例析数学课堂“问题解决”的策略

徐成祥

[摘 要] 不同的解题指导思想会产生不同的解题效果. 教师注重反思解题思路，可以培养思维的开阔性；反思解题途径可以培养学生思维的批判性；反思题的结论可以培养学生思维的创造性.

[关键词] 数学课堂；问题解决；教学策略；探究与反思

问题解决属于数学教学的主要构件，如今已经越来越多地被运用到数学教学中. 解题教学反思对学生正确解答数学题具有良好的指导作用，并在数学教学中已经取得了一定的效果. 教师在教学中有意识地向学生灌输反思与探究思想，让学生学会对各类问题进行反思，这样就能有效提高教学效果，提高学生的数学成绩，提升学生的思维水平和探究效果.

数学课堂问题解决的价值判断

学生在解题中出现错误的原因往往有多种，有可能是知识、能力上存在缺陷，有可能是逻辑思维、策略方法导致，还有可能是非智力因素造成. 因而，学生在完成一道题目之后有必要对解题的正确度做进一步思考. 其实，解题反思就是对问题解答进行的一次“再认识”过程，是对解题活动的深层次再思考，属于解题活动的“元知识”过程.

1. 数学反思是纠错的重要手段

反思是数学思维活动的核心和动力，错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素. 反思错误通常需要弄清错误的根源、出错的原因，总结哪些地方最容易犯错后，提出正确的解题思路和方法. 反思是纠错的重要手段，不仅能改善学生的思维能力和习惯，还能提高学生的解题能力.

2. 有利于提高学生的学习效率

在如今竞争激烈的升学压力下，许多数学教师还是会采取“题海战术”的教学模式，认为多做习题能提高学生的学习成绩. “题海战术”的教学模式是教师想通过量变影响质变，让学习学会举一反三、提高解题能力，从而提高数学的学习效率. 但是，这种模式很容易让学生产生疲倦感，从而丧失学习兴趣. 做得多，思考得少，将无法掌握问题之间的内在联系，而只有在解决一定量的问题之后，及时引导学生对问题进行反思，探索出问题的本质规律，才能达到举一反三的效果，提高学习效率.

3. 有利于帮助学生形成系统的认知结构

反思教学是一种巩固和加强知识的有效方法，教师和学生需要充分认识到这一点. 在初中数学教学中，学生除了单纯完成正确解题的任务外，更重要的是需要对所接触的问题进行规律、方法、经验等多方面的反思，并最后转化成最适合自己的解题方式. 学生一旦养成解题后习惯性反思的良好习惯，就能加深对问题的横向和纵向理解，拓宽知识面，丰富数学知识体系.

数学课堂问题教学的策略分析

在初中数学学习过程中，一道题目做过很多次，教师也详细讲解过很多次，但学生还是会一错再错，这种题目就是我们所说的易错题. 出现这种情况的原因有很多种，有可能是学生对数学概念未弄清，有可能是学生对数学公式无法灵活运用，也有可能是审题不清楚. 所以，要想纠正这些易错题，就必须弄清错误的原因，从而采取相应的纠正措施. 不少学生准备的“易错习题本”为这类易错题型的反思提供了很好的素材. 学生进行数学学习主要存在以下认知偏差.

1. 数学概念理解不清楚

要想真正学好数学这门学科，正确理解数学中的各类概念是一大关键. 从目前学生的学习情况来看，大多数学生能熟练而正确地将课本中的概念、定理、定义背诵出来，但真正能理解并熟练应用这些概念的学生却很少. 也正是因为学生在解题过程中，对相应知识的一知半解、考虑不周全，才导致了错误的产生.

例1 下列说法正确的是（ ）

A. 正数的相反数一定是负数，正数与负数互为相反数

B. 因为正数和零的绝对值是它本身，所以绝对值等于本身的数是正数和零

C. 从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这一点到已知直线的距离

D. 角是轴对称图形，角平分线是它的对称轴.

错解 A或C或D. 对于A，相反数不仅要符号相反，还要绝对值相等. 正数与负数虽然符号相反，但不一定能保证绝对值相等. 对于C，距离是指某条线段的长度，垂线段是几何图形，它不能作为距离. 对于D，对称轴是直线，而角平分线是射线，故错误.

