基本不等式

汤小梅

重点：掌握基本不等式，会用基本不等式求最大（小）值、证明不等式问题;能应用基本不等式解决实际问题，以及基本不等式与其他知识相交汇问题.

难点：应用基本不等式时对取等号条件的识别;应用基本不等式解决实际问题时的模型构建;处理基本不等式与其他知识相交汇的思维切入点.

1. 技巧开门，请君入瓮

运用基本不等式解题时，既要掌握基本不等式的“正用”技巧，也要注意基本不等式的逆用技巧，如≥（a，b>0），逆用就是ab≤2（a，b>0）.

2. 变形开门，信息传送

明晰以下两种变形应用，可加快解题速度：①≥2≥ab（a，b∈R，当且仅当a=b时取等号）;②≥≥≥（a>0，b>0，当且仅当a=b时取等号）.

3. 警钟开门，引以为戒

（1）使用基本不等式求最值时，要注意：一是正数条件，即a和b都是正数;二是定值条件，即和是定值或积是定值;三是相等条件，即a=b时取等号，简称“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可.

（2）在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

（3）若连续两次（或两次以上）使用基本不等式求最值，必须使两次（或两次以上）等号成立的条件一致，否则最值取不到.

1.？摇利用基本不等式比较大小

例1  若正数x，y满足x2+3xy-1=0，则x+y，x2+2xy的大小关系为________.

思索  要比较x+y与x2+2xy的大小，先利用已知条件，把式子x2+2xy转化成，并把式子x+y转化为只含一个未知元的代数式;再利用基本不等式，即可得结论.

破解  因为正数x，y满足x2+3xy-1=0，所以x2+2xy=（x2+3xy）=，且y=-x，所以x+y=x+-x=+≥2=（当且仅当=，即x=时，等号成立），故应填：x+y≥x2+2xy.

小结  破解比较大小试题的两步曲：一是会“转化”，即把二元代数式，利用已知条件转化为一元代数式或常数;二是懂“应用”，即利用基本不等式比较大小.

2.？摇利用基本不等式求最值

例2  （2014年高考重庆卷）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（    ）

A. 6+2？摇？摇？摇 B. 7+2？摇？摇

C. 6+4？摇？摇？摇 D. 7+4

思索  利用对数运算法则，得正数a，b的关系式，再利用基本不等式，注意“配”的技巧，即可求得a+b的最小值.

破解  因为log4（3a+4b）=log2，所以=，且a>0，b>0，所以3a+4b=ab，所以+=1，所以a+b=+（a+b）=7++≥7+2=7+4. 当且仅当=，3a+4b=ab，即a=2+4，b=2+3 时，等号成立. 故选D.

例3  若点A（m，n）在第一象限，且在直线+=1上，则mn的最大值为________.

思索  把点A的坐标代入直线方程中，和为定值，利用基本不等式，可求出积的最大值.

破解  因为点A（m，n）在第一象限，且在直线+=1上，所以m，n∈R？鄢，且+=1，所以·≤2（当且仅当==，即m=，n=2时，等号成立），所以·≤2=，即mn≤3，所以mn的最大值为3.

小结  基本不等式具有将“积（和）式”转化为“和（积）式”的功能，即和为定值，积有最大值;积为定值，和有最小值.

3.？摇利用基本不等式证明不等式

例4  （2014年高考新课标卷Ⅱ）设函数f（x）=x++x-a（a>0），证明： f（x）≥2.

思索  先利用绝对值三角形不等式，消去未知元，再利用基本不等式，即可得结论.

破解  因为f（x）=x++x-a≥x+-（x-a）=+a. 又因为a>0，所以+a≥2=2（当且仅当a=1时等号成立），所以f（x）≥2.

小结  利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种类型，其证明关键是从“已知”看“可知”，逐步逼近“未知”，其逐步推理，实质上是寻找已知的必要条件，借助基本不等式和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证明的问题.

4.？摇利用基本不等式解决恒成立问题

例5  已知正实数x，y满足x+y+3=xy，若对任意满足条件的x，y，都有（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围为________.

思索  先根据x+y+3=xy求出x+y的取值范围，再求出（x+y）+的最小值，要使得a≤（x+y）+恒成立，只要（x+y）+的最小值大于或等于a即可.

破解  要使（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则有（x+y）2+1≥a（x+y），即a≤（x+y）+恒成立. 由x+y+3=xy得x+y+3=xy≤，即（x+y）2-4（x+y）-12≥0，解得x+y≥6或x+y≤-2（舍去）. 设t=x+y，则t≥6，函数y=（x+y）+=t+，在t≥6时，函数单调递增，所以y=t+的最小值为6+=，所以a≤，即实数a的取值范围是-∞，.

小结  当不等式一边的函数（或代数式）的最值较易求出时，可直接求出这个最值（最值可能含有参数），然后建立关于参数的不等式求解.

5.？摇应用基本不等式解实际应用问题endprint

例6  （2014年高考湖北卷）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=.

（1）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为________辆/小时;

（2）如果限定车型，l=5， 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加________辆/小时.

思索  （1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量，再与（1）的最大车流量比较，即可得结论.

破解  （1）因为l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定车型，l=6.05时，最大车流量为1900辆/小时.

（2）因为l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5时，最大车流量为2000辆/小时.因为2000-1900=100，所以限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时.

6. 基本不等式与其他知识相交汇

例7  （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则PA·PB的最大值是________.

思索  依题意，先求出定点A，B的坐标，再判断已知两动直线的位置关系，从而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解  因为动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0过定点B（1，3），依题意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（当且仅当PA=PB=时，等号成立），所以PA·PB的最大值是5.

