高维Kramers系统平均首次离出时间的渐近分析

(杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州310018)

0 引 言

Kramers 问题一直是现代通信理论、随机稳定性理论、现代金融理论的热点问题[1-3]，特别是在核裂变速率计算中有着广泛的应用，因此引起学者们的关注。目前，一维Kramers 问题已经得到较为深入的探讨;对于高维Kramers 问题，大多数工作是关于数值解的研究[4]。因此，对高维Kramers 问题进行渐近分析就显得尤为必要。本文采用奇异摄动渐近展开等方法，探讨了布朗离子从平衡点吸引域离出的情况，获得了首次离出时间的渐近解。

1 预备知识

在核裂变问题中，对于质点的Brown 运动可以用Langevin 方程来描述:

y∈Rn是质点的位置，α为n×n的对称矩阵，U(x)是势函数，Γ0是随机力，称这一系统为Kramers系统。

如果参数ε→0+，随机力Γ0以概率1 趋于0，则质点运动以较大的概率趋于确定性系统:

所满足的运动状态，并且其相应的Fokker—Planck 方程的定解区域在式(2)的吸引域上。

对于式(1)进行正交变换。令y=Tx，则式(1)化为:

令T-1=T'，则有▽yU=T·▽xU，记T-1Γ0=Γ，式(3)变为:

式中，β=T-1αT为对角阵，令x=(x1，…，xn)则n维平面上Brown 粒子运动的Langevin 方程可表示为:

其对应的确定性系统为:

设XA=(x1A，…，xnA，0，…，0)为式(7)的一个稳定奇点，Ω是其吸引域，Γ是其边界，该部分本文仅考虑在Γ 上有唯一奇点XC=(x1C，…，xnC，0，…，0)且XC是鞍点的情形，不妨设XC=(0，…，0)(这一假设是合理的，若不是原点，则可通过适当的坐标变换将XC变换为坐标原点)。

2 平均首次离出时间的渐近分析

由随机微分方程理论，布朗粒子在该吸引域的期望离出时间uε(X)=E[ ε(X)]是下列Dirichlet 问题的解:

定理设X(t)为式(6)在区域Ω 内的解，则X(t)从Ω 内离出的平均首次离出时间的渐近表达式为证明 由随机微分方程理论可知，当ε→0时期望离出时间按指数增加。因此，可以假设:

令ε=0，则首项V0满足L0V0=·▽V0=0，故dV0(X(t))/dt=0。因此V0在式(7)的特征线上是常数。又由于Ω是稳定奇点XA的吸引域，所以当t→+∞时，特征线均收敛于点XA，而V0在点XA是连续的，因此V0在Ω 内是常数。由于所以V0≡1。

由于Vε不满足边界条件式(11)，因此在边界附近需要一个边界层校正项vε，使Vε=V0+vε，则由式(8)(11)可知，vε满足:

在边界层附近引进局部坐标，从而构造边界层展开式。对式(12)作局部坐标变换(x1，…，x2n-1，x2n)→(x1，…，x2n-1，ρ)，ρ=-dist(X，∂Ω)。设由于Γ是其吸引域边界，它是特征边界，那么在Γ 上有是Γ的单位外法向)，所以

P0(x1，…，x2n-1，μ)= Q0(x1，…，x2n-1，η)，且满足所以式(14)的解为

设L*ε是Lε的共轭算子为能量函数，经检验可知φ(X)=e-E(X)/ε满足方程用函数φ 乘以式(10)的两端，再在Ω 上积分，得对该式左边运用格林公式，可得其中是Γ 上的单位外法向，Vε=V0+vε=1+P0+ο(ε)。因此平均首次离出时间证毕。

3 结束语

本文主要运用奇异摄动渐近展开、局部坐标变换、边界层展开方法得到了高维Kramers系统平均首次离出时间的渐近表达式，为后续研究高维Kramers系统离出点分布和尾部轨迹离出点分布等问题奠定了坚实的基础。

[1]郑薇.二维具变阻尼阵的Kramers 问题的渐近分析[D].杭州:杭州电子科技大学，2009.

[2]Alexander Spivak，Zeev Schuss.Analytical and Numerical Study of Kramers' Exit Problem I[J].Appllied Mathematics E-Notes，2002，2:132-140.

[3]Alexander Spivak，Zeev Schuss.Analytical and Numerical Study of Kramers'Exit Problem Ⅱ[J].Appllied Mathematics E-Notes，2003，3:147-155.

[4]胡济民，钟云霄.裂变的布朗运动模型[J].高能物理与核物理，1980，4(3):368-373.

[5]Zeev Schuss.Theory and Application of Stochastic Differential Equations[M].New York:John Wiley and Sons，1980:38-243.