特殊方程组的简捷解法反思

梁泽宏

摘 要：该文针对中职学生的特点，在中职数学教学中讲解用简捷解法来解答数学题或针对特殊方程组找到简捷解法去解答。由此推出解答此类方程组的性质，其他类似的方程组也可以很容易的解答出来，这样就可以达到事半功倍的效果，也能很好的提高学生的兴趣，从而让他们热爱数学、喜欢数学。

关键词：中职数学 解题 简捷解法 反思

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

对学生来说，中职数学习题课的教学他们相对很感兴趣，他们特别感兴趣的是能用简便方法去解决复杂的试题或方程组，这样对提高他们热爱数学、喜欢数学有很大的帮助。下面就通过几个例子的解答来看特殊方程组是怎样用简便方法求解的。

在中职数学教学中类似于方程组，我们通常用消元法求解，即从第一个方程中得到，代入第二个方程中解得，.但这种解法学生们在初中就学过了，对他们没有吸引力，怎样才能调动他们的积极性呢？笔者下面介绍一种简捷的解法，让学生们学到解题要领，培养学生在学习的过程中多观察、多思考的能力，让他们掌握学习的对自己一生都有用的东西。

先让学生们观察一下这个方程组，让学生们思考，然后让学生们说出他们的想法。老师最后才道出秘密。从这个方程组中可以很容易的看出，将其中一个方程中的与互换就得到了另一个方程，这也就是说，这两个方程中与所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道，互为反函数的两个函数的图象是关于直线对称的，它们的交点必在直线上，而二元一次方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标，因此，有如下性质：

方程组 是同解方程组。

根据这个性质，对于上述那样的方程组只需将其中一个方程用代入求解就可以了。例如开始那个方程组，将第一个方程（或第二个方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于适合条件的二元高次方程组或其它方程组，就显得更加简捷。下面举几个实例让同学们看看：

第一个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，，解得

所以，方程组的解是

第二个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，即，所以方程组的解是：

第三个实例：

分析：要解这样的二次根式题，对中职学校的学生肯定很难，但把此等式变通一下，就能够迎刃而解了。

解：首先令， ，，移项整理得：

，于是，就可以把方程组化为：

。根据刚才我们前面得出的性质，就得出，

即得 ，即

因为无论如何（在实数范围内都不可能等于零），所以当且仅当，即方程的解是。

通过以上三个实例的讲解，同学们应该学会了模仿，多做类似习题就能举一反三，今后遇到类似的方程组，就可以用此方法去求解了。

解题反思：上面第一个例题是二元二次方程组，如果用其他方法去解答是很复杂的，这对中职学校的学生来讲是一件困难的事，如果掌握了简捷解法，则是一件轻松的事，对提高他们的兴趣，增强他们的信心都有很大的帮助。第二题则是对数的二元二次方程组，比第一题更加复杂，如果学生们没有掌握简捷解法，根据他们所掌握的数学知识，他们是做不出来的。第三个实例是一元二次根式方程的求解，同样对中职学生有很大的难度。

对中职学生讲解数学习题，不能按对待普通高中生那种方法去讲解。因为中职学生的数学基础薄弱，在他们的心里早已认定数学是比较难学的科目，他们没有信心，因此，中职数学教师在教学时应该多鼓励他们。上课时尽量鼓励学生到讲台上解答数学题，以增强学生信心。比如有一年的高职单考数学题是一道填空题：28-9= ，我就让学生上讲台来做，学生发现居然如此简单，都争着上来做。很多学生都感叹说，我能搞定数学这科。有了自信，学生学习数学的热情、兴趣倍增。

另外还要重视学生的反思能力。在用简捷解法解答数学习题时，要引导学生多观察、多类比，从而提高学生的数学素质，培养学生的数学能力。使学生学会“反思”。做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训。搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”。

一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础。长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣。

参考文献

[1] 崔佃金.试论高中数学解题课的教学[M].山东人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求线性方程组全部解的一种简捷方法[J].宜宾学院学报，1991（1）.

[3] 杨立新，徐幸美.线性方程组解的讨论[J].中国科技信息，2006（14）.

