12位Sigma-Delta模数转换器的降采样滤波器设计

黄博志

（福州瑞芯微电子有限公司，福州 350003）

1 引言

随着大规模集成电路的发展，Sigma-Delta模数转换器被广泛应用于通信领域和测量领域。其采用了过采样、噪声调制和数字信号处理等技术，可以在实现高转换精度的同时控制经济成本。比如在电池管理系统中，先进的充放电算法依赖于精确的电池电压值，而电压值的采样读取功能可以通过高精度的Sigma-Delta模数转换器来实现。

本文第二节对Sigma-Delta调制原理进行了理论描述；第三节设计了两种降采样滤波器并进行了对比分析；最后描述了MATLAB中的仿真过程并总结了仿真结果。

2 Sigma-Delta调制

传统的模数转换是对输入信号进行奈奎斯特采样（fn=2fb），其中fb是输入信号的最大频率。这样要求在模数转换器前置一个模拟低通滤波器对信号进行前滤波来防止频谱混叠。数字信号的输出是一个N比特的量化器，该量化器具有最小电压步进：

其量化噪声的能量为：

量化噪声的频谱如下：

对信号进行过采样后，其量化噪声频谱会延拓到更宽的频带，在OSR=fs/fn的过采样率下，量化噪声的频谱变成：

图1所示是一个基本的单阶Sigma-Delta调制器，它的输出z变换公式是[1]：

其中E(z)是量化噪声。

在相同的过采样率下要得到更高的信噪比，经常采用级联的高阶Sigma-Delta调制器，一个L级Sigma-Delta调制器的噪声整形公式如下：

其噪声频谱是：

从公式（3）、（4）、（7）可知，量化噪声经过整形后通过低通滤波器，其能量可以被大幅减小。

奈奎斯特采样、过采样和Sigma-Delta调制器的信噪比公式分别如下：

一个12位的模数转换器所需的信噪比是74 dB，如果用1-bit的数模量化器，至少需要4 187 936倍的过采样率，这么高的过采样率很难实现，而Sigma-Delta调制器可以用来降低所需的过采样率。

从公式（7）和（10）可以计算出Sigma-Delta调制器带内的信噪比[2]：

由此可以得到满足12位模数转换器所需要的理论过采样率（见表1），这里选择64倍过采样率的两级Sigma-Delta调制器来实现12位模数转换器。

图1 Sigma-Delta调制器

表1 12位Sigma-Delta模数转换器的理论过采样率

3 数字降采样滤波器

模拟输入经过过采样、Sigma-Delta调制和1-bit量化器之后，输出的信号是一个高频1-bit数据流，数字降采样滤波器首先把调制到带外的量化噪声滤除，然后将1-bit的数据流转化成奈奎斯特速率下的N-bit数据流。我们采用两种方案来设计数字降采样滤波器：单段式降采样滤波器和多段式降采样滤波器。

单段式降采样滤波器采用FIR滤波器，滤波器的设计参数可以简单地由Sigma-Delta调制器的阶数和信噪比需求计算得到。随着过采样率的增加，单段式FIR滤波器的级数也必须随之增加才能满足滤波器的性能需求，因此单段式FIR滤波器过采样率会有限制。

当离散的信号被降采样后，在带外的噪声又会重新混叠到带内，混叠频段如下：

其中D为降采样率。

单段式降采样滤波器的降采样率等于过采样率，因此混叠频带会延拓到整个过采样带（如图2所示）。

图2 混叠频带的延拓

经过低通滤波后，混叠噪声能量如下：

波纹失真能量为：

表2是一个12位Sigma-Delta模数转换器的单段式FIR滤波器参数。在MATLAB中分别用Kaiser窗和Parks-McClellan算法（Equiripple）来设计FIR滤波器，图3可以看到噪声的滤波抑制，滤波结果如表3所示。

表2 单段式FIR滤波器规格

表3 MATLAB FIR滤波器设计

对于高倍率的降采样率，我们采用多段式的降采样滤波器来实现更高的频率并节省硬件开销。一种“CIC+Halfband”的降采样滤波架构被证明是一种高效的Sigma-Delta滤波方案[3]。表4列出了单段式降采样滤波器和“CIC+Halfband”多段式降采样滤波器的阶数对比，图4是一种用于Sigma-Delta模数转换器的多段式降采样滤波器结构。