正解 B

反思 在概念教学中，可通过具体例子使学生对抽象的概念有一个具体的感性认识. 在此基础之上，可再举一些反例，通过暴露错误，纠正学生头脑中的错误信息，从而得以加深对数学概念内涵和外延的理解.

2. 题意把握不准确

很多学生在学习数学时都会有这样一种困惑，各种各样的练习题做了不少，但是遇到“没见过”的题目总感觉无从下手，这究竟是什么原因？“没见过”只是学生的主观感觉而已，其实这些题目在日常训练题中出现过，之所以会感觉无从下手，主要是因为学生审题不清，对题设条件理解得不够深刻，因而无法将题设条件与曾经做过的题目快速有效地联系起来，以至于题目稍作修改学生便感觉无从下手. 可以说，审题就是解题的基础，是快速而正确解题的前提.

例2 △ABC的两个角是70°和60°，而△DEF的两个角是70°和50°，问：这两个三角形相似吗？

错解 这两个三角形不相似. 学生乍一看，这两个三角形中并没有对应相等的两个角，就匆忙定下两个三角形不相似的结论.

正解 这两个三角形相似.

反思 正确答案应该是两个三角形相似，因为在这个题目中存在一个隐含条件“三角形的内角和等于180°”，根据这个条件我们可以得出△ABC的第三个角是50°，如此就能得出这两个三角形中有两个角是对应且相等的，因而最后的答案就是这两个三角形相似.

3. 新旧知识相互摄制

随着数学知识的展开和深入，学习难度会逐渐加大，且数学有些新旧知识本身就存在相互干扰的特点. 例如，在学习有理数减法这一知识点时，学生需要明白的是“减去一个数等于加上这个数的相反数”这一定理，所以“2-8”中的“-”代表的是减号，学生很容易先入为主地将“-”标志当成减号. 而当学到“代数和”这一知识点时，麻烦就来了，“2-8”应该被看成是2与负8之间的总和，在这个条件下，“-”代表的是负号. 学生容易犯错的点，往往就出现在这些看似简单但细微的条件变化中. 学生一旦对“-”所代表的符号产生疑惑，就很容易在计算中出现运算错误.

4. 运算过程不规范

要想学好数学，离不开精确的计算，而要想达到精确的计算要求，学生就必须具备良好的运算能力. 整式运算属于初中数学的一个重要基础部分，倘若没有扎实的数学运算能力，就算思维能力再强，数学想得高分也十分困难. 导致运算不正确的原因有很多，如数学基础知识掌握不够、不能将所学知识灵活运用到实际问题中、思维过程不严谨等，这就会直接影响学生的学习质量.

如何通过问题解决培植学生的

反思能力

1. 善于反思和总结解题规律

相同类型的题目，其往往具备一定的解题规律，当教师为学生讲解完一个问题之后，应不失时机地引导学生去反思其解题方法，总结其中的规律所在. 这样一来，在面对相同问题时就可以采取以往总结的经验来进行解答，起到事半功倍的效果，大大提高学生的解题能力.

例3 观察下列数字：0，3，8，15，24…按照这种规律，请写出第108个数.

解答这一题，我们首先应找出一般规律，再依照这个规律，计算出第108个数. 我们将“0，3，8，15，24…”当成“1，2，3，4，5…”序列号来对比分析，很快就会发现“0，3，8，15，24…”中的每一项等于其“相应序号的平分减1”，根据这个规律我们就能得出一个结论——“第n项就是n2-1”，而第108项则是1082-1.

2. 掌握“一题多解”的解题技能

一题多解就是从多个角度和多个层次上来思考问题的解决. 随着数学学习的深入、数学知识的积累，解答同一问题的方法也会越来越多. 就拿数学公式来说，在理解基本公式内涵的基础上，还可以对公式进行适当变形，通常一个公式的等价变形会有多种形式，学生在解题时选择适合的变形方式后便可提高应用公式的效能. 通过增强学生对多种解题方法的反思意识，能让学生的思维触角扩大到更多的方向和层次上，发散学生的思维能力，增强学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力.

