机械能守恒定律的应用

石文笔

摘要：

本文探讨了机械能守恒的条件、判断方法和表达形式，为学生正确掌握和运用机械能守恒定律提供实践依据和理论指导，加深学生对物理基本体系的理解，掌握研究物理问题的方法，提高解决物理问题的能力。

关键词：机械能守恒定律;守恒与转化;综合运用

机械能守恒定律的内容是在只有重力和弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变.

一、机械能守恒的条件

机械能守恒的条件是只有重力（或弹力）做功。可以从以下两个方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒.

二、判断机械能守恒的方法

（一利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体在水平面上匀速运动，其动能、势能均不变，机械能不变.若一个物体沿斜面匀速下滑，其动能不变，重力势能减少，其机械能减少.

（二）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.

（三）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.

（四）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.

例：如图1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面顶端有一物体由静止开始沿斜面下滑;在物体下滑过程中，下列说法正确的有：

（A）物体的重力势能减少，动能增加。

（B）斜面的机械能不变。

（C）物体的机械能减少。

（D）物体及斜面组成的系统机械能守恒。

[分析]物体在下滑过程中对斜面有垂直于该斜面的压力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必将向右产生加速度;其动能及其机械能增加。所以（B）项错误。物体一方面克服斜面对它的压力做功：机械能减少;另一方面由于它的重力做功，重力势能减少，动能增加，因此选项（A）（C）正确。对于物体与斜面组成的物体系;只有物体重力做功，没有与系统外物体发生能量的转化或转移，机械能守恒，故（D）项正确。

答案为：（A、C、D）

三、机械能守恒定律的三种表达形式

1.守恒观点

①表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.

③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.

2.转化观点

①表达式：ΔEk=-ΔEp.

②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的重力势能.

③注意问题：要明确重力势能的增加或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面.

3.转移观点

①表达式：ΔEA增=ΔEB减.

②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量.

③注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能.

例题3.一根均匀的铁链全长为L，其中58平放在光滑水平面上，其余38悬垂于桌边如图2所示，如果由图示位置无初速释放铁链，则当铁链刚挂直时速度多大？

[思路点拨]  以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解.

[解题过程]  初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能

Ep1=58mg·L.悬吊在桌边部分的重力势能为

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

当整条铁链挂直（即最后一环刚离开桌边）时，既有动能Ek2=12mv2

又有重力势能

Ep2=mg·L2.

根据机械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如图3所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB

是半径为R=15 m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，

BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央.一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍，取g=10 m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由.

[解题过程]

（1）小球从H高处落下，进入轨道，沿BDO轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力.设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力F（大小等于小球对轨道的压力）是它做圆周运动的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D点的过程中，机械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10 m.

 （2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少应从HC高处落下，由-△Ep=△Ek有 mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通过O点.

（作者单位：甘肃省临洮县文峰中学，甘肃 定西 730500）

摘要：

本文探讨了机械能守恒的条件、判断方法和表达形式，为学生正确掌握和运用机械能守恒定律提供实践依据和理论指导，加深学生对物理基本体系的理解，掌握研究物理问题的方法，提高解决物理问题的能力。

关键词：机械能守恒定律;守恒与转化;综合运用

机械能守恒定律的内容是在只有重力和弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变.

一、机械能守恒的条件

机械能守恒的条件是只有重力（或弹力）做功。可以从以下两个方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒.

二、判断机械能守恒的方法

（一利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体在水平面上匀速运动，其动能、势能均不变，机械能不变.若一个物体沿斜面匀速下滑，其动能不变，重力势能减少，其机械能减少.

（二）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.

（三）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.

（四）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.

例：如图1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面顶端有一物体由静止开始沿斜面下滑;在物体下滑过程中，下列说法正确的有：

（A）物体的重力势能减少，动能增加。

（B）斜面的机械能不变。

（C）物体的机械能减少。

（D）物体及斜面组成的系统机械能守恒。

[分析]物体在下滑过程中对斜面有垂直于该斜面的压力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必将向右产生加速度;其动能及其机械能增加。所以（B）项错误。物体一方面克服斜面对它的压力做功：机械能减少;另一方面由于它的重力做功，重力势能减少，动能增加，因此选项（A）（C）正确。对于物体与斜面组成的物体系;只有物体重力做功，没有与系统外物体发生能量的转化或转移，机械能守恒，故（D）项正确。

答案为：（A、C、D）

三、机械能守恒定律的三种表达形式

1.守恒观点

①表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.

③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.

2.转化观点

①表达式：ΔEk=-ΔEp.

②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的重力势能.

③注意问题：要明确重力势能的增加或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面.

3.转移观点

①表达式：ΔEA增=ΔEB减.

②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量.

③注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能.

例题3.一根均匀的铁链全长为L，其中58平放在光滑水平面上，其余38悬垂于桌边如图2所示，如果由图示位置无初速释放铁链，则当铁链刚挂直时速度多大？

[思路点拨]  以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解.

[解题过程]  初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能

Ep1=58mg·L.悬吊在桌边部分的重力势能为

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

当整条铁链挂直（即最后一环刚离开桌边）时，既有动能Ek2=12mv2

又有重力势能

Ep2=mg·L2.

根据机械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如图3所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB

是半径为R=15 m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，

BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央.一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍，取g=10 m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由.

[解题过程]

（1）小球从H高处落下，进入轨道，沿BDO轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力.设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力F（大小等于小球对轨道的压力）是它做圆周运动的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D点的过程中，机械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10 m.

 （2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少应从HC高处落下，由-△Ep=△Ek有 mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通过O点.

