一族亚纯函数的正规定则

张莎莎，祖韦华

（湖北大学数学与统计学学院，湖北 武 汉430062）

0 引言

设D是复平面内的一个区域，F是D上的一族亚纯函数．如果对于族F中的任意函数列｛fn｝都存在一个子列｛fnk｝在内按球面距离内闭一致收敛于一个亚纯函数或∞，则称F在D内正规［1］．

Bloch曾经给出一个猜想，对于亚纯函数值分布的每个Picard型定理，都存在一个正规准则与之对应．尽管总体来看这个原理并不总成立，但是人们仍可以从Picard型定理出发来考虑正规准则．

1959年，Hayman在文献［2］中证明了关于值分布的一个著名结果．

定理A［2］设f是复平面C上的一个亚纯函数，n≥5是一个正整数，a≠0，b是两个有穷复数，若f′－afn≠b，则f是一个常数．

对应于该值分布理论，Hayman在文献［3］中猜想存在相应于定理A的正规准则．

Hayman猜想［3］设n≥3是一个正整数，a≠0，b是两个有穷复数，F是复平面中区域D 上的一族亚纯函数．若对于任意f∈F，f′－afn≠b，则F在D 内正规．

李松鹰［4］，李先进［5］分别证明了n≥5时 Hayman猜想是成立的；庞学诚［6］证明了n＝4时猜想成立；1995年，陈怀惠等［7］证明了n＝3时Hayman猜想也成立，完全解决了Hayman猜想．

定理B［7］设n≥3是一个正整数，a≠0，b是两个有穷复数，F是复平面中区域D 上的一族亚纯函数．若对于任意f∈F，f′－afn≠b，则F在D 内正规．

陈怀惠等［7］给出例子说明了对于亚纯函数族当n＝2时Hayman猜想不成立．

随后，陈怀惠［8］证明了当F是全纯函数族时，对于n＝2及把导数f′替换为k阶导数f（k）时定理B仍成立．

定理C［8］设n≥2是一个正整数，a≠0，b是两个有穷复数，F是复平面中区域D 上的一族全纯函数．

若对于任意f∈F，f（k）－afn≠b，则F在D 内正规．

对于亚纯函数族，把 Hayman猜想中的导数f′替换为k阶导数f（k）时，庞学诚［6］和Schwick W［9］证明了如下结果：

定理D 设n，k是正整数，n≥k＋4，a≠0，b是两个有穷复数，F是复平面中区域D 上的一族亚纯函数．

若对于任意f∈F，f（k）－afn≠b，则F在D 内正规．

陈怀惠等［10］对亚纯函数极点的阶数加上适当的限制条件改进了上面的定理．

定理E 设a≠0，b是两个有穷复数，F是复平面中区域D 上的一族亚纯函数，若对于任意f∈F的极点的阶数至少为l＝k＋2，f（k）－af3≠b，则F在D 内正规．

最近，徐焱［11］对亚纯函数的极点和零点阶数加上适当限制条件，改进和推广了上述结果，证明了：

定理F是对定理C、D、E的推广和改进．本文中利用连续函数局部度的相关结论，对定理F做了推广，证明了如下结论：

当h（z）≡b，∀z∈D时，定理即为定理F，由此可见，我们的结论极大地推广了已有结论定理F．

1 引理

引理1［12］设F是单内圆上的一族亚纯函数，F中每个函数的零点的重级至少是k，并且

1）若f（z）＝0，必有｜f（k）（z）｜≤A；

2）F在单位圆内不正规，那么对于每一个0≤α≤k，存在

a）实数r，0＜r＜1；

b）点列zn，｜zn｜＜r；

c）函数列｛fn｝⊂F；

d）正数列ρn→0＋，

在定理的证明中，我们需要下面关于连续函数的局部度的结论：

引理2［13］设M＝｛（φ，U，ω）｝，其中U是复平面C中的有界开集，φ：→C是连续函数，ω∈C＼＼φ（∂U），则存在一个从M到整数域Z的函数d：M→Z使得：

则

徐焱［11］证明了两个关于值分布理论的结论，我们在证明中也需用到：

将引理3中f（k）－afn≠b替换为f（k）－afn≡b，结论仍成立．

2 定理的证明

定理的证明 反证法，假设F在区域D内不正规．

由正规族的局部性，不妨设F在点z0∈D处不正规．

记

则gj（ξ）在复平面上内闭一致收敛于非常值亚纯函数g（ξ），且由∀f∈F的极点阶数至少为l知g（ξ）极点阶数也至少为l．

由引理3知，必存在ξ0∈C，使得

从而ξ0不是非常值亚纯函数g（ξ）极点．

事实上，若ξ0是g（ξ）极点，设其为l′阶极点，则由（2）式知，k＋l′＝nl′，从而，即ξ0是g（ξ）的阶数小于l的极点，矛盾．记

则φj（ξ）在C上内闭一致收敛于φ（ξ）．

由ξ0不是g（ξ）的极点知，存在ξ0的某个邻域V，使得φ（ξ）在V 内全纯．φ（ξ0）＝0，由全纯函数零点的孤立性知，φ（ξ）在V内的取值只可能是下列的情形1或者情形2．

情形1：若φ（ξ）在V 内只有唯一零点ξ0．

把（1）式代入（4）式可得

设Δε＝｛ω：｜ω｜＜ε｝，取ε＞0充分小，U 是φ－1（Δε）中包含ξ0的分支中的一个区域，使得

又由于φ（ξ0）＝0，故d（φ，U，0）＞0，其中，d是连续函数的局部度．

由φj（ξ）在C上内闭一致收敛于φ（ξ）知，当j充分大时有

由引理2的（3）知∃ξ1∈U，使得φj（ξ1）＝0，由（5）式知

这与定理条件f（k）（z）－afn（z）≠h（z）矛盾．

情形2：若φ（ξ）在V 内恒为0．

由φ（ξ）是亚纯函数知φ（ξ）≡0，即g（k）（ξ）－agn（ξ）≡0，由引理4知g（ξ）≡常数．这与g（ξ）是非常值亚纯函数矛盾．

综上，假设不成立，即F在D内正规．证毕．

［1］Yang L．Value distribution theory［M］．Berlin：Spring－Verlag，1993．

［2］Hayman W K．Picard values of meromorphic functions and their derivatives［J］．Ann Math，1959，70（1）：9－42．

［3］Hayman W K．Research problems in function theory［M］．London：Athlone Press，1967．

［4］李松鹰．一类函数的正规定则［J］．福建师范大学学报：自然科学版，1984，98：385－393．

［5］李先进．关于正规族的 Hayman猜想的证明［J］．中国科学：A辑，1985，28：24－31．

［6］庞学诚．微分多项式的正规定则［J］．科学通报，1988，33：1690－1693．

［7］陈怀惠，方明亮．关于fnf′的值分布［J］．中国科学：A辑，1995，38：121－127．

［8］Chen H H，Hua X H．Normal families of holomorphic functions［J］．J Austral Math Soc Ser A，1995，59：112－117．

［9］Schwick W．Normality criteria for families of meromorphic functions［J］．J Analyse Math，1989，52：241－289．

［10］陈怀惠，顾永兴．Marty定则的改进及其应用［J］．中国科学：A辑，1993，36（6）：674－681．

［11］Yan Xu．Normal families of meromorphic functions［J］．J of Math，2001，21（4）：381－386．

［12］顾永兴，庞学诚，方明亮．正规族理论及其应用［M］．北京：科学出版社：2007．

［13］Pang X C，Zalcman L．Normal families of meromorphic functions with multiple zeros and poles［J］．Israel J Math，2003，136（2）：1－9．