一题多变 锻炼思维

赵健

下面我们从苏科版《数学》九年级上册第70页练习第1题出发，通过一题多变来得到一类数学题，从中你可以体会到数学题是怎么编拟出来的，从而不断提高我们的应变能力和思维水平.

原题：如图1，点O是△ABC的内心，根据下列条件，求∠BOC的度数.

（1） ∠ABC=50°，∠ACB=60°；

（2） ∠A=50°.

对于本题的解答，同学们很容易得到（1）的答案为125°.而对于（2），由于∠ABC和∠ACB的度数是没有办法知道的，因此不能像（1）那样直接求解，但由于已知∠A的度数，因此∠ABC+∠ACB的度数是可求的，进而就可以通过整体处理来求出∠BOC的度数.

在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°. ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC+∠OCB=65°，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°.

由上可见， ∠A的度数与∠ABC+∠ACB的度数互为变式条件，因此这两个问题可以看成互为变式题.

应用上述方法，可以得到如下一般性的结论1：

如图1， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，则∠BOC=90°+∠A.

如果继续对本题进行变换，又可得到许多的问题，通过这些问题的解答，就能更好地巩固更多的知识和方法，从而达到锻炼思维的目的.

变式1 上面是已知两条内角平分线，如果将其中的一条内角平分线改变为外角平分线，则有：

如图2，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB

=60°，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O（我们把点O称之为△ABC的旁心），求∠BOC的度数.

【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线交于点O，可求得∠OBC和∠BCO的度数，进而求出∠BOC的度数.

解：∵∠ABC=50°，BO平分∠ABC，∴∠OBC=25°；∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°. 又CO平分∠ACD，∴∠ACO=60°，∠OCB=120°，∴∠BOC=35°.

【小结】由于已知∠ABC和∠ACB的度数，就可以得到∠A的度数，因此如将已知条件“∠ABC=50°，∠ACB=60°”变换为已知“∠A=70°”也可求出∠BOC的度数.（请自己写出变式并求解）

由变式1，我们可以得到一个更一般的结论2：

如图2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，则∠BOC=α.

变式2 若将两条内角平分线都变换为外角平分线，则有：

如图3，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，求∠BOC的度数.

【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，可以求出∠DBC和∠BCE的度数；由∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，可以求出∠OBC和∠BCO的度数，进而可以求出∠BOC的度数.

解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠DBC=130°，∠BCE=120°；∵BO平分∠DBC，所以∠OBC=65°；同理，∠OCB=60°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=55°.

【小结】本题也可以作出∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O′，利用课本习题的解法或直接应用结论1求出∠BO′C，再由邻补角的角平分线互相垂直即可得到答案.同样，将已知条件“∠ABC=50°，∠ACB=60°”变换为已知条件“∠A=70°”，也可以求出∠BOC的度数.（请同学们自己写出变式并求解）

由变式2，我们可以得到一个更一般的结论3：

如图3，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的外角平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，则∠BOC=90°-α.

你还可以将角平分线变换为高和中线，进而又可以得到许多变式问题.

变式3 若过点O作一条直线与△ABC的两边（或其延长线）相交，则又可以得到难度较大的新问题.

如图4，点O是△ABC的内心，过点O作直线MN.

（1） 当直线MN与AB、AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图①，试探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由；

（2） 将直线MN绕点O旋转，当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图②，试问（1）中∠MOB、∠NOC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出∠MOB、∠NOC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由.

【解析】（1） 探索可知，∠MOB+∠NOC=90°-∠A. 理由是：由结论1可知，∠BOC=90°+∠A，则∠MOB+∠NOC=180°-∠BOC=180°-

90°+∠A=90°-∠A；（2） 探索可知不成立，∠MOB-∠NOC=90°-∠A. 理由是：由图可知∠MOB+∠BOC-∠NOC=180°，由结论1可知：∠BOC=90°+∠A，∴∠MOB-∠NOC=180°-∠BOC=180°-

90°+∠A= 90°-∠A.

由上面的探索可见，许多数学问题都是通过研究问题的变式得到的.希望你也要学会变换题目，进而提升自己的应变能力.

小试身手

1. 如图5，在△ABC中，∠A=α. ∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；……；∠A2008BC与∠A2008CD的平分线相交于点A2009，得∠A2009. 则∠A2009=______.

2. 如图6，在变式3的条件下，继续将直线MN绕点O旋转，当直线MN与AB的交点在AB的延长线上，而与BC的交点为N时，如图6，试探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之间的数量关系，并说明理由.

（作者单位：江苏省兴化市昭阳湖初级中学）