[4] 何芳丽.浅谈齐次线性方程组基础解系的一种简单求法[J].科技资讯，2009（31）.endprint

摘 要：该文针对中职学生的特点，在中职数学教学中讲解用简捷解法来解答数学题或针对特殊方程组找到简捷解法去解答。由此推出解答此类方程组的性质，其他类似的方程组也可以很容易的解答出来，这样就可以达到事半功倍的效果，也能很好的提高学生的兴趣，从而让他们热爱数学、喜欢数学。

关键词：中职数学 解题 简捷解法 反思

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

对学生来说，中职数学习题课的教学他们相对很感兴趣，他们特别感兴趣的是能用简便方法去解决复杂的试题或方程组，这样对提高他们热爱数学、喜欢数学有很大的帮助。下面就通过几个例子的解答来看特殊方程组是怎样用简便方法求解的。

在中职数学教学中类似于方程组，我们通常用消元法求解，即从第一个方程中得到，代入第二个方程中解得，.但这种解法学生们在初中就学过了，对他们没有吸引力，怎样才能调动他们的积极性呢？笔者下面介绍一种简捷的解法，让学生们学到解题要领，培养学生在学习的过程中多观察、多思考的能力，让他们掌握学习的对自己一生都有用的东西。

先让学生们观察一下这个方程组，让学生们思考，然后让学生们说出他们的想法。老师最后才道出秘密。从这个方程组中可以很容易的看出，将其中一个方程中的与互换就得到了另一个方程，这也就是说，这两个方程中与所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道，互为反函数的两个函数的图象是关于直线对称的，它们的交点必在直线上，而二元一次方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标，因此，有如下性质：

方程组 是同解方程组。

根据这个性质，对于上述那样的方程组只需将其中一个方程用代入求解就可以了。例如开始那个方程组，将第一个方程（或第二个方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于适合条件的二元高次方程组或其它方程组，就显得更加简捷。下面举几个实例让同学们看看：

第一个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，，解得

所以，方程组的解是

第二个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，即，所以方程组的解是：

第三个实例：

分析：要解这样的二次根式题，对中职学校的学生肯定很难，但把此等式变通一下，就能够迎刃而解了。

解：首先令， ，，移项整理得：

，于是，就可以把方程组化为：

。根据刚才我们前面得出的性质，就得出，

即得 ，即

因为无论如何（在实数范围内都不可能等于零），所以当且仅当，即方程的解是。

通过以上三个实例的讲解，同学们应该学会了模仿，多做类似习题就能举一反三，今后遇到类似的方程组，就可以用此方法去求解了。

解题反思：上面第一个例题是二元二次方程组，如果用其他方法去解答是很复杂的，这对中职学校的学生来讲是一件困难的事，如果掌握了简捷解法，则是一件轻松的事，对提高他们的兴趣，增强他们的信心都有很大的帮助。第二题则是对数的二元二次方程组，比第一题更加复杂，如果学生们没有掌握简捷解法，根据他们所掌握的数学知识，他们是做不出来的。第三个实例是一元二次根式方程的求解，同样对中职学生有很大的难度。

对中职学生讲解数学习题，不能按对待普通高中生那种方法去讲解。因为中职学生的数学基础薄弱，在他们的心里早已认定数学是比较难学的科目，他们没有信心，因此，中职数学教师在教学时应该多鼓励他们。上课时尽量鼓励学生到讲台上解答数学题，以增强学生信心。比如有一年的高职单考数学题是一道填空题：28-9= ，我就让学生上讲台来做，学生发现居然如此简单，都争着上来做。很多学生都感叹说，我能搞定数学这科。有了自信，学生学习数学的热情、兴趣倍增。

另外还要重视学生的反思能力。在用简捷解法解答数学习题时，要引导学生多观察、多类比，从而提高学生的数学素质，培养学生的数学能力。使学生学会“反思”。做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训。搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”。

一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础。长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣。

参考文献

[1] 崔佃金.试论高中数学解题课的教学[M].山东人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求线性方程组全部解的一种简捷方法[J].宜宾学院学报，1991（1）.

[3] 杨立新，徐幸美.线性方程组解的讨论[J].中国科技信息，2006（14）.

[4] 何芳丽.浅谈齐次线性方程组基础解系的一种简单求法[J].科技资讯，2009（31）.endprint

摘 要：该文针对中职学生的特点，在中职数学教学中讲解用简捷解法来解答数学题或针对特殊方程组找到简捷解法去解答。由此推出解答此类方程组的性质，其他类似的方程组也可以很容易的解答出来，这样就可以达到事半功倍的效果，也能很好的提高学生的兴趣，从而让他们热爱数学、喜欢数学。

关键词：中职数学 解题 简捷解法 反思

中图分类号：G634 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）06（b）-0207-01

对学生来说，中职数学习题课的教学他们相对很感兴趣，他们特别感兴趣的是能用简便方法去解决复杂的试题或方程组，这样对提高他们热爱数学、喜欢数学有很大的帮助。下面就通过几个例子的解答来看特殊方程组是怎样用简便方法求解的。

