各向异性椭圆方程障碍问题弱解的拟最小化性质

(杭州电子科技大学应用数学与工程计算研究所，浙江 杭州310018)

0 引 言

近年来，椭圆方程弱解和很弱解的研究有了很大进展。拟最小化性质是研究椭圆方程解的重要工具之一。针对各向同性情形下椭圆方程的弱解，在不同条件下可得到其拟最小化性质。文献[1]给出了椭圆方程经典的弱解在相差一个常数因子不计的情况下，u 具有最小的p-Dirichlet 积分，即u 具有最小的能量。文献[2]使用Hodge 分解等工具得到了A-调和方程障碍问题很弱解的拟最小化性质，从而得了很弱解的局部与整体高阶可积性。文献[3]同样使用了Hodge 分解工具得到了拟线性椭圆方程-divA(x，Du)=-divF(x)双障碍问题很弱解的拟最小化性质。文献[4]首先得到了A-调和方程双边障碍问题很弱解的拟最小化性质，从而给出了很弱解的全局正则性。关于各向异性情形下椭圆方程的弱解，文献[5]将椭圆方程弱解的局部正则性推广到各向异性情形。文献[6]拓广了文献[5]的结果到各向异性的A-调和方程的障碍问题上。但是在各向异性情形下椭圆方程障碍问题的弱解其拟最小化性质尚未得到研究。本文利用Hölder 不等式和Young 不等式等工具将拟最小化性质推广到了各向异性情形。

1 预备知识

设Ω⊂Rn是有界开集，设pi＞1，i =1，2，…，n。定义

对几乎所有的x∈Ω 及所有的ξ∈Rn都成立，其中α，β为常数，A(x，0)=0。

设φ，ψ为Ω 中任意取值于R∪{±∞}的函数，θ∈W1，pi(Ω)。设函数φ，ψ为障碍，θ为边值。

定义中函数φ，ψ为障碍，θ为边值。

2 主要结果

3 主要结果的证明

在证明过程中，常数C是可以线性变化的。

4 结束语

本文研究了A-调和方程各向异性障碍问题弱解的拟最小化性质，通过应用Hölder 不等式，Young不等式以及一些基本不等式完成了积分不等式的估计，为进一步研究各向异性A-调和方程障碍问题解的性质奠定了基础。

[1]Heinonen J，Kilpelainen T，Martio O.Nonlinear Potential Theory of Second Order Degenerate Elliptic Partial Differential Equation[M].Oxford:Oxford University Press，1993:1-402.

[2]高红亚，王珉，赵洪亮.A-调和方程障碍问题的很弱解[J].数学研究评论，2004，24(1):159-167.

[3]Bao G J，Wang T T，Li G F.On very weak solutions to a class of double obstacle problems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2013，(402):702-709.

[4]史明宇.拟正则映射与A-调和方程很弱解的若干性质[D].长沙:湖南大学，2010.

[5]Giachetti D，Porzio M M.Local regularity results for minima of functionals of the calculus of variation[J].Nonlinear Analysis，2000，(39):463-482.

[6]Gao H Y，Huang Q H.Local regularity results for solutions of anisotropic obstacle problems[J].Theory，Methods ＆Applications，2012，75(13):4 761-4 765.