五法破解2014年辽宁理科数学卷填空压轴题

多元函数的最值问题一直以来是高考数学卷中检验考生思维能力和综合素质的重要素材，并在考查力度上有加强、加深、加活之态势. 纵观2014年高考卷中的多元函数最值问题，其中辽宁理数第16题最具有代表性，其横向入口较宽，纵向难度较大，技巧性、综合性都很强. 笔者拟从“一题多解，寻思百通”的解题角度，多方位探究此题，以飨读者.

题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，-+的最小值为______.

1.1 从不等式角度分析

不等式是处理关于多元函数最值问题的一把利器，而“拆、凑、变、造”则是不等式的解题灵魂，具有一定的技巧性和难度，往往从这四个切入点入手，可还原问题的庐山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大时，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此时，-+=-+=+. 设t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值为-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，当2a+b取最大值时，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 从方程思想角度分析

方程是联系未知变量和已知变量的纽带，通过方程的某种特征量将未知与已知量间的相互关系显性化，从而寻找到解决问题的办法.考虑到题目是二次式，故我们设想：能否构造某个二次方程，借助二次方程的特征量Δ来解决问题？

方法三（判别式法）：

令2a+b=t，则b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是关于a的二次方程，且有实根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再将（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齐次法）：

设2a+b=t，则=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），该方程为关于变量a，b的齐次方程，现将方程（？鄢？鄢）看成关于a的方程，则：

（1）当t2=c时，此时b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此时-+=+，此时最小值为-.

（2）当t2≠c时，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  化齐次法实质上是将问题转化为准二次方程问题，虽形散，但神似判别式法.

1.3 从换元引参角度分析

有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上较为隐蔽，实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解.这时我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论做形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简.

方法五（三角换元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此时sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  上述三角换元法思路自然，简洁流畅，正如克莱因所说：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗.”

一般而言，在一个问题系统中，未知与已知必存在着某种内在的联系，有时这种联系比较自然和显性，从而求解问题相对比较顺畅自然一点;有时这种联系比较晦涩和隐性，从而求解问题也相对坎坷些. 我们回头再看题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，求-+的最小值.我们可以把其分为两个问题，问题1：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，这时a，b，c三个变量间有何关系？问题2：在问题1的结论下，求-+的最小值.俗语云“射人先射马，擒贼先擒王”，既然问题1中的关键点是使“2a+b最大”，那么我们一切的解题工作都要围绕“2a+b”展开，而与2a+b相关的形式自然想到三种（2a+b）2，2a+b，2a+b，分别为方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手点. 为了防止读者“只在此山中，云深不知处”，我们再看下文科16题的题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，求++的最小值. 可见两题的本质是一样的，都可以拆分成问题1和问题2来处理.实际上，笔者是想通过文科试题拆分后的问题1（对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，a，b，c三个变量间有何关系）来追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16题）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______”.可见，如果把浙江这道理数题等号右边的1看成c，即可改编为辽宁文数题，而理数题是在文数题的基础上再做点缀，辽宁文数16题与浙江理数16题间微妙的关系真可谓“三生情缘缘不尽，今生再续前世缘”.endprint

多元函数的最值问题一直以来是高考数学卷中检验考生思维能力和综合素质的重要素材，并在考查力度上有加强、加深、加活之态势. 纵观2014年高考卷中的多元函数最值问题，其中辽宁理数第16题最具有代表性，其横向入口较宽，纵向难度较大，技巧性、综合性都很强. 笔者拟从“一题多解，寻思百通”的解题角度，多方位探究此题，以飨读者.

题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，-+的最小值为______.

1.1 从不等式角度分析

不等式是处理关于多元函数最值问题的一把利器，而“拆、凑、变、造”则是不等式的解题灵魂，具有一定的技巧性和难度，往往从这四个切入点入手，可还原问题的庐山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大时，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此时，-+=-+=+. 设t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值为-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，当2a+b取最大值时，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 从方程思想角度分析

方程是联系未知变量和已知变量的纽带，通过方程的某种特征量将未知与已知量间的相互关系显性化，从而寻找到解决问题的办法.考虑到题目是二次式，故我们设想：能否构造某个二次方程，借助二次方程的特征量Δ来解决问题？

方法三（判别式法）：

令2a+b=t，则b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是关于a的二次方程，且有实根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再将（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齐次法）：

设2a+b=t，则=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），该方程为关于变量a，b的齐次方程，现将方程（？鄢？鄢）看成关于a的方程，则：

（1）当t2=c时，此时b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此时-+=+，此时最小值为-.

（2）当t2≠c时，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  化齐次法实质上是将问题转化为准二次方程问题，虽形散，但神似判别式法.

1.3 从换元引参角度分析

有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上较为隐蔽，实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解.这时我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论做形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简.

方法五（三角换元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此时sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  上述三角换元法思路自然，简洁流畅，正如克莱因所说：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗.”

一般而言，在一个问题系统中，未知与已知必存在着某种内在的联系，有时这种联系比较自然和显性，从而求解问题相对比较顺畅自然一点;有时这种联系比较晦涩和隐性，从而求解问题也相对坎坷些. 我们回头再看题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，求-+的最小值.我们可以把其分为两个问题，问题1：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，这时a，b，c三个变量间有何关系？问题2：在问题1的结论下，求-+的最小值.俗语云“射人先射马，擒贼先擒王”，既然问题1中的关键点是使“2a+b最大”，那么我们一切的解题工作都要围绕“2a+b”展开，而与2a+b相关的形式自然想到三种（2a+b）2，2a+b，2a+b，分别为方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手点. 为了防止读者“只在此山中，云深不知处”，我们再看下文科16题的题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，求++的最小值. 可见两题的本质是一样的，都可以拆分成问题1和问题2来处理.实际上，笔者是想通过文科试题拆分后的问题1（对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，a，b，c三个变量间有何关系）来追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16题）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______”.可见，如果把浙江这道理数题等号右边的1看成c，即可改编为辽宁文数题，而理数题是在文数题的基础上再做点缀，辽宁文数16题与浙江理数16题间微妙的关系真可谓“三生情缘缘不尽，今生再续前世缘”.endprint

多元函数的最值问题一直以来是高考数学卷中检验考生思维能力和综合素质的重要素材，并在考查力度上有加强、加深、加活之态势. 纵观2014年高考卷中的多元函数最值问题，其中辽宁理数第16题最具有代表性，其横向入口较宽，纵向难度较大，技巧性、综合性都很强. 笔者拟从“一题多解，寻思百通”的解题角度，多方位探究此题，以飨读者.