在中职数学教学中类似于方程组，我们通常用消元法求解，即从第一个方程中得到，代入第二个方程中解得，.但这种解法学生们在初中就学过了，对他们没有吸引力，怎样才能调动他们的积极性呢？笔者下面介绍一种简捷的解法，让学生们学到解题要领，培养学生在学习的过程中多观察、多思考的能力，让他们掌握学习的对自己一生都有用的东西。

先让学生们观察一下这个方程组，让学生们思考，然后让学生们说出他们的想法。老师最后才道出秘密。从这个方程组中可以很容易的看出，将其中一个方程中的与互换就得到了另一个方程，这也就是说，这两个方程中与所表示出来的函数关系是互为反函数.我们知道，互为反函数的两个函数的图象是关于直线对称的，它们的交点必在直线上，而二元一次方程组的解就是这两个方程所对应的两条曲线交点的坐标，因此，有如下性质：

方程组 是同解方程组。

根据这个性质，对于上述那样的方程组只需将其中一个方程用代入求解就可以了。例如开始那个方程组，将第一个方程（或第二个方程）中的 （或）用（或）代入就很容易解得。

上述方法用于适合条件的二元高次方程组或其它方程组，就显得更加简捷。下面举几个实例让同学们看看：

第一个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，，解得

所以，方程组的解是

第二个实例：

解：在方程组中（1）或（2）式时用代入，得，，即，所以方程组的解是：

第三个实例：

分析：要解这样的二次根式题，对中职学校的学生肯定很难，但把此等式变通一下，就能够迎刃而解了。

解：首先令， ，，移项整理得：

，于是，就可以把方程组化为：

。根据刚才我们前面得出的性质，就得出，

即得 ，即

因为无论如何（在实数范围内都不可能等于零），所以当且仅当，即方程的解是。

通过以上三个实例的讲解，同学们应该学会了模仿，多做类似习题就能举一反三，今后遇到类似的方程组，就可以用此方法去求解了。

解题反思：上面第一个例题是二元二次方程组，如果用其他方法去解答是很复杂的，这对中职学校的学生来讲是一件困难的事，如果掌握了简捷解法，则是一件轻松的事，对提高他们的兴趣，增强他们的信心都有很大的帮助。第二题则是对数的二元二次方程组，比第一题更加复杂，如果学生们没有掌握简捷解法，根据他们所掌握的数学知识，他们是做不出来的。第三个实例是一元二次根式方程的求解，同样对中职学生有很大的难度。

对中职学生讲解数学习题，不能按对待普通高中生那种方法去讲解。因为中职学生的数学基础薄弱，在他们的心里早已认定数学是比较难学的科目，他们没有信心，因此，中职数学教师在教学时应该多鼓励他们。上课时尽量鼓励学生到讲台上解答数学题，以增强学生信心。比如有一年的高职单考数学题是一道填空题：28-9= ，我就让学生上讲台来做，学生发现居然如此简单，都争着上来做。很多学生都感叹说，我能搞定数学这科。有了自信，学生学习数学的热情、兴趣倍增。

另外还要重视学生的反思能力。在用简捷解法解答数学习题时，要引导学生多观察、多类比，从而提高学生的数学素质，培养学生的数学能力。使学生学会“反思”。做完一道题后，要再问几个为什么，并从中获得对下次解题有用的经验和教训。搞清楚“为什么”，才能在以后的解题中知道“做什么”和“如何做”。

一道数学题，经过一番艰辛与苦思冥想解出答案后，我们应认真进行如下探索：命题的意图是什么；考核哪些方面的知识和能力；验证解题结论是否合理，命题所提供条件的应用是否完备；求解论证过程是否判断有据，严密完善；本题有无其他解法；众多解法哪一种最简捷；把本题的解法和结论进一步推广，能否得到普遍性结论，解此题的思路方法是什么等。

反思的目的在于深化对知识的理解，促进知识结构的不断分解组合，使思维有一个正确可靠的基础。长期进行反思，还可培养学生对试题的鉴赏能力，对那些知识容量大，各知识间结构联系巧妙的试题产生美感，引起兴趣。

参考文献

[1] 崔佃金.试论高中数学解题课的教学[M].山东人民出版社，2008.

[2] 李宗俊.求线性方程组全部解的一种简捷方法[J].宜宾学院学报，1991（1）.

[3] 杨立新，徐幸美.线性方程组解的讨论[J].中国科技信息，2006（14）.

[4] 何芳丽.浅谈齐次线性方程组基础解系的一种简单求法[J].科技资讯，2009（31）.endprint