图3 噪声滤波响应

滤波器第一级是CIC（cascaded integratorcomb）滤波器，这是一种常用于大采样倍率和抗混叠的高效滤波器[4]。图4所示是CIC降采样滤波器的基础结构，它的转换公式是：

其中R是抽样系数，M是差分延时，N是级联阶数。

当0≤f≤fs/OSR并且OSR过采样率较大时，公式（15）的幅值响应可以近似为：

其中T=1/ fs是采样时间。

图6所示是一个CIC滤波器的频率响应，经过降采样，其混叠主要分布在下列区域：

图4 多段式降采样滤波器

图5 CIC降采样滤波器（3阶）

混叠到带内的总噪声能量计算如下：

以fs=16 kHz，fb=100 Hz为例来计算Pnoise的结果，见表5。

表4 12位Sigma-Delta模数转换器的不同滤波器阶数对比

表5 CIC降采样滤波器的抗混叠信噪比

CIC滤波器在带内也会有衰减，因此需要增加一个补偿器来补偿带内衰减。同时该补偿器还可以实现2∶1的降采样。

图6 CIC滤波器频谱响应

Halfband是一种特别的FIR滤波器[5]，它比传统的FIR滤波器结构更简单。Halfband滤波器的频率响应以采样频率为中心对称，这种特性使得其一半的滤波系数值为零。单个Halfband滤波器只能实现2∶1的降采样，因此需要进行级联才能实现高倍的降采样率。

要实现上文提到的一个64∶1的降采样滤波器，需要用到三段式滤波器。第一段是一个16∶1的3阶CIC滤波器，第二段是2∶1的CIC补偿器，最后是一个2∶1的Halfband滤波器。

图7 Simulink中的Sigma-Delta模数转换器仿真结构图

4 仿真实验

这里使用MATLAB的simulink工具可以对整个设计进行仿真实验。图7所示是Sigma-Delta模数转换器的结构图，其中的降采样滤波器部分采用了前面所述的两种结构。图8是采用两种滤波器结构的Sigma-Delta模数转换器输出结果，（a）为单段式滤波器方案，（b）为多段式滤波器方案。

图8 Sigma-Delta模数转换器仿真结果

从仿真结果可知，单段式滤波器和多段式滤波器都适用于Sigma-Delta模数转换器设计，但是单段式滤波器只能用于较低过采样率的设计，随着过采样率的增大，多段式滤波器可以在相同性能要求下使用较少的滤波器阶数。

5 结论

本文首先介绍了过采样理论、Sigma-Delta调制和降采样滤波器，然后给出了不同降采样滤波器的信噪比计算公式，并根据12 bit Sigma-Delta模数转换器的信噪比需求出发，给出了两种滤波器的设计方案（包括结构设计和参数规格），最后用MATLAB对滤波器进行模拟仿真。该滤波器设计验证了前端算法并明确了后期硬件电路的架构和规格，具有结构简单、性能评估准确等特点，能够加快Sigma-Delta模数转换器硬件电路的设计和实现。

[1] H Inose, Y Yasuda and J Marakami.A telemetering system by code modulation∶ Delta-sigma modulation[C].IRE Transactions on Space, Electronics and Telemetry8.1962∶ 204-209.

[2] S Norsworthy, R Schreier, G Temes. Delta-SigmaData Converters∶ Theory, Design, and Simulation[M]. New York∶ IEEE Press. 1996∶ 7-15.

[3] Chen Lei, Zhao Yanfu. A Decimation Filter Design And Implementation For Oversampled Sigma Delta A/D Converters[C]. Proceeding of 2005 IEEE International workshop on.VLSI Design& Video Tech. 2005∶ 55-58.

[4] E Hogenauer. An Economical Class of Digital Filters for Decimation and Interpolation[C]. IEEE Trans. Acoustics,Speech and Signal Processing. April 1981∶155-162.

[5] Sangil Park.Multistage Decimation Filter Design Technique for High-Resolution Sigma-Delta A/D Converters[C].IEEE Trans. Instrumentation and Measurement,1992,41(6)∶813-868.