三角形面积的求解方法研究

姜丽娟

【摘 要】通过调查显示，在近几年全国各地中考试题中经常会涉及到求解三角形面积有关的问题，而在求解这类试题的过程中往往需要有机结合一次函数、二次函数与反比例函数的图像才能得出正确结果。因此出题的形式可以灵活多样，具有一定的综合性。鉴于此，我们在求解的过程中一定要看清题目中所给出的条件，然后总结同类题目的解题诀窍。本文将归纳出三角形面积的常见几种求解策略，希望能够为广大师生所用。

【关键词】三角形；面积；直角坐标系；考试

就目前而言，关于求解三角形面积的方法种类繁多，其中也不乏许多奇思妙想，让人回味无穷。但是大多数时候依然会利用S=1/2bcsinA=1/2acsinB=1/2absinC来解决该类问题，比较有趣味的是，我们在解题过程中可以将该公式根据题目的要求进行变形，使其坐标化以后在加以运用。这样使用起来就会感觉思路清晰，而且可以让人赏心悦目。

1 当三角形的其中一边与坐标轴平行或者直接在坐标轴上

举一个例子，如图1所示，在该平面直角坐标系中的一次函数（y1=kx+b（k≠0））与反比例函数（y2=a/x（a≠0））相交于A（2，1）和B（-1，-2）两点，与x轴的C点相交。求解：（1）分别求一次函数与反比例函数的解析式；（2）连接OA，计算三角形AOC的面积。

解：（1）依据一次函数（y1=kx+b（k≠0）），将A（2，1）和B（-1，-2）两点分别代入其中，可得2k+b=1 ，-k+b=-2，从而可以求出k=1，b=-1，此时便求出一次函数的方程式为y1=x-1。然后将A（2，1）代入到y2=a/x，得出a=2，所以反比例函数的方程式为y2=a/x；（2）从图中可以看出，三角形AOC的一边OC在x轴上，因此我们只需要想办法求出OC长，然后依据相关公式便能够求解了。具体地说，因为直线AB和x轴与点C相交，所以点C的纵坐标为0。而y1=0的时候，x=1，因此OC=1，又因为点A（2，1），因此三角形AOC的OC边上的高为1，所以S△AOC=1/2×1×1=1/2。这是一道关于一次函数与反比例函数相交的基础性试题，所考查的知识点主要是运用待定系数法求解三角形的面积。其主要目的是在于考查学生对解题方法是否已经掌握，该种类型的题目解法具有一定的代表性，其他在平面直角坐标系中秋季三角形面积的题目的原理都是万变不离其宗的。

2 当题目之中给出的条件无法直接计算出所求三角形面积的情况求解

通常情况下，对于这种类型的题目我们可以先将三角形面积的和或者差计算出来以后再去求解原三角形的面积。下面举例进行说明。如图2所示，抛物线y=ax2+bx-4与x轴相交于C点，而点P为AB线段上的一个动点，过点P作PD∥AC，并且与BC线段相交于点D，连接CP。求：①该抛物线的方程式；②点P运动到什么位置的时候，BP2=BC×BD；③当三角形PCD的面积是最大值的时候，求点P的坐标。

解：（1）因为从图2可知，抛物线y=ax2+bx-4与x轴的两点A（4，0）、B（-2，0）相交，代入方程中可得4a-2b-4=0 ，16a+4b-4=0，可以求出a=1/2，b=-1。所以可以得出抛物线的解析式方程为y=1/2x2-x-4；

（2）因为抛物线的解析式方程为y=1/2x2-x-4，令x=0时，y=-4，此时点C的坐标为（0，-4）。由于PD∥AC，所以三角形BPD与三角形BAC相似，所以BD/BC=BP/BA。因为BC=（OB2+OC2）的平方根=2×5的平方根，AB=6，BP=x+2，所以BD=5的平方根/3×（x+2），因为BP2=BC×BD，我们可以得出（x+2）2=5的平方根/3×（x+2）×2×5的平方根，从而可以解出x1=4/3，x2=-2（与题意不符合，舍去），所以点P的坐标为（4/3，0），换言之，当点P运动到（4/3，0）时，BP2=BC×BD；

（3）因为△BAC相似于△BPD，所以S△BPD/S△BAC=（BP/AB）2我们可以得出S△BPD=（BP/AB）2×S△BAC=1/2×（x+2）×4=2（x+2），得出S△PCD=S△BPC-S△BPD=2（x+2）-1/3（x+2）2=-1/3（x-1）2+3。因此当x=1的时候，S△PCD的最大值为3。这是一道有关二次函数的综合性题目，重点考查的内容是抛物线上点的坐标与方程二者之间的关系、相似三角形的性质、二次函数的最值（最大值或者最小值）以及平面直角坐标系中求解三角面积的方法，知识点比较多，综合性也比较强。我们这这种类型的题目中无法直接计算出所求三角形的面积，就需要综合其他的相关知识点辅助求解了。

综上所述，由于在现在的高考中求解三角形面积的题目出现的频率比较高，因此在教学过程中需要想方设法让学生们掌握求解的方法，能够做到举一反三，触类旁通。值得注意的是，本文只是列举了两种最容易出现的题型，还有很多其他的题型以及解题方法，但是有一点可以肯定的那就是需要在解题过程中有效运用题目中所给出的条件，然后再通过应用一次函数、二次函数、反比例函数的相关知识，充分的利用数形结合思想。

参考文献：

[1]曾晓阳.三角形面积的坐标公式在解几中的应用举例[J].数理化学习（高一二版），2014

[2]张宁.平面直角坐标系中三角形面积的求解策略[J].中学数学，2013endprint