小结  破解此类交汇题的关键：一是“动中求静”，即分别求出两动直线所经过的定点的坐标;二是“静中有动”，即判断两定点与两动直线的交点P的位置关系;三是活用公式，由于基本不等式具有将“积式”转化为“和式”的功能，因此，应活用此公式求最值.

1. 已知正数a，b满足4a+b=30，使得+取最小值的实数对（a，b）是（    ）

A. （5，10） B. （6，6）？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. （10，5） D. （7，2）

2. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三点共线，则+的最小值是（    ）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？摇 D. a≥

4. 为了迎接2014年11月11日“双11”购物节的到来，某厂家举行了促销活动，经测算，某产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=3-，已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为4+元/万件. 促销费用投入（    ）万元时，厂家的利润最大.

A. 1   B. 1.5   C. 2   D. 3

5. 设正数x，y满足2x+y=2，则+，4x2+4xy+y2的大小关系为________.

参考答案

1. A    2. B

3. D    4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint

例6  （2014年高考湖北卷）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=.

（1）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为________辆/小时;

（2）如果限定车型，l=5， 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加________辆/小时.

思索  （1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量，再与（1）的最大车流量比较，即可得结论.

破解  （1）因为l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定车型，l=6.05时，最大车流量为1900辆/小时.

（2）因为l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5时，最大车流量为2000辆/小时.因为2000-1900=100，所以限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时.

6. 基本不等式与其他知识相交汇

例7  （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则PA·PB的最大值是________.

思索  依题意，先求出定点A，B的坐标，再判断已知两动直线的位置关系，从而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解  因为动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0过定点B（1，3），依题意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（当且仅当PA=PB=时，等号成立），所以PA·PB的最大值是5.

小结  破解此类交汇题的关键：一是“动中求静”，即分别求出两动直线所经过的定点的坐标;二是“静中有动”，即判断两定点与两动直线的交点P的位置关系;三是活用公式，由于基本不等式具有将“积式”转化为“和式”的功能，因此，应活用此公式求最值.

1. 已知正数a，b满足4a+b=30，使得+取最小值的实数对（a，b）是（    ）

A. （5，10） B. （6，6）？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. （10，5） D. （7，2）

2. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三点共线，则+的最小值是（    ）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？摇 D. a≥

4. 为了迎接2014年11月11日“双11”购物节的到来，某厂家举行了促销活动，经测算，某产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=3-，已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为4+元/万件. 促销费用投入（    ）万元时，厂家的利润最大.

A. 1   B. 1.5   C. 2   D. 3

5. 设正数x，y满足2x+y=2，则+，4x2+4xy+y2的大小关系为________.

参考答案

1. A    2. B

3. D    4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint

例6  （2014年高考湖北卷）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F（单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时）与车流速度v（假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒）、平均车长l（单位：米）的值有关，其公式为F=.

（1）如果不限定车型，l=6.05，则最大车流量为________辆/小时;

（2）如果限定车型，l=5， 则最大车流量比（1）中的最大车流量增加________辆/小时.

思索  （1）把l=6.05代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量;（2）把l=5代入公式F=，利用基本不等式，即可求出最大车流量，再与（1）的最大车流量比较，即可得结论.

破解  （1）因为l=6.05，所以F===≤=1900. 所以不限定车型，l=6.05时，最大车流量为1900辆/小时.

（2）因为l=5，所以由已知可得F===≤=2000.所以l=5时，最大车流量为2000辆/小时.因为2000-1900=100，所以限定车型，l=5，则最大车流量比（1）中的最大车流量增加100辆/小时.

6. 基本不等式与其他知识相交汇

例7  （2014年高考四川卷）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则PA·PB的最大值是________.

思索  依题意，先求出定点A，B的坐标，再判断已知两动直线的位置关系，从而可求出PA2+PB2的值;再利用基本不等式，即可求出PA·PB的最大值.

破解  因为动直线x+my=0过定点A（0，0），动直线mx-y-m+3=0过定点B（1，3），依题意知PA⊥PB，所以PA2+PB2=AB2=10，故PA·PB≤=5（当且仅当PA=PB=时，等号成立），所以PA·PB的最大值是5.

小结  破解此类交汇题的关键：一是“动中求静”，即分别求出两动直线所经过的定点的坐标;二是“静中有动”，即判断两定点与两动直线的交点P的位置关系;三是活用公式，由于基本不等式具有将“积式”转化为“和式”的功能，因此，应活用此公式求最值.

1. 已知正数a，b满足4a+b=30，使得+取最小值的实数对（a，b）是（    ）

A. （5，10） B. （6，6）？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. （10，5） D. （7，2）

2. 设e1，e2是平面内两个不共线的向量，=（a-1）e1+e2，=be1-2e2（a>0，b>0）. 若A，B，C三点共线，则+的最小值是（    ）

A. 2 B. 4

C. 6 D. 8

3. 若x，y∈（0，2]，且xy=2，不等式a（2x+y）≥（2-x）（4-y）恒成立，则实数a的取值范围为（    ）

A. a≤ B. a≤2

C. a≥2？摇 D. a≥

4. 为了迎接2014年11月11日“双11”购物节的到来，某厂家举行了促销活动，经测算，某产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P=3-，已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为4+元/万件. 促销费用投入（    ）万元时，厂家的利润最大.

A. 1   B. 1.5   C. 2   D. 3

5. 设正数x，y满足2x+y=2，则+，4x2+4xy+y2的大小关系为________.

参考答案

1. A    2. B

3. D    4. A

5. +≥4x2+4xy+y2endprint