例4 一种洗衣机，现在每台的价格是2288元，相比原来，价格降低了15%. 提问：冰箱原来的价格是多少？ 假设每台洗衣机的原价为x.

解法1 可以根据“原来每台冰箱的价格减去每台降低的价钱就等于现在每台的价钱”来列方程，即x-15%x=2288.

解法2 可以根据“每台冰箱降低的价格除以降低的百分比等于每台冰箱的原价”来列方程，即（x-2288）÷15%=x.

解法3 可以根据“现在每台冰箱降低的价格除以原来每台冰箱的价格等于降低的百分比”来列方程，即（x-2288）÷x=15%.

解法4 可以根据“现在每台冰箱的价钱等于原来每台冰箱的价钱乘以现价所占原价的百分比”来列方程，即x×（1-15%）=2288.

3. 培养学生“多题一解”的能力

数学题目是多种多样、千变万化的，加上数学本身的知识逻辑性比较强，知识体系之间的衔接十分紧密，所以解答时常常需要缜密地思考. 数学问题中有很多“一题多解”的题目，这种题目往往会有很多种解题方法，虽然形式上可能天差地别，但最终的结果却是一样. 初中数学中“一题多解”的题目还是很常见的，若我们能对这种类型的题目进行合理反思，就能观察到知识的内在联系，在通过巧妙地转化和运用之后，可以整理出综合验证的思路和方法，也就是我们所说的“多题一解”. 相比较“一题多解”，“多题一解”更能体现出核心的理念规律，通过举一反三、触类旁通的方式对多个问题做综合的总结与评价.

切实反思问题教学中的关注点

1. 反思解题的思维过程

数学家乔治·波利亚曾经针对数学解题问题指出过：“数学教学的目的在于培养学生的思维能力，培养良好思维品质的途径是进行有效的训练. ”数学解题不仅是对知识的联结，而且是数学思想和解题方法进行反复指导与推进的过程，所以学生不仅仅是直接参与解题，更是参与了解题的思维活动. 学生做完一道题后进行反思，并不是简单地检查答案的对错，而应依据题目的基本特征展开多角度、多方位的联想，看解答过程是否有错，以及错误的根源. 若解答正确，则反思还有没有别的解题思路，最后找出最佳解题方案.

例5 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，两根的和为m，两实根的平方和为n，提问：an +bn +2c的值是多少？

反思 通常看到这种题目，很多学生脑海里并没有一个清晰的思路. 可能最先想到的是从“根与函数的关系”角度着手，虽然最后也能解答出这道题目，但过程比较烦琐，计算稍有偏差就会出错. 解答这道题目最好的方法就是对题目的已知条件和所求目标特征进行反思. 仔细观察不难发现，条件“ax2+bx+c=0”与所求目标“an+bn+2c”中a，b，c的顺序完全一致，唯一不同的一点是，条件中c的系数是1，而所求目标c的系数是2，从1到2最简单的算法就是“加法”. 思考到这一步，学生就能很快领悟此题完全可以从“方程根的定义”着手，这样更加简单、方便. 具体解题步骤就不在这里详细解答了，总之学生的思维只要开阔，不仅能轻松学习数学，而且能达到事半功倍的效果.

2. 反思题目结论，培养学生思维的创造力

培养学生的创造力是全世界教育改革的共同方向，而数学教学要想更好地开发学生的智力，还需要培养学生的创造力. 我们这里的针对题目结论培养创造力，是指在活动中用独特的方式来展开思维，具体做法就是在解答完一个题目后，根据题目结论，反思从不同的角度出发能否重新编制出一个新的题型. 此类题目往往对学生的综合能力要求较高，教师可以从简单的概念性题目着手，循序渐进地推进，让学生根据课本中的例题和习题，自己新编题目并进行反思，让他们在体验问题设计的过程中感受到学习的快乐.