5-b）的值。

上述目的是引导学生进一步理解算理，体会到乘法分配律的重要作用和转化的数学思想，在此基础上，学生自己总结出单项式乘以多项式的运算法则，并运用语言进行描述。另外，培养学生的良好书写习惯，书写工整，字迹清晰，写清计算步骤，杜绝重答案轻过程的做法。通过不同难度的练习题，不断促进学生思考，运用所学知识解决新问题，在解决问题的过程中获得能力的提高。教学中，教师可以通过灵活的评价方式，激励学生逐次解答，培养学生乐于钻研的精神，逐步增强他们的自信心和学习乐趣。

三、加强基础知识和基本技能的教学，提高运算的准确性

加强和落实双基教学是提高运算能力的一个重要作用的措施，在学习过程中要求学生要做到：（1）熟记重要的定义、定理、数据公式和法则，因为准确无误是运算的基本要求，而正确地记忆公式和法则是运算准确的基础;（2）正确深层次理解概念，并能掌握公式的推导，只有理解某些概念与公式的推导，才能做到公式的正用、反用和活用，从而提高运算能力。

如注意公式中字母的代表性和广泛性教学中，对于公式：1.同底数幂的除法公式am÷an=a（m-n） ;2.平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2 ;3.完全平方和公式（a+b）2=a2+2ab+b2。

以上公式中的a、b不是单纯的a、b，还可以是其他的字母或数，也可是单项式、多项式（相当于语文中的代词：它和它们）。若是单项式或多项式，要把它作为一个整体进行运算。在单项式乘（除以）单项式、多项式乘（除以）单项式和也是如此。

四、正确运用运算法则与符号法则，提高运算能力

七年级数学的混合运算包括数、式的运算。无论是有理数的混合运算，还是整式运算都要注重运算法则的同时要特别注重符号法则。当运算比较复杂时，由于学生的注意力转移到计算方面，往往忽略了符号。为了增强学生对符号的处理能力，我们在运算中就要大力强调符号法则的重要性，应先确定符号，再计算，以便克服计算过程中出现符号错误。

如对于多项式除以单项式和幂的乘方的混合运算，在运算中要先算乘方再算乘除，除法运算时要把多项式除以单项式“转化”为单项式除以单项式，再根据单项式除以单项式的法则进行计算。

例：计算：（■a4b7-■a2b6）÷（-■ab3）2

解：原式

=（■a4b7-■a2b6）÷■a2b6

=■a4b7÷■a2b6-■a2b6÷■a2b6

=6a2b-1

在进行上述多项式除以单项式的计算时，先计算（-■ab3）2=■a2b6，再把（■a4b7-■a2b6）看成是+■a4b7与-■a2b6两项组成，把这两个单项式分别除以■a2b6，所得结果的项数应与被除式中的项数相同（两项），要特别明确除式与被除式中各项的符号，相除时要带着符号进行。

五、加强训练，提高运算技能

加强训练时，要注意回归到教材、整合教材中的知识点，针对学生掌握知识、方法的薄弱点加强训练，熟练应用常用的数学运算的技巧、方法和规则，熟悉一些常见题型与答题方法，使自己心理处于良好的适应状态。特别注意的是，要加强一题多解、一解多题、发散变形的能力训练，拓展思维和灵活运用知识的能力。对于运算类解答题目，往往是运算的步骤越多、越繁琐，越容易出错。而很多题目往往又可用多种方法，从多个角度来考虑，具有多种思考方法。由于解答时思考的方式不同，解题所花费的时间也必定不同。因此注意精选一些一题多解或计算量相对悬殊较大的题目，用充裕的时间去想去做，并结合这些实际题目适时灵活地运用概念、恰当地选择公式、合理地使用数学思想方法，从而达到简化运算、提高运算速度的目的。再帮助学生探索总结某些有规律性的、普遍性的东西，从而提高数学运算能力。endprint

六、学生练后反思，学会举一反三

“学而不思则罔。”学生做题不能为做题而做题，要培养学生每次练习之后进行一定反思的良好习惯。在不断的进行总结过程中，如果错了，为什么错，怎样错的，怎样去纠正，如果对了，应用了哪些知识点，采取了哪些好的解题方法，有没有更好的、更简便的方法，只有不断地总结反思，才能形成良好的解题习惯，不断地进步。 七年级学生经过了几年的数学学习虽然具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限。因此，让学生在理解的基础上掌握运算公式，运算规则，能做到举一反三。

如利用平方公式计算时，首先观察分析是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节。

例：计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以（2-1），再同时除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

举一反三 计算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例题可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差数列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分数乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