题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，-+的最小值为______.

1.1 从不等式角度分析

不等式是处理关于多元函数最值问题的一把利器，而“拆、凑、变、造”则是不等式的解题灵魂，具有一定的技巧性和难度，往往从这四个切入点入手，可还原问题的庐山真面目.

方法一（重要不等式ab≤2模型）：

c=4a2-2ab+4b2=（2a+b）2-3b（2a-b）=（2a+b）2-·2b·（2a-b）≥（2a+b）2-2=（2a+b）2，

所以2a+b最大时，

2a+b==，2b=2a-b？圯a=，b=.

此时，-+=-+=+. 设t=>0，即求f（t）=5t2-2t（t>0）的最小值， f（t）=f=-2，即-+的最小值为-2.

方法二（柯西不等式）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2，（2a+b）2=×（a+b）+×（a-b）2≤2+2·[（（a+b））2+（（a-b））2]=+·2c=c，当2a+b取最大值时，有（2a+b）2=，2a=3b？圯a=，b=.

以下同方法一.

1.2 从方程思想角度分析

方程是联系未知变量和已知变量的纽带，通过方程的某种特征量将未知与已知量间的相互关系显性化，从而寻找到解决问题的办法.考虑到题目是二次式，故我们设想：能否构造某个二次方程，借助二次方程的特征量Δ来解决问题？

方法三（判别式法）：

令2a+b=t，则b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0中，得到

4a2-2a（t-2a）+4（t-2a）2-c=0，即24a2-18at+4t2-c=0（？鄢）.

方程（？鄢）是关于a的二次方程，且有实根，所以Δ=182t2-4×24（4t2-c）≥0，可得t2≤c，即（2a+b）2≤c，再将（2a+b）2=c代入4a2-2ab+4b2-c=0，得到2a=3b，代入（2a+b）2=c，解得a=，b=.

以下同方法一.

方法四（化齐次法）：

设2a+b=t，则=1，4a2-2ab+4b2=c·12=c·，整理后，有4（t2-c）a2-2（t2+2c）ab+（4t2-c）b2=0（？鄢？鄢），该方程为关于变量a，b的齐次方程，现将方程（？鄢？鄢）看成关于a的方程，则：

（1）当t2=c时，此时b=2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0，解得c=16a2，此时-+=+，此时最小值为-.

（2）当t2≠c时，Δ=[-2（t2+2c）]2-4·4（t2-c）（4t2-c）=-60t4+96ct2≥0，所以t2≤c，即（2a+b）2≤c，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  化齐次法实质上是将问题转化为准二次方程问题，虽形散，但神似判别式法.

1.3 从换元引参角度分析

有些数学问题，由于条件与结论中的变量关系在形式上较为隐蔽，实质性的逻辑联系不易从表面形式上发现，即使看出它们的联系，也由于表面形式的复杂而不易直接求解.这时我们进行适当的变量代换，把问题的条件和结论做形式上的转换，这样就容易揭示出它们之间的内在联系，把问题化难为易，化繁为简.

方法五（三角换元法）：

4a2-2ab+4b2-c=0，可推得2c=3（a+b）2+5（a-b）2 ①，

2a+b=（a+b）+（a-b） ②.

在①中，令a-b=cosθ，a+b=sinθ ③，

代入②，2a+b=4，此时sinθ=，cosθ=，代入③，解得a=，b=.

以下同方法一.

点评  上述三角换元法思路自然，简洁流畅，正如克莱因所说：“一个精彩巧妙的证明，精神上近乎一首诗.”

一般而言，在一个问题系统中，未知与已知必存在着某种内在的联系，有时这种联系比较自然和显性，从而求解问题相对比较顺畅自然一点;有时这种联系比较晦涩和隐性，从而求解问题也相对坎坷些. 我们回头再看题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，求-+的最小值.我们可以把其分为两个问题，问题1：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使2a+b最大时，这时a，b，c三个变量间有何关系？问题2：在问题1的结论下，求-+的最小值.俗语云“射人先射马，擒贼先擒王”，既然问题1中的关键点是使“2a+b最大”，那么我们一切的解题工作都要围绕“2a+b”展开，而与2a+b相关的形式自然想到三种（2a+b）2，2a+b，2a+b，分别为方法一、方法二，方法三，方法四、方法五的入手点. 为了防止读者“只在此山中，云深不知处”，我们再看下文科16题的题目：对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，求++的最小值. 可见两题的本质是一样的，都可以拆分成问题1和问题2来处理.实际上，笔者是想通过文科试题拆分后的问题1（对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0且使2a+b最大时，a，b，c三个变量间有何关系）来追溯它的前生，即“（2011年高考浙江卷理科16题）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是______”.可见，如果把浙江这道理数题等号右边的1看成c，即可改编为辽宁文数题，而理数题是在文数题的基础上再做点缀，辽宁文数16题与浙江理数16题间微妙的关系真可谓“三生情缘缘不尽，今生再续前世缘”.endprint