（作者单位：甘肃省临洮县文峰中学，甘肃 定西 730500）

摘要：

本文探讨了机械能守恒的条件、判断方法和表达形式，为学生正确掌握和运用机械能守恒定律提供实践依据和理论指导，加深学生对物理基本体系的理解，掌握研究物理问题的方法，提高解决物理问题的能力。

关键词：机械能守恒定律;守恒与转化;综合运用

机械能守恒定律的内容是在只有重力和弹力做功的情形下，物体的动能和势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变.

一、机械能守恒的条件

机械能守恒的条件是只有重力（或弹力）做功。可以从以下两个方面理解：

（一）只受重力作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒.

（二）受其他力，但其他力不做功，只有重力或弹力做功.例如物体沿光滑的曲面下滑，受重力、曲面的支持力的作用，但曲面的支持力不做功，物体的机械能守恒.

二、判断机械能守恒的方法

（一利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体在水平面上匀速运动，其动能、势能均不变，机械能不变.若一个物体沿斜面匀速下滑，其动能不变，重力势能减少，其机械能减少.

（二）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒.

（三）用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒.

（四）对一些绳子突然绷紧、物体间非弹性碰撞等，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒.

例：如图1所示，一光滑斜面置于光滑水平地面上，斜面顶端有一物体由静止开始沿斜面下滑;在物体下滑过程中，下列说法正确的有：

（A）物体的重力势能减少，动能增加。

（B）斜面的机械能不变。

（C）物体的机械能减少。

（D）物体及斜面组成的系统机械能守恒。

[分析]物体在下滑过程中对斜面有垂直于该斜面的压力。由于斜面不固定，地面又光滑斜面必将向右产生加速度;其动能及其机械能增加。所以（B）项错误。物体一方面克服斜面对它的压力做功：机械能减少;另一方面由于它的重力做功，重力势能减少，动能增加，因此选项（A）（C）正确。对于物体与斜面组成的物体系;只有物体重力做功，没有与系统外物体发生能量的转化或转移，机械能守恒，故（D）项正确。

答案为：（A、C、D）

三、机械能守恒定律的三种表达形式

1.守恒观点

①表达式：Ek1+Ep1=Ek2+Ep2或E1=E2.

②意义：系统初状态的机械能等于末状态的机械能.

③注意问题：要先选取零势能参考平面，并且在整个过程中必须选取同一个零势能参考平面.

2.转化观点

①表达式：ΔEk=-ΔEp.

②意义：系统（或物体）的机械能守恒时，系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的重力势能.

③注意问题：要明确重力势能的增加或减少量，即重力势能的变化，可以不选取零势能参考平面.

3.转移观点

①表达式：ΔEA增=ΔEB减.

②意义：若系统由A、B两部分组成，当系统的机械能守恒时，则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量.

③注意问题：A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初状态的机械能，而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能减末状态的机械能.

例题3.一根均匀的铁链全长为L，其中58平放在光滑水平面上，其余38悬垂于桌边如图2所示，如果由图示位置无初速释放铁链，则当铁链刚挂直时速度多大？

[思路点拨]  以铁链和地球组成的系统为对象，铁链仅受两个力：重力G和光滑水平桌面的支持力N，在铁链运动过程中，N与运动速度v垂直，N不做功，只有重力G做功，因此系统机械能守恒.铁链释放前只有重力势能，但由于平放在桌面上与悬吊着两部分位置不同，计算重力势能时要分段计算.选铁链挂直时的下端点为重力势能的零标准，应用机械能守恒定律即可求解.

[解题过程]  初始状态：平放在桌面上的部分铁链具有的重力势能

Ep1=58mg·L.悬吊在桌边部分的重力势能为

Ep2=38mg（L-12×38L）=38mg·

6.58L.

当整条铁链挂直（即最后一环刚离开桌边）时，既有动能Ek2=12mv2

又有重力势能

Ep2=mg·L2.

根据机械能守恒定律有E1=E2.所以Ep1+Ep2=Ek2+Ep2，故

58mg·L+38mg·6.58L=mgL2+

12mv2，

故58gL+19.564gL-12gL=12v2.

所以v=5564gL=55gL8

例4.如图3所示，ABDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB

是半径为R=15 m的1/4圆周轨道，半径OA处于水平位置，

BDO是直径为15 m的半圆轨道，D为BDO轨道的中央.一个小球P从A点的正上方距水平半径OA高H处自由落下，沿竖直平面内的轨道通过D点时对轨道的压力等于其重力的倍，取g=10 m/s2.

（1）H的大小等于多少？

（2）试讨论此球能否到达BDO轨道的O点，并说明理由.

[解题过程]

（1）小球从H高处落下，进入轨道，沿BDO轨道做圆周运动，小球受重力和轨道的支持力.设小球通过D点的速度为v，通过D点时轨道对小球的支持力F（大小等于小球对轨道的压力）是它做圆周运动的向心力，

即mV2R/2=F=143mg ①

小球从P点落下直到沿光滑轨道运动到D点的过程中，机械能守恒，所以

-△Ep=△Ek，故有

mg（H+R2）=12mv2 ②

由①②式可得高度H=23R=10 m.

 （2）设小球能够沿竖直半圆轨道运动到O点的最小速度为

vc，有

mvc2R/2=mg ③

小球至少应从HC高处落下，由-△Ep=△Ek有 mgHC=12mvc2 ④

由③④式可得：HC=R4=154m

由H>HC，小球能通过O点.

（作者单位：甘肃省临洮县文峰中学，甘肃 定西 730500）