浅议一元二次含参不等式的解法

聂向英

解含有参数的一元二次不等式是高中数学的一类重要题型，也是教学的一个重点.要想准确地解决这类问题，就必须从两个方面入手：强化分类意识，进行合理分类；确定讨论对象.一元二次含参不等式的讨论主要有三类：讨论二次项系数型；讨论判别式型；讨论根的大小型.本文就这三类题型作分析.

一、讨论二次项系数型

当二次项系数为字母时，首先要讨论二次项系数是否为零.若为零，则该不等式变为一元一次不等式；若不为零，则解集则与二次项系数的符号有关.

例1：设m∈R，解关于x的不等式：m■x■+2mx-3<0.

分析：该不等式二次项系数为字母，故需对其分m>0，m=0，m<0三类进行讨论.

解：（1）m=0时，原不等式变为-3<0，该不等式恒成立，因此{x|x∈R}；

（2）m≠0时，原不等式可分解为（mx+3）（mx-1）<0，对应方程的两根分别为x■=-■，x■=■，因此

当m>0时，原不等式的解集为{x|-■

当m<0时，原不等式的解集为{x|■

综上所述：m=0时，{x|x∈R}；

m>0时，原不等式的解集为{x|-■

m<0时，原不等式的解集为{x|■

二、讨论判别式型

当二次不等式中有字母，且不易观察出所对应方程是否有实根时，应对方程有无实根进行讨论，即讨论判别式.

例2：解关于x的不等式：2x■+ax+2>0

分析：由于△=a■-16不为完全平方式，故不能确定对应方程有无实根，因此需分△>0，△=0，△<0三类讨论.

解：△=a■-16

（1）△=0，即a■=16，也即a=±4时，x=-■，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-■}；

（2）△>0，即a>4或a<-4时，对应方程的两根分别为x■=■（-a-■），x■=■（-a+■），故原不等式的解集为{x|x<■（-a-■）或x>■（-a+■）}；

（3）△<0，即-4

综上所述：a=±4时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠-■}；

a>4或a<-4时，解集为{x|x<■（-a-■）或x>■（-a+■）}；-4

三、讨论两根的大小型

当一元二次不等式中有字母而导致根的大小不易区别时，应通过做差法，由根的大小确定字母范围.

例3：解关于x的不等式：x■-2x+1-a■≥0.

分析：由于△=4a■，原不等式可分解为[x-（1-a）][x-（1+a）]≥0，从而对应方程的两根分别为x■=1-a，x■=1+a，将两根的大小分为x■>x■，x■=x■，x■

解：（1）当x■>x■时，即a<0时，原不等式的解集为{x|x≤1+a或x≥1-a}；

（2）当x■=x■时，即a=0时，原不等式的解集为{x|x∈R}；

（3）当x■0时，原不等式的解集为{x|x≥1+a或x≤1-a}.

综上所述：当a<0时，原不等式的解集为{x|x≤1+a或x≥1-a}；

当a=0时，原不等式的解集为{x|x∈R}；

当x■

当一个二次含参不等式中需要同时讨论二次项系数，判别式及两根大小时，只需按二次项系数、判别式、两根大小的顺序讨论即可.