从分析判断平方差公式入手，在教学时设计举一反三计算，这样为学生提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法。让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，进一步提升运算能力。

学生运算能力的培养不是在短时间能见效的，而是一项长期任务，综合工程。这需要教师和学生共同去面对各种困难以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教师 要把运算能力的培养贯穿于整个教学过程中，有计划、有目标、有意识地运用科学的方法进行长期渗透，使学生不断地、经常地受到启迪，既要在潜移默化中逐步提高运算能力，又要在实践中加以修正，寻求合理的、简捷的运算途径，因此培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持。

责任编辑  罗  峰endprint

六、学生练后反思，学会举一反三

“学而不思则罔。”学生做题不能为做题而做题，要培养学生每次练习之后进行一定反思的良好习惯。在不断的进行总结过程中，如果错了，为什么错，怎样错的，怎样去纠正，如果对了，应用了哪些知识点，采取了哪些好的解题方法，有没有更好的、更简便的方法，只有不断地总结反思，才能形成良好的解题习惯，不断地进步。 七年级学生经过了几年的数学学习虽然具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限。因此，让学生在理解的基础上掌握运算公式，运算规则，能做到举一反三。

如利用平方公式计算时，首先观察分析是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节。

例：计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以（2-1），再同时除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

举一反三 计算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例题可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差数列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分数乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

从分析判断平方差公式入手，在教学时设计举一反三计算，这样为学生提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法。让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，进一步提升运算能力。

学生运算能力的培养不是在短时间能见效的，而是一项长期任务，综合工程。这需要教师和学生共同去面对各种困难以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教师 要把运算能力的培养贯穿于整个教学过程中，有计划、有目标、有意识地运用科学的方法进行长期渗透，使学生不断地、经常地受到启迪，既要在潜移默化中逐步提高运算能力，又要在实践中加以修正，寻求合理的、简捷的运算途径，因此培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持。

责任编辑  罗  峰endprint

六、学生练后反思，学会举一反三

“学而不思则罔。”学生做题不能为做题而做题，要培养学生每次练习之后进行一定反思的良好习惯。在不断的进行总结过程中，如果错了，为什么错，怎样错的，怎样去纠正，如果对了，应用了哪些知识点，采取了哪些好的解题方法，有没有更好的、更简便的方法，只有不断地总结反思，才能形成良好的解题习惯，不断地进步。 七年级学生经过了几年的数学学习虽然具有了一定的独立探究意识和从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。但学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限。因此，让学生在理解的基础上掌握运算公式，运算规则，能做到举一反三。

如利用平方公式计算时，首先观察分析是否符合公式的特点，公式中的a和b分别是什么，注意负号和括号等细节。

例：计算（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）。

要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以（2-1），再同时除以（2-1）即可。

解：原式=

■=（22-1）（22+1）（24+1）…（232+1）

=（24-1）（24+1）…（232+1）

=（232）2-1

=264-1

举一反三 计算：

（1）3·（22+1）（24+1）…（232+1）+1;

（2）1002-992+982-972+962-952+…+22-12;

（3）（1-■）（1-■）（1-■）…（1-■）（1-■）。

解：

（1）由例题可以得到提示

（22+1）（24+1）…（232+1）

=■

=[（232）2-1]·■=■（264-1）

∴原式=3·■（264-1）+1=264-1+1=264。

（2）由平方差公式和等差数列公式Sn=■可知，

原式=（100+99）（100-99）+（98+97）（98-97）+（96+95）（96-95）+…+

（4+3）（4-3）+（2+1）（2-1）

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1=■=5050。

（3）由平方差公式和分数乘法公式可知，

原式=（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）…（1+■）（1-■）（1+■）（1-■）

=■×■×■×■×■×■×…×■×■×■×■=■· ■=■。

从分析判断平方差公式入手，在教学时设计举一反三计算，这样为学生提供充分探索与交流的空间，使学生进一步经历观察，实验、猜测、推理、交流、反思等活动，培养学生类比的思想方法。让学生在探究中，经历知识产生发展的过程，进一步提升运算能力。

学生运算能力的培养不是在短时间能见效的，而是一项长期任务，综合工程。这需要教师和学生共同去面对各种困难以持之以恒的努力，才能取得良好的效果。教师 要把运算能力的培养贯穿于整个教学过程中，有计划、有目标、有意识地运用科学的方法进行长期渗透，使学生不断地、经常地受到启迪，既要在潜移默化中逐步提高运算能力，又要在实践中加以修正，寻求合理的、简捷的运算途径，因此培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持。

责任编辑  罗